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2025-2026学年河北省衡水市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2.若直线：与：平行，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线上一点和焦点的距离等于，则点的横坐标( )
A. B. C. D.
6.若圆上恰有三点到直线的距离为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知是双曲线：的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
10.设数列的前项和为，已知，且，则下列结论正确的是( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. D.
11.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且位于第一象限，，则( )
A. 的纵坐标为 B.
C. 的周长为 D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线在点处的切线方程为，则______．
13.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是 ．
14.已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列函数的导函数．
；
；
；
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均垂直于底面，，，，为的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求二面角的正弦值．
17.本小题分
在数列中，，且．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆：过点，离心率为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点；
若点为线段的中点，求直线的方程；
若原点总在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．
19.本小题分
已知数列满足，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和；
若，从数列中依次取出第项，第项，第项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，；
，；
，；
，
．
16.Ⅰ证明：如图，连接与交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
则在中，有，
又平面，平面，
所以平面；
Ⅱ解：由勾股定理的逆定理知，
又由侧面，均垂直于底面，
可得平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
由已知得，，，
，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，可取，
又，设平面的法向量为，
则，可取，
所以，
所以二面角的正弦值为．
17.由数列中，，且，
可得，
即，
则符合首项，
所以；
其中，
设，的前项和为，其中，
故，
当时，，故；
当时，，
故，
综上，．
18.解：因为椭圆过点，离心率为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
若点为线段的中点，
此时，
解得，
则直线的方程为，
即；
易知，
因为原点总在以为直径的圆外，
所以，
即，
解得．
则直线斜率的取值范围为
19.解：已知数列满足，，
变形可得，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
则的通项公式为；
因为，
由知，，
所以，
故数列的前项和
；
若，从数列中依次取出第项，第项，第项，，第项，按原来顺序组成新数列，
由知，
则，
设
，
因为，
所以数列单调递增，
令，
当时，，
当时，，
所以，使得不等式成立的最小正整数的值为．
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