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2026年河南省郑州外国语学校高考数学模拟试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合A={-2，1，a}，B={-1，a2}，若A∪B含有4个元素，则a=（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知复数z满足|z-6+8i|=5，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为an万元，则至少经过（　　）年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：1.55≈7.59，1.56≈11.39）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.已知（x2-）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i2=-1，则展开式中系数为实数且最大的项为（　　）
A. 第三项 B. 第四项 C. 第五项 D. 第五项或第六项
5.购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.若曲线y=lnx与圆x2+y2-2my-2+m2=0恰有一个公共点，则实数m的值为（　　）
A. e B. 2 C. D. 1
7.已知正实数a,b满足a-3lna-6=3lnb-9b,则logba=（　　）
A. 2 B. 1 C. -1 D. 0
8.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C的准线与x轴的交点，M，N在抛物线C上，若△MFP为等腰直角三角形，S△MFP=2，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X的分布列如下，则（　　）
X -1 0 1 2
P a
A. B.
C. E（4X+1）=-1 D.
10.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2B=1+cos2C，，△ABC的面积为1，则（　　）
A. bc=2 B.
C. cosC=cos（A-B） D.
11.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M满足，（x,y,z≥0，x+y+z=1）.则下列结论正确的是（　　）
A. A1M∥平面B1CD1
B. 四面体M-B1CD1的体积为
C. 设直线BM与A1B1所成角为θ，则cosθ的最大值为
D. 若直线AM与平面A1BD所成角的正弦值为，则点M的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量满足且，则与所成夹角的余弦值为 .
13.已知函数的极小值大于0，则b的取值范围为 .
14.双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，若△PF1F2的内切圆圆心为（4，2），则△PF1F2外接圆的半径为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外.某市教体局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一个月内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表.
年龄 是否喜欢使用AI技术 合计
是 否
不超过45岁 46 14 60
超过45岁 32 28 60
合计 78 42 120
（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关；
（2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率.
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
16.(本小题15分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S3=2S2+a1且a2n=2an+1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设函数，bn=f′（1），求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为2的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点.
（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若EF∥平面PCD，求直线PF与平面PAD所成角的正弦值；
（3）设点G为三棱锥E-ABF的外接球的球心，试判断三棱锥G-PAD的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18.(本小题17分)
已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切.
（1）求E的方程；
（2）过点P（-2，1）的直线l交E于C，D两点，直线BC，BD分别交x轴于M，N两点，证明：
（ⅰ）M，A，N的横坐标成等差数列；
（ⅱ）△ABD与△BMD的面积之比为定值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=alnx-bx,（a,b∈R）.
（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，函数f（x）≤-1，且不等式f（x）≤xex-（m+1）x-1恒成立，求实数m的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】能
16.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d,
由S3=2S2+a1可知3a1+3d=2（2a1+d）+a1，化为d=2a1，
由a2n=2an+1，可得a2=2a1+1，即a1+d=2a1+1，即有d=a1+1，
解得a1=1，d=2，
则an=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可得x（1+x）=x（1+x）2n-1，
当x≠-1，x≠0时，f（x）=x[1+（1+x）+（1+x）2+ +（1+x）2n-1]=，
当x=-1，x=0时，f（x）=（1+x）2n-1成立，
所以f（x）=（1+x）2n-1，其导数为f′（x）=2n（1+x）2n-1，
则f′（1）=n 22n=n 4n，，
，
，
相减可得，
则．
17.【答案】解：（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，且BC 平面ABCD，
则BC⊥平面PAB，
因为AE 平面PAB，则BC⊥AE，
又PA=AB，PE=EB，则AE⊥PB，
因为PB∩BC=B，PB，BC 平面PBC，
则AE⊥平面PBC，
又AE 平面AEF，
故平面AEF⊥平面PBC．
（2）由EF∥平面PCD，平面PDC∩平面PBC=PC，EF 平面PBC，
则EF∥PC，
故F为BC的中点，取AB的中点O，连接OP，OP⊥AB，
则BC⊥平面PAB，因OP 平面PAB，则BC⊥OP，
BC∩AB=B，BC，AB 平面ABCD，
所以OP⊥平面ABCD，
故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x,z轴，过O作BC的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

由题意，，A（-1，0，0），D（-1，2，0），F（1，1，0），
则，，．
设平面PAD的法向量为，
则，则，
故可取，
设PF与平面PAD所成角为α，
则．
（3）由（1）知，AE⊥平面PBC，因为EF 平面PBC，
则AE⊥EF，即△AEF为直角三角形，
又△ABF也为直角三角形，
则三棱锥E-ABF外接球的球心为线段AF的中点G．
OG∥BF，即OG∥AD，OG 平面PAD，AD 平面PAD，
则OG∥平面PAD，
故点G到平面PAD的距离等于点O到平面PAD的距离，又等于点B到平面PAD的距离的一半，
故，
而，
故．
18.【答案】 证明：（i）当过点P（-2，1）的直线斜率不存在时，
直线与椭圆E只有1个交点，舍去，
设直线l的方程为y-1=k（x+2），
设C（x1，y1）、D（x2，y2），由，
消去y整理得（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k=0，
所以Δ=（16k2+8k）2-4（1+4k2）（16k2+16k）＞0，解得k＜0，
，，
直线BC的方程为，令y=0，得，
同理可得．
=．
又因为，
．
所以，
所以M，A，N的横坐标成等差数列；（ⅱ）由（ⅰ）知A为M，N的中点，得|MN|=2|AN|，
所以，
所以△ABD与△BMD的面积之比为．

19.【答案】解：（1）当b=1时，f（x）=alnx-x,定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜a；令f′（x）＜0，得x＞a,
∴函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a,+∞）上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a,+∞）上单调递减．
（2）当a=1时，，∴当b＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，显然f（x）≤-1不成立；
当b＞0时，由f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）max=f（）=ln-1，
∵f（x）≤-1，∴，故b=1，∴f（x）=lnx-x,
∴f（x）≤g（x），即lnx-x≤xex-（m+1）x-1，等价于xex≥lnx+mx+1对x＞0恒成立，
即对x＞0恒成立．令，∴m≤F（x）min，
．令G（x）=x2ex+lnx,x∈（0，+∞），
则恒成立，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增．
由于G（1）=e＞0，，∴使得G（x0）=0，即，（※）
∴当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，
即F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴，
由（※）式可知，，，
令s（x）=xex，s′（x）=（x+1）ex，又x＞0，∴s′（x）＞0，即s（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴，即x0=-lnx0，∴，∴，
∴m≤1，即实数m的取值范围为（-∞，1]．
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