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2025-2026学年湖南省长沙市南雅中学教育共同体九年级（下）段考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列四个数中，其中是无理数的是（　　）
A. B. C. -3.1416 D. 2026
2.下列运算正确的是（　　）
A. 2x7÷x5=2x2 B. 2x3 3x2=6x6 C. （-2x）3=-6x3 D. 2x2+x2=2x4
3.宋 苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟.”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.000005千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（　　）
A. 0.5×10-5千克 B. 5×106千克 C. 5×10-6千克 D. 5×10-5千克
4.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5.一家鞋店在一段时间内销售某种品牌的女鞋30双，各种尺码的销量如表：
尺码（cm） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售（双） 1 1 7 9 8 3 1
如果鞋店要购进100双这种品牌的女鞋，那么其中23.5cm,24cm,24.5cm三种尺码的鞋进货数量最合适的是（　　）
A. 24双 B. 65双 C. 80双 D. 94双
6.如图，将直尺与三角尺叠放在，一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为（　　）
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（　　）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
8.如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BD=4，AD=6，且∠BCD=∠A，则BC的长为（　　）
A. 2
B.
C.
D.
9.如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，且点O在底边AC上，，则的长是（　　）
A. π
B.
C. 2π
D.
10.如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　）
A. 九（1）班 B. 九（2）班 C. 九（3）班 D. 九（4）班
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：m-ma2= .
12.使代数式有意义的x取值范围是 .
13.当x= 时，分式与的值互为相反数.
14.如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠ABC=60°，则弦AC的长等于 .
15.若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为______．
16.雅雅让同学们猜一个两位数，四位同学对这个数作出了如下猜测：
甲：“这个数比60小，它是个双数.”
乙：“这个数比80大，它是个单数.”
丙：“这个数的数字和是12；它加上5后是11的倍数.”
丁：“这个数加上9后是10的倍数；它加上6后是7的倍数.”
雅雅检查后发现，每个同学都恰好说对了一半，这个两位数是 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（）÷，其中a=-1.
19.(本小题6分)
烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由2932块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟.为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端A点处观测纪念塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测纪念塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB是16m,求：
（1）楼房与纪念塔底部距离AD的长（保留根号）；
（2）该纪念塔的高度.（结果精确到1m,参考数据：，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
20.(本小题8分)
国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿.《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《 年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位.
其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《 年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图.
等级 频数 频率
A a 0.3
B 35 0.35
C 31 b
D 4 0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a=______，b=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为______人；
（4）张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率.
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P、交⊙O于点Q，且CP=CB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠A=22.5°，r=2，求图中阴影部分的面积.
22.(本小题9分)
网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示：
A B 销售金额
60杯 20杯 1220元
30杯 40杯 1090元
（1）求A，B两种饮品的单价；
（2）某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？
23.(本小题9分)
如图1，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设.
（1）若CE=FE，求证：λ=1；
（2）如图2，若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，对于抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）图象上两个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们不妨约定：
如果满足a2+a（y1+y2）+y1y2=0，且y1≠y2，则称点P与点Q是一对“失衡点”；
如果满足，则称点P与点Q是一对“平衡点”；
若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”.
（1）判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数y=x2+1是“完备函数”；______
②函数y=-x2+2x上存在无数对“失衡点”；______
③若点P与点Q是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”.______
（2）已知抛物线y=ax2-a（a≠0）与一次函数y=kx+m相交于两点P、Q，且P、Q恰好是该抛物线上的一对“失衡点”.若x1=4-x2，直线PQ是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）是“完备函数”，点A、B是一对“平衡点”.抛物线的顶点为E，它与x轴交于C、D两点.当△CDE是等边三角形时，记△ABE的面积为S，试求的最小值.
25.(本小题10分)
如图，四边形ACPD是⊙O的内接四边形，点B是DC延长线上一点，连接AB、AD、AP，AP交直径CD于E，若∠BAC=∠ADB，tan∠ADB=.
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AP平分∠CAD，求的值；
（3）设CE=x,记a=，b=AE EP，若y=+b,求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】m（1+a）（1-a）
12.【答案】x≥2026
13.【答案】0
14.【答案】
15.【答案】1080°
16.【答案】57
17.【答案】7．
18.【答案】a2+3a，-2．
19.【答案】16米 该纪念塔的高度约为59米
20.【答案】30;0.31 补全条形统计图如下：
480
21.【答案】连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA（等边对等角），
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP（等边对等角），
∵∠CPB=∠APO，
∴∠CBP=∠APO，
∵∠A+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∴∠OBC=90°，
∴OB⊥CB，
∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切（垂直于半径的直线是圆的切线）
22.【答案】A种饮品的单价为15元，B种饮品的单价为16元 456元
23.【答案】连接DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠C，
∵EF=CE，DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF=CD，
∴DF=AB，
∵∠AFD=∠B=90°，∠DAF=∠AEB，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴AD=AE，
∴
24.【答案】×;√;× 直线PQ经过定点；定点 最小值为2
25.【答案】连接OA，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠BAC=∠OAD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠CAO+∠OAD=∠CAO+∠BAC=∠BAO=90°，
∴OA⊥AB，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线 ，
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