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2025-2026学年河南省青桐鸣普通高中高一（上）期末数学试卷（北师大版）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知a为实数，集合A={x|x2-4x+a=0}中有且仅有一个元素，则a=（　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
2.若α是第一象限角，3α是第三象限角，则α构成的集合为（　　）
A. （k∈Z）
B. （k∈Z）
C. （k∈Z）
D. （k∈Z）
3.样本数据210，224，201，244的60%分位数为（　　）
A. 224 B. 210 C. 217 D. 238
4.现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为p,则p=（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）在[1，2]上有定义，设甲：f（x）在[1，2]上单调递增，乙：f（2）＞f（1），则（　　）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
6.伯努利原理是流体力学中的基本定律之一，其数学表达式为，其中p为压强（单位：帕斯卡），ρ为密度（单位：千克每立方米），g为重力加速度（取10米每二次方秒），C为常数（单位：帕斯卡），v为速度（单位：米每秒），h为高度（单位：米）.现对某液体增压，使其在空中匀速下降，此时h=vt,C=10，t为运动时间（单位：秒）.若当运动时间为2秒时，在v∈[0，1]时，函数p（v）有且仅有1个零点，则该液体密度的最小值是（　　）
A. B. C. D.
7.某地开展志愿服务，小蓝，小黄等9人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.设函数f（x）=3x+x,g（x）=x+log3x,设a=f（2026），b=g（32025），则（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为X，第二次得到的点数为Y，记事件A=“X+Y为偶数”，事件B=“X+Y为奇数”，事件C=“XY为偶数”，则下列正确的有（　　）
A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. P（BC）=P（B）
10.定义在R上的函数f（x）满足 x1＞x2，都有，设函数g（x）=f（x）-5x,若f（0）＞0，则下列正确的有（　　）
A. g（x）单调递减 B. f（10）＞50
C. g（x）在[0，+∞）上无零点 D. f（20）＜100
11.已知样本数据x1，x2，x3的方差为6，则（　　）
A. 该组样本数据的平均数无最值 B. 数据x1-x2，x2-x3，x3-x1的方差为9
C. 该组样本数据极差的最大值为6 D. 该组样本数据极差的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形的面积为S，弧长为l,若S=3l2，则该扇形的圆心角对应的弧度数为 .
13.设函数f（x）=ax3-x2-ax+1（a为实数），则曲线y=f（x）经过的所有定点的坐标为 .
14.若0＜b＜2＜a,，则a+b= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）化简：；
（2）借助单位圆，讨论函数u=cosα在上的单调性.
16.(本小题15分)
无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：cm），得到如下表格：
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0
土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2
规定：记第i组中无土环境生长植株的平均高度为di，土壤环境生长植株的平均高度为hi，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大.
（1）求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差；
（2）证明：两种环境下植株生长差异较大.
17.(本小题15分)
已知函数是奇函数，且a,b,c均为实数.
（1）求a+b+c的值；
（2）若f（-x）＜f（2x-m）当且仅当x＞2时成立，求m的值.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）用定义法证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增.
（2）设函数g（x）=f（x）+2lnx.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：当x＞0时，ex-e-x+2x＞0.
19.(本小题17分)
已知a为实数，且函数为偶函数.
（1）求a的值.
（2）已知m∈R，若方程f（x）=m有两个不相等的实数根x1，x2，且以，，为边长能构成三角形.
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）若该三角形恰为直角三角形，求m的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】（-1，0），（0，1），（1，0）
14.【答案】4
15.【答案】sinα 在上单调递增，在上单调递减
16.【答案】中位数为16.2，极差为2.4 先计算，
计算每一组|di-hi|：
第一组：|12.8-15.2|=2.4
第二组：|13.2-16.4|=3.2
第三组：|13.1-14.9|=1.8
第四组：|12.9-17.3|=4.4
第五组：|13.0-16.2|=3.2
求和：2.4+3.2+1.8+4.4+3.2=15
计算平均值：
若，则称两种环境下植株生长差异较小，
，不满足“＜3”的条件，
∴两种环境下植株生长差异较大
17.【答案】a+b+c=-1 6
18.【答案】任取x1，x2∈（0，+∞），不妨令x1＜x2，
则x2-x1＞0，x1x2＞0，
所以，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增 （ⅰ）因为y=2lnx在（0，+∞）上单调递增，由（1）得在（0，+∞）上单调递增，
所以在（0，+∞）上单调递增，
因为，
所以，
由g（x）是增函数可知，
原命题成立．
（ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0，
又y=ex在R上单调递增，所以当x＞0时ex＞e0=1，
所以g（ex）＞g（1），即ex-e-x+2x＞0
19.【答案】a=-1 （ⅰ）（1，log431-1）；（ⅱ）log423-1或log25-1
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