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2025-2026学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（下）3月段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示是函数的导数的图象，下列四个结论：
在区间上是增函数；
在区间上是减函数，在区间上是增函数：
是的极大值点；
是的极小值点．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
5.若数列满足，且对于任意的都有，则等于( )
A. B. C. D.
6.如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
7.函数的导函数满足，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.已知抛物线：的焦点到准线的距离是，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的焦点坐标是
B.
C. 若，则
D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家用他名字定义的函数表示不超过的最大整数称为高斯函数已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知方程，表示焦点在轴的椭圆，则的取值范围是 ．
13.已知，则曲线在点处的切线方程为 ．
14.若对任意，恒有，则实数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在公差不为的等差数列中，，且是与的等比中项．
求的通项公式；
若，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调性和极值．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点．
求证：平面；
平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知点，且．
求点的轨迹方程；
已知点，斜率为的直线过点．
若，且直线与曲线只有一个交点，求的值；
已知点，直线与双曲线有两个不同的交点，，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数的值．
19.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
若对任意恒成立，求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，因为是与的等比中项，所以，
即，整理得
又，，所以，则．
由可得，，
则，
，
得
，
则．
16.解：当时，则，求导得，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
函数的定义域为，求导得，显然，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，由，得；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值，
综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值．
17.解：证明：因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，，
因为，所以，所以，
又因为，在平面内且相交，故BD平面；
因为，分别为，的中点，所以，
又平面过且不过，所以平面，
又平面交平面于，故E，进而，因为是中点，所以是的中点，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，
令，得，所以，
所以，，所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
18.解：因为，且点，，
所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且，，所以，
所以点的轨迹的方程为；
当时，直线的方程为．
由得双曲线的渐近线方程为，
则当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点；
当时，要使直线与只有一个交点，则与相切，
联立，消去得，
则，解得，
即时，直线与只有一个交点．
综上所述，当或时，直线与双曲线只有一个交点；
直线的方程为，
联立，消去得，
设，，则，，
因为，则，，
所以
，
要使得为定值，则，解得．
即当时，为定值．
19.解：由题意函数，
当时，，，
对函数求导得，
所以，而．
所以曲线在处的切线方程为，即；
对函数求可得
，
令，其对称轴为．
当时，的对称轴，且．
所以当时，，即，
所以在上单调递减，所以满足题意．
当时，的对称轴，且，
所以存在，使得，
当时，，即，单调递增，
所以，不满足题意，
因此，的取值范围为；
证明：由可知，当时，，
即当且仅当时取等号，
令，则，即，
可得，
所以，
根据对数的运算法则可得，
所以．
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