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2025-2026学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（下）段考数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f′（1）=3，则=（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.已知函数f（x）=ln（2x）-f′（1）x,则f′（1）=（　　）
A. 1 B. -1 C. D. 2
3.如图所示是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的图象，下列四个结论：
①f（x）在区间（-3，1）上是增函数；
②f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（-1，2）上是增函数：
③x=1是f（x）的极大值点；
④x=-1是f（x）的极小值点.
其中正确的结论是（　　）
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
4.在等比数列{an}中，a1，a5是函数f（x）=（x2-7x+11）ex的极值点，则a3=（　　）
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 1
5.若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1，则等于（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=6，若存在一个可以在三棱柱ABC-A1B1C1内任意转动的正方体，则该正方体棱长a的最大值为（　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
7.函数f（x）的导函数f′（x）满足2f（x）+f′（x）＞2，且f（1）=2025，则不等式的解集是（　　）
A. （1，+∞） B. （0，1） C. （1，2025） D. （2025，+∞）
8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=-，AB⊥BD，则E的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论不正确的是（　　）
A. （cosx）′=sinx B.
C. 若，则 D.
10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A. 抛物线C的焦点坐标是（2，0）
B. x1x2=4
C. 若x1+x2=5，则|AB|=7
D. 若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径
11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且，令，则下列结论正确的有（　　）
A. B.
C. [b1+b2+ +b63]=6 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知方程，表示焦点在y轴的椭圆，则k的取值范围是 .
13.已知，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 .
14.若对任意x＞0，恒有，则实数a的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，且a5是a2与a14的等比中项.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点处的切线方程；
（2）求f（x）的单调性和极值.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，BC=2，△PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，O，F分别是BC，PC的中点，AC与BD交于点E.
（1）求证：BD⊥平面PAO；
（2）平面OEF与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成角θ的大小.
18.(本小题17分)
已知点，且||PF1|-|PF2||=4.
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）已知点M（m,2），斜率为k的直线l过点M.
（i）若m=0，且直线l与曲线C只有一个交点，求k的值；
（ii）已知点T（2，0），直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2为定值，求实数m的值.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）≤0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】（-3，
13.【答案】x-2y-1=0
14.【答案】
15.【答案】解：(1)设{}的公差为d(d0),因为是与的等比中项,所以=,
即=(+d)(+13d),整理得=d.
又=1,d0,所以d=2,则=+(n-1)d=2n-1.
(2)由(1)可得==,==(2n-1),
则=1+3+5++(2n-1),
=1+3+5++(2n-1),
-得-=2+2(+++)-(2n-1)
=2+2-(2n-1)=--,
则=+.
16.【答案】（1）（e+1）x-y-1=0 （2）当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；当a＞0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值
17.【答案】解：（1）证明：因为△PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO⊥BC，
又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD，PO⊥BD，
因为，所以，所以AO⊥BD，
又因为PO，AO在平面POA内且相交，故BD⊥平面PAO；
（2）因为E，O分别为BD，BC的中点，所以EO∥DC，
又平面PDC过DC且不过EO，所以EO∥平面PDC，
又平面OEF交平面PDC于QF，故EO∥QF，进而QF∥DC，因为F是PC中点，所以Q是PD的中点，
以O为原点，OE，OC，OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面PCD的法向量为，
则，解得x=0，
令z=1，得，所以，
所以sinθ=|cos＜，，所以，
所以直线OQ与平面PCD所成角θ的大小为．
18.【答案】 （i）或；（ii）m=2
19.【答案】x+2y-1=0 （-∞，2] 证明：由（2）可知，当a=2时，，
即当且仅当x=1时取等号，
令，则，即，
可得，
所以，
根据对数的运算法则可得，
所以
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