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河南驻马店市2025-2026学年高二下学期3月内部练（北师大版）数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列满足，且，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
2.经过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5.已知，是两个随机事件，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（）
A. 720 B. 432 C. 228 D. 114
7.如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.若数列{}满足对于n,恒有>成立,则称{}为“L数列”.已知“L数列”{}的各项都是整数, 且=50,=48, 若> 0, 则n的最大值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.(多选)已知的展开式中的系数为-9,则( )
A. a=-1 B. 展开式中常数项为-84
C. 所有项的系数之和为512 D. 二项式系数最大项为第5项或第6项
11.已知点在双曲线的渐近线上，，分别是的左、右焦点，是的左支上的一动点，则（ ）
A. 的离心率为
B. 存在点，使得为等腰直角三角形
C. 点到的两条渐近线的距离之积为定值
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，，，则 ．
13.已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则___ __．
14.在直四棱柱中，，，，，，若线段，，上分别存在点，使得四边形为菱形，则直四棱柱的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面ABCD，，，．
(1)证明：；
(2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
某电商平台销售、两款同一价位的智能产品，近个月的销售情况如下：
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份代号
销售总量（万件）
已知可用线性回归模型拟合与的关系．
(1)根据表中数据求与的线性回归方程；
(2)根据（1）中所求的方程，预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量；
(3)已知该电商平台购进、两款智能产品的数量之比为，平台声明销售时、两款智能产品会随机发货．现一客户购买了件该产品，记表示购买的件产品中款的数量，求的分布列和数学期望．
附：线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.
18.(本小题17分)
设是数列的前n项和，已知，．
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点．
(1)求的标准方程．
(2)若直线与交于，两点．
（ⅰ）当时，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线过定点；
（ⅱ）当时，设为坐标原点，是上异于，的点，且，求的面积．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】1.5/
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，
由条件可知，
解得，，
所以的通项公式为．
（2）因为，
所以数列的前项和为.

16.【答案】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为原点，以，所在直线分别为，轴，以在平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，所以，
作于点，又，故，，
则，，，，所以，，
因为，
所以，故．
（2）由（1）可知，，
设平面的一个法向量为，由得
取，则．
由（1）知，平面，则是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．

17.【答案】解：（1），，
，
，
所以，，
故与的线性回归方程为．
（2）当时，，
故预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量为万件．
（3）因为、两款智能产品的数量之比为，所以任选一件产品是款的概率为，
由题意可知，，的可能取值分别为、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
由二项分布的期望公式可得.

18.【答案】解：（1）已知，
当时，，
两式相减得：，
整理得：，，
当时，，
，满足，
又，因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证；
（2）由(1)得，
因此：，
设前项和为，
则，
，
两式相减得：，
即，
又数列前项和为，
因此；
（3）由得：，因此，
化简不等式左边：，，
因此，
不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
设
则，
当，，
即时，；
当时，，
因此的最大值为 ，故，
即的取值范围为.

19.【答案】解：（1）由两点的位置可知，椭圆的长轴在轴上，
设的方程为．
由解得，，
故的标准方程为．
（2）由整理得，
则，
设，，则，，
（ⅰ）当时，，
由题意可知，，所以直线的方程为，
令，则
，
故直线过定点．
（ii）设，则，，
由，得，则，
将点代入得，
整理得，
又，在椭圆上，所以，，代入上式得，
又，均在直线上，
所以，，则，
整理得，
将，代入上式，得，
则，
所以
，
又点到直线的距离为，
故的面积为．

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