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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）段考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：的一个内角为命题：的三内角的度数成等差数列则( )
A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是的充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件
2.已知数列为等比数列，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等差数列，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，则数列的最小项是第项．
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
7.正项等比数列的前项和为，，，则等于( )
A. B. C. D.
8.设是数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 若，则，，成等比数列
B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列
C. 若等比数列的前项和，则
D. 等差数列中，若，则
10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. 的公差为 B. 当时，最大
C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中最小项为
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：，且为正整数，设数列的前项和为，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，要经过步雹程使得
D. 若，则所有可能的取值集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设数列的前项和，则 ．
13.用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，以此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了 块砖．
14.若等差数列满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，．
若，求数列和的通项公式；
若，求．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足．
证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
若数列的前项和小于，求的最大值．
17.本小题分
在数列中，，，，且是等差数列．
求的值和数列的通项公式；
证明：．
18.本小题分
已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，．
求数列的通项公式；
数列满足，求数列的前项和；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”现对数列，分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，，，两次“和生长”得到数列，，，，；进行一次“积生长”得到数列，，，两次“积生长”得到数列，，，，进行次“和生长”后得到的数列为，，，，，，进行次“积生长”后得到的数列为，，，，，记，．
当时，求的值；
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且不为．
由，，得，即，
由，得，即，
联立，解得舍去，或．
故，；
由，得，
又，所以，解得或．
当时，，可得；
当时，，可得．
综上所述，或．
16.证明：已知数列的首项，且满足，
由题可知，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
根据等比数列的通项公式可得，即，
所以数列的通项公式为；
解：由知，，
则，
若数列的前项和小于，
则
，
整理得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
所以易得在上单调递增，
且，
所以，的最大值为．
17.解：设，
由，，，
可得，，，
因为是等差数列，即是等差数列，
则有，即，解得．
，，则的公差为，首项为，则，即，
则
．
证明：由知，，
则，
则，
因为，则，则，得证．
18.解：已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，，
设等差数列的公差为，
根据等差数列的通项公式和求和公式可得，
因为，解得：，，
所以数列的通项公式为；
数列满足，
由知，
当为偶数时，
；
当为奇数时，为偶数，
；
所以数列的前项和；
当为偶数时，得，
当时，有最小值，所以；
当为奇数时，，所以，
因为单调递增，单调递减，单调递减，单调递增，
则单调递增，
所以当时，有最小值，所以；
综上，实数的取值范围是．
19.解：设第次“积生长”后共插入项，即，
共有个间隔，且，则第次“积生长”后再插入项，
则，
所以，又，
所以数列是以首项和公比都为的等比数列，
所以，所以，
所以当时，；
证明：设第次“和生长”后得到的数列各项之和为，
则第次“和生长”后，新插入的各项之和为，
所以，
，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
设第次“积生长”后得到的数列各项之积为，
则．
第次“积生长”后，新插入的各项之积为：
，
所以，
所以，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
由可得，
所以，
记，
则，
所以，
所以，
所以数列的前项和为：．
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