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2025-2026学年江苏省高一下学期期中模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
4.已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年年，塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体、等边圆柱母线长等于底面圆的直径与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为复数，下面四个命题中，真命题的是( )
A. 若互为共轭复数，则为实数
B. 对于复数，若，则
C. 对于复数，若，则
D. 复数满足，则的最大值为
10.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥外接球体积为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
11.设点在所在平面内，且点、、、分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为两个不共线的非零向量，若与共线，则的值为 ．
13.如图，有一长为的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为，则坡底应延长
14.在复平面内，常把复数和向量进行一一对应现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数是实数，求实数的值；
若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且___________在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答，，
，，．
求角；
若，求周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
已知向量，，，，其中为坐标原点．
若，，三点共线，求实数的值；
当四边形为矩形时，设点为线段的中点，问在线段上是否存在点使得，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．
18.本小题分
某设计师为圆锥体工艺品设计包装盒，设计师给出两种包装方式，方式一：按照图的方式正向包装，即圆锥的顶点与包装盒的上底面中心重合，底面与包装盒的下底面相切，要求包装盒为正四棱柱方式二：按照图的方式斜向包装，即圆锥的顶点与包装盒的一个顶点重合，圆锥的轴与包装盒的体对角线所在直线重合，且圆锥的底面圆周与包装盒的下底面有且只有一个公共点，要求包装盒为正方体．
若用方式二包装某件圆锥体工艺品，记该工艺品的底面半径为，体积为，包装盒的棱长为，用和表示．
现有两种型号的圆锥体工艺品需要设计包装盒．
型号一：底面半径为，高为．
型号二：底面半径为，高为．
若以包装盒的表面积为依据，请分别给这两种型号的圆锥体工艺品选择更节省的包装方式．
19.本小题分
正等角中心 亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，
若，是关于的方程两根，其中，
求；
若，设点为的费马点，求；
若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：复数为实数，
则，解得或；
复数表示的点在第四象限，
则，解得或．
则实数的取值范围为．
16.解：选
由正弦定理及，，
又，
，，又，．
选
由，，
即，．
，，，．
选
，．．．
化简得，．
又，．
由余弦定理得，
又，当且仅当时等号成立．
，，当且仅当时等号成立．
又，．
周长的取值范围为．
17.由、、，得、、．
计算的斜率：．
计算的斜率：．
因，，三点共线，故AB与斜率相等，即．
解得．
四边形为矩形，则且．
由、，得．
设，则．
由，得，化简得．
又，故．
结合，解得，，，即、．
为中点，故．
设在线段上，令．
则，
．
．
由，得．
展开并化简：，
解得或．
故或．
18.如图，
设正方体的体对角线与圆锥的底面圆交于点，则是圆锥底面圆心，
设圆锥的底面圆周与正方体下底面公共点为，连接，
由对称性知，点在正方体下底面对角线上，，
则，所以，
在中，，
由，即，得，
又，所以圆锥的高，
体积；
型号一：底面半径为，高为，
选用图的包装方式：正四棱柱的高，底面边长，
包装盒的表面积；
选用图的包装方式：由知，解得，
包装盒的表面积，而，
所以选择图的包装方式．
型号二：底面半径为，高为，
选用图的包装方式：正四棱柱的高，底面边长，
包装盒的表面积；
选用图的包装方式：由知，解得，
包装盒的表面积，而，
所以选择图的包装方式．
19.由题意得：
，是关于方程的方程的两个不等实根，

，由于，，故，均为锐角，，
，
因为均为锐角，所以，而也为锐角，
， ；
由知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：，
设，，，由得：
，整理得，
所以．
由，得，
即，又，，则，
于是，整理得，即，
又，，有，则， ，
由点为的费马点，得，
设，，，，
由，得，
由余弦定理得，
，
，
相加得得，
整理得，于是，当且仅当，即时取等号，
又，因此，而，解得，所以实数的最小值为．
第1页，共1页

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