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2025-2026学年北京市清华附中志新学校高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在梯形中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为右支上一点．若的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
7.设，均为锐角，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.某学术会议有个相邻座位编号至，安排来自所不同大学的位教授入座，每校人甲校、乙校、丙校，要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：
音 宫 商 角 徵 羽
频率
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱，若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是( )
A. 宫 B. 商 C. 角 D. 徵
10.已知函数，，若成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数则 ．
12.冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物将个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁人，每人至少分配个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种用数字作答
13.端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为 ，内含食物的体积为 粽叶的厚度忽略不计
14.已知，则 ．
15.已知曲线：，为坐标原点给出下列四个结论：
曲线关于直线成轴对称图形；
经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
直线：与曲线所围成的图形的面积为；
设直线：，当时，直线与曲线恰有三个公共点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若函数在上存在最小值，求的取值范围．
17.本小题分
在中，，，分别为角，，的对边，，且．
求角的大小；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：，为锐角；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ直线过椭圆的左焦点，且与交于，两点不与左右顶点重合，点在轴正半轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若函数在处的切线经过，求的值；
Ⅱ若函数存在两个极值点，
求的取值范围；
若，满足，且，证明：．
21.本小题分
设集合的元素均为实数，若对任意，存在，使得且，则称元素最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“级孪生集”；称的“级孪生集”的“孪生集”为的“级孪生集”，依此类推
设，直接写出集合的“孪生集”；
设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为，证明：中所有元素之和为；
若，请直接写出的“级孪生集”的个数，设的所有”级孪生集”的并集为，若；求有序集合组的个数．
参考答案
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19.解：Ⅰ因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以．
所以，，所以．
所以椭圆的方程为．
Ⅱ若直线的斜率存在，设为，所以直线的方程为，．
联立方程组
消去，化简得．
设，，
所以．
所以直线的方程为，直线的方程为．
所以．
所以．
所以
．
所以当时，为定值，即负值舍时，有定值．
当时，若直线斜率不存在，
不妨设，
所以，．
所以．
综上，当时，有定值．
20.

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