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2026年浙江省九年级中考数学模拟试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第I卷 （选择题）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查倒数的定义，依据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解．
【详解】解：．
故选：D．
2．如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
【答案】A
【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同．
故选：A．
3．截至2025年4月26日，国产电影《哪吒之魔童闹海》的票房已突破元．
数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数是n的值，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：D ．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意；
B、，原选项运算错误，不符合题意；
C、，原选项运算错误，不符合题意；
D、，原选项运算正确，符合题意；
故选：D．
5．有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键．
【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8，
∴中位数为8，
故选B．
如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
7．若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得：，
∴k的取值范围且，
故选：B．
8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形
和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：是四个全等的直角三角形，
，，
，
四边形为正方形，
，
，
故选：C．
某数学小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：
如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，
然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：C．
如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，
将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，
关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
由图知，抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴，
当时，，即，
故选：．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了运用完全平方公式进行因式分解，识别多项式为完全平方式并准确匹配公式形式是解题的关键．
利用完全平方公式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为：．
12．若，则
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：
如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握正多边形的内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
先根据正多边形的内角公式：每个内角度数，求出正五边形内角，再利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：∵正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，
∴，
∴阴影部分面积．
故答案为：．
“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”
这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，
他们出相同手势的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种，
∴他们出相同手势的概率为．
故答案为：．
15．如图，内接于，若，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】连接，先利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，在正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动，交于点，
以为邻边构造平行四边形，连接，则下列结论：
①；②；③点在运动过程中，；
④；⑤的度数始终保持不变．其中正确的结论是 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
作交的延长线于，证明，得，可以判断①②正确；证明是等腰直角三角形，可以判断③④正确；根据题意，证明是的角平分线，可判断⑤错误．
【详解】解：作交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
四边形是平行四边形，，
，，，
∴，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
，
，即，故③正确；
，
，
，故④正确；
，
是的角平分线，
点的运动轨迹是的角平分线，
，
观察图象可得，当增加时，发生变化，故⑤错误，
正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算 ．
【答案】
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的知识点是分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式混合运算的法则．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：
，
将代入，
则原式
．
19．如图，在中，，是边上的中线，．
求的长；
求的值．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的
了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．
该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．
九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率
九（1）班 89.5 85
九（2）班 89.5 90
根据以上信息，回答下列问题．
请补全条形统计图；
填空：______，______；
结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)见解析
【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、平均数的意义是解答本题的关键．
（1）利用九（1）班的优秀率求出九（1）班成绩优秀的人数为人，进而可求出成绩为分的人数，再用总人数减去成绩为分，分，分，分的人数，即可得到成绩为分的人数，即可补全条形图；
（2）利用中位数和总数的定义即可解答；
（3）根据平均数，中位数，众数和优秀率即可解答．
【详解】（1）解：九（1）班成绩优秀的人数为（人），
则成绩为分的人数为（人），
∴成绩为分的人数为（人），
补全条形图如下：
（2）解：九（1）班成绩从小到大排列，成绩为第名和第名的成绩分别为分，分，
则中位数，
九（2）班成绩中，分所占比例最高，即成绩为分的人数最多，
故众数，
故答案为：，；
（3）解：从平均数来看，两个班的成绩一样；
从中位数来看，，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好；
从众数来看，，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好；
从优秀率来看，，则九（2）班的成绩没有九（1）班的成绩好．（答案不唯一，合理即可）
小敏和小慧去西湖游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．
小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，
骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）
之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
求公交车的平均速度．
求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值．
【答案】(1)400米/分钟
(2)分钟
(3)或
【分析】本题考查一次函数在行程问题中的应用．解题关键是从函数图象获取路程、时间等关键信息，结合行程问题基本公式通过待定系数法确定函数表达式，再根据不同情境建立方程求解．
（1）根据图象得出坐公交车行驶的路程和坐公交车的时间，即可解答；
（2）先求出小慧出发时距离地的距离，小慧的速度已知为200米/分钟，可得到小慧距离地的路程与时间的函数关系式；再求出小敏坐公交车时距离地的路程与时间的函数关系式，然后联立两个函数关系式求解交点的横坐标，即为小敏追上小慧的时间．
（3）分两种情况讨论，即小敏在小慧后面400米和小敏在小慧前面400米，根据两人的路程关系列方程求解．
【详解】（1）解：从图象可知，小敏坐公交车行驶的路程为米，坐公交车的时间是分钟．
∴公交车的平均速度米/分钟．
（2）小慧出发时距离地1800米，则有．
小敏坐公交车时，设，把，代入可得：
解得
所以小敏坐公交车时（）．
联立得，
解得：，
所以同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧．
（3）情况一：小敏在小慧后面400米，
解得．
情况二：小敏在小慧前面400米
此时
解得，
综上，t的值 为23或27．
如图，是的内接三角形，是的直径，连接并延长到点P，
连接，．
求证：是的切线；
若，，
求的半径；
② 求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)①3，②
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由是直径得到，再由得到，即可得证结论；
（2）①根据，设，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
②延长交圆于点G，连接，求出，根据，得到，因此，得到，由得到，因此，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
是的切线；
（2）解：①∵，，
∴设，，
∵在中，，
即，
解得，
，
∴的半径为3．
②延长交圆于点G，连接，
∵的半径为3，
∴，
∵在中，，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
23．如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点．
求二次函数的表达式；
点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标；
点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的表达式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或．
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像及性质并运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）如图，过点作轴于点，设，由，即，所以，所以，然后解方程并检验即可；
（3）分三种情况：四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形，利用中点坐标公式即可解答．
【详解】（1）解：把点和点代入二次函数中得，
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，设，
∵点是抛物线在第三象限上的一点，
∴，
当时，，
∴或，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：由，
∴抛物线的对称轴是直线，
如图，四边形是平行四边形，
∵，，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴；
如图，四边形是平行四边形，
同理可得点的横坐标为，
∴；
如图，四边形是平行四边形，此时轴，点在轴上，
∴，
综上，点的坐标为或或．
24．在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接．
如图1，求证：；
如图2，当，时，求的长，
如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于
① 求证：；
② 当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，是直角三角形，由勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则．从而得到，使用勾股定理计算即可；
（3）①由旋转的性质可得，，，，则，结合，可证明．通过等量代换，可得，则可证明；
②作，垂足为，延长、交于点，设，则，使用勾股定理计算出．容易证明，根据相似三角形的性质可得，．由等腰三角形的性质，可得，进而得到．容易证明，则．由①中的，可得．由平行判定，则，代入即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
∴
解得，；
（3）解：①由旋转的性质可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图，作，垂足为，延长、交于点，设，
∵，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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2026年浙江省九年级中考数学模拟试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第I卷 （选择题）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
3．截至2025年4月26日，国产电影《哪吒之魔童闹海》的票房已突破元．
数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
8. 如图，正方形由四个全等的直角三角形
和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
某数学小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：
如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，
然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，
将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，
关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．若，则
如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”
这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，
他们出相同手势的概率为 ．
15．如图，内接于，若，则的度数是 ．
16．如图，在正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动，交于点，
以为邻边构造平行四边形，连接，则下列结论：
①；②；③点在运动过程中，；
④；⑤的度数始终保持不变．其中正确的结论是 ．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算 ．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，是边上的中线，．
求的长；
求的值．
20．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的
了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．
该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．
九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率
九（1）班 89.5 85
九（2）班 89.5 90
根据以上信息，回答下列问题．
请补全条形统计图；
填空：______，______；
结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）．
小敏和小慧去西湖游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．
小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，
骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）
之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
求公交车的平均速度．
求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值．
如图，是的内接三角形，是的直径，连接并延长到点P，
连接，．
求证：是的切线；
若，，
求的半径；
② 求弦的长．
23．如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点．
求二次函数的表达式；
点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标；
点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接．
如图1，求证：；
如图2，当，时，求的长，
如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于
① 求证：；
② 当时，直接写出的值．
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