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2025-2026学年江苏省南京外国语学校九年级（下）第二次段考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中的无理数是（　　）
A. B. 3.14 C. D.
2.下列计算结果为a6的是（　　）
A. a2 a3 B. a12÷a2 C. a3+a3 D. （a2）3
3.下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（　　）
A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板
C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车
4.若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　）
A. m＞2 B. m≥2 C. m＜2 D. m≤2
5.反比例函数的图象上有P（t,y1），Q（t+4，y2）两点.下列正确的选项是（　　）
A. 当t＜-4时，y2＜y1＜0 B. 当-4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C. 当-4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D. 当t＞0时，0＜y1＜y2
6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF.设AE=x,四边形DEBF的面积为y,则y关于x的函数图象为（　　）.
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.国家统计局2026年3月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效.将数据300000用科学记数法表示是 .
8.计算：-×= ______.
9.因式分解：（x+2）（x+4）+1= .
10.一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是______．
11.如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若=，则= .
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b（a≠0）与双曲线y2=（k≠0）交于点A（-1，m），B（2，-1）.则满足y1≤y2的x的取值范围______.
13.若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm.
14.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP=2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）.
15.已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根，则的值是 .
16.抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＜0）经过（-1，1），（m,1）两点，且0＜m＜1.下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x-1）2+b（x-1）+c＞1；
③若a=-1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＜y2，则.
其中正确的是 （填写序号）.
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题6分)
先化简，再代入求值：，其中.
19.(本小题7分)
如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E.
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长.
20.(本小题6分)
为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析.
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本.
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理.（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
组别 A B C D
成绩（x/分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数（人） m 94 n 16
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图.
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m= ______， n= ______；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°；
（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数.
21.(本小题6分)
游乐场有3个游玩项目A、B、C，甲、乙各自在这3个项目中随机选取2个项目游玩.
（1）求甲选择到项目A的概率；
（2）甲、乙都选择到项目A的概率为______.
22.(本小题10分)
2026年春节期间，南京夫子庙景区某特产店销售A，B两类特产.A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？
23.(本小题7分)
如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m,小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度.他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α=45°，AB=10m.求山顶C点处的海拔高度.（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
24.(本小题9分)
甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲货车到达配货站之前的速度是______km/h,乙货车的速度是______km/h；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
25.(本小题10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=CD.点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，CE=4，求AF的长.
26.(本小题9分)
阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念-性质-判定”的路径，由一般到特殊进行研究.
研究方法：观察（测量、实验）-猜想-推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B.
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°.
对角线：…
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______.
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形.连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
27.(本小题10分)
综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（-1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC=24时，求点P的坐标；
（3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG=45°，则点G的坐标为______；
（4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l,过点C作CE⊥l,垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是______.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】3×105
8.【答案】
9.【答案】（x+3）2
10.【答案】8
11.【答案】
12.【答案】-1≤x＜0或x≥2
13.【答案】5
14.【答案】（）
15.【答案】14
16.【答案】②③④
17.【答案】6 1＜x≤4
18.【答案】解：
=
=
=，
当时，原式===．
19.【答案】（1）证明：由作图知：BD=CD．
在△ABD 和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC=120°，
∴∠BDA=∠CDA=∠BDC=×120°=60°，
又∵BD=CD，
∴DA⊥BC，BE=CE．
∵BD=2，
∴BE=BD sin∠BDA=2×=，
∴．
20.【答案】解：（1）50 ，40 ；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）72；
（4）2000×=560（名），
答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名．
21.【答案】．
．
22.【答案】A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 y=10x+60（0≤x≤10） A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元
23.【答案】解：过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，
设BD=x m,
∵AB=10m,
∴AD=AB+BD=（x+10）m,
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴CD=BD tan45°=x（m），
在Rt△ACD中，∠A=42°，
∴CD=AD tan42°≈0.9（x+10）m,
∴x=0.9（x+10），
解得：x=90，
∴CD=90m,
∵小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m,
∴山顶C点处的海拔高度约=1600+90=1690（m），
∴山顶C点处的海拔高度约为1690m.
24.【答案】解：（1）30，40；
（2）∵3.5+0.5=4（h），6-0.5=5.5（h），
∴点E（4，105），F（5.5，225）．
设线段EF对应的函数解析式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标E（4，105）和F（5.5，225）分别代入y=kx+b,
得，
解得，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y=80x-215（4≤x≤5.5）．
（3）出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
25.【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AF，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH=∠GEH，
∵∠GEH=∠H+∠BAC，∠FEH=∠F+∠BAF，
∴2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF，
∴∠BAF=2∠BAC，
∴∠F=2∠H=90°，
∴∠OCE=∠F=90°，
即OC⊥EF，
∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠BCE=90°，
∴∠OBC+∠BAC=90°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠BCE=∠EAC，
∵∠BCE=∠CAE（已证），∠AEC=∠CEB（公共角），
∴△BCE∽△CAE，
∴====，
∴CE2=BE AE，即16=2AE，
解得AE=8，
∴AB=8-2=6，
在Rt△ABC中，AB=6，=，
∴BC=，AC=，
∵∠F=∠ACB=90°，∠FAC=∠BAC，
∴△FAC∽△CAB，
∴=，
∴AF==．
26.【答案】240； ∠ BAD=∠FAD，理由见解析； 见解析．
27.【答案】抛物线的解析式为；
P1（-2，-4），P2（8，-9）；
（11，-30）；
．
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