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北京市2025-2026学年上学期学业水平测试九年级数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.大运河森林公园位于北京市通州区的北运河两侧，占地面积约为10700亩，公园沿水系长达8公里，分别建有潞河桃柳、月岛闻莺、明镜移舟等六大景区和长虹花雨、半山人家、皇木古渡等十八处景点．将10700用科学记数法表示应为（　　）
A. 1.07×104 B. 10.7×103 C. 1.07×105 D. 0.107×105
2.下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（）
A. 了解全班同学的视力情况
B. 了解“双减”下七年级学生每天写作业的时长情况
C. 了解“神舟载人飞船”各零部件的质量情况
D. 学校招聘教师对应聘人员的面试
3.如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下：
第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，；
第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点；
第三步：作射线交于点．
关于，，下列说法正确的是（ ）
A. 的长有限制，的长无限制 B. 的长无限制，的长有限制
C. ，的长均无限制 D. ，的长均有限制
5.如图，的半径为2，是的内接三角形，半径于E，当时，的长是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点F，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（　　）
A. 的值一定是
B. 的值一定不是
C. m越大，的值越接近
D. 随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
8.如图,AB=5,O是AB的中点,P是以点O为圆心,AB为直径的半圆上的一个动点(点P与点A,B可以重合),连接PA,过P作PMAB于点M.设AP=x,AP-AM=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ．
10.在中，如果，，那么的值是 ．
11.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为
12.如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-+2可以看作是抛物线y=x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=x2+2得到抛物线y=-+2的过程： ．
14.如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
15.在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… …
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）．
16.已知：在四边形中，，M、N分别是和上的点．
求作：点M、N，使的周长最小．
作法：如图，
（1）延长，在的延长线上截取；
（2）延长，在的延长线上截取；
（3）连接，分别交、于点M、N．则点M、N即为所求作的点．
请回答：这种作法的依据是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
17.计算：．
四、解答题：本题共11小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
如图，相交于的点，且．求证：．
19.(本小题4分)
已知关于x的一元二次方程．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
20.(本小题4分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象交于点．
(1) 求m的值及一次函数的表达式；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
21.(本小题4分)
生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以为圆心为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请你求出路面的宽度．（用含的式子表示）
22.(本小题4分)
一个不透明的袋中装有个红球、个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；
活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．
请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
23.(本小题4分)
图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，．斜坡顶端 B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（ a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．
(1) 求y关于x的函数关系式；
(2) 斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
24.(本小题6分)
如图，四边形内接于，，是对角线．点E在的延长线上，且．
(1) 求证：；
(2) 若，，，求的长．
25.(本小题5分)
如图，是的直径，是上两点，连接，，平分，，交延长线于点．
(1) 求证：且是的切线；
(2) 若的半径为，，求的长和的值．
26.(本小题5分)
如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4.

(1) 设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
(2) 当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．
27.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．
(1) 当a=﹣1时，求A，B两点的坐标；
(2) 过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．
①当a=2时，求PB+PC的值；
②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
28.(本小题5分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）．
(1) ①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是__；②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
(2) 以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】将抛物线y=x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y=- +2．（答案不唯一）
14.【答案】m＜2
15.【答案】5.9/(答案不唯一)
16.【答案】①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）；
②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；
③两点之间线段最短

17.【答案】解：，
=2-4×+3-2，
=2-2+3-2，
=1．
18.【答案】证明：∵相交于的点，
∴，
又∵，
∴．

19.【答案】【小题1】
证明：依题意得：


，
，
∴．
∴方程总有两个实数根；
【小题2】
由，
可化为：
得，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴a的最小值为0．

20.【答案】【小题1】
∵一次函数与函数的图象交于点，
∴把点代入得，
把代入得，
解之得
∴一次函数为
【小题2】
解不等式
∵时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
∴的取值范围

21.【答案】解：如图，连接OC．
由题意知．
．
．
由题意可知于，
.
在中，
．
．

22.【答案】解：猜想P1＜P2，理由如下：
活动1，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，
∴P1==；
活动2，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴P2=，
∵=＜，
∴P1＜P2．
23.【答案】【小题1】
∵， BC=3，
∴AC=6，即：点B坐标是：（6，3），
把（4，4）（6，3）代入：，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式是：
【小题2】
树顶离底面高度为：1.8+2×=1.8+2×=2.8，
当x=2，代入，得：=3>2.8，
∴从A喷出的水珠能越过这棵树．

24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
四边形内接于，，
，
，
，
，
、，
，
；
【小题2】
解：在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
由（1）知，
，
．

25.【答案】【小题1】
证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴（两角分别相等的两个三角形相似），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴；
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小题2】
：∵是的直径，的半径为，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理：，
∵是的切线，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
设，
解得：，
，
∵，，
∴，
即：．

26.【答案】【小题1】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，
∵CE=CF，CE=x，
∴CF=x，
∴BE=DF=4-x，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：，
∴当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8．

27.【答案】【小题1】
当a＝﹣1时，有y＝－x2﹣2x
令y＝0，得－x2﹣2x＝0
解得.
∵点A在点B的左侧
∴A（－2,0），B(0,0).
【小题2】
①当a＝2时，有y＝2x2﹣2x
令y＝0，得2x2﹣2x＝0
解得
∵点A在点B的左侧
∴A（0,0），B(1,0)
∴PB＝2
当x＝3时，yc＝
∴PC＝12
∴PB＋PC＝14.
②∵x＝3时，
∴C(3，9a－6)
y＝0时，
x(ax－2)＝0
当即a＞0时，
PB＝3－
PC＝9a－6
PB＋PC＝3－＋9a－6＝9a－－3
9a－－3＞14
9a－17≥
令y1＝9a－17,y2＝
双曲线y2＝与直线y1＝9a－17的交点为M、N，则其坐标为方程组的解，
9a2－17a－2＝0
(9a＋1)(a－1)＝0
或a＝2
即点N的横坐标为，点M的横坐标为2，
∴9a－17≥的解集为：≤a＜0或a≥2
∴a≥2
当＜0即a＜0时，
B(0,0)
PB＝3
PC＝－(9a－6)＝6－9a
PB＋PC＝3＋6－9a＝9－9a，
9－9a≥14
综上所述,或a≥2.

28.【答案】【小题1】
解：①如图1，
∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0，
∴点A不是ON的二分点，
∵OB=，BN=2，
∴BN=2OB，
∴B点是ON的二分点，
∵CD=1，OC=2，
∴点C是ON的二分点，
故答案是：B、C；
②如图2，
当OC=2是最小值时，最大值是OD=4，
∴，
∴（舍去），，
当最小值是1时，a≥，
最大值是2时，
∵OC=2，
∴a≤2，
∴≤a≤2，
综上所述：a= 或≤a≤2；
【小题2】
解：如图3，
当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），
假设M是⊙O的二分点，
∴x+r=2（x-r），
∴x=3r，
∴1≤3r≤3，
∴≤r≤1；
如图4，
点M在⊙O内，
∴x+r=2（r-x），
∴x=，
∴1≤≤3，
∴3≤r≤9，
综上所述：≤r≤1或3≤r≤9．

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