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第五章 复数
5.2.2 复数的乘法与除法
1.理解并掌握复数的乘法与除法法则，熟练进行复数的乘、除法运算.
2.理解复数乘法的运算律和复数正整数指数幂的运算性质，并能熟练应用.
问题1：设 a，b，c，d ∈R，则 (a＋b)(c＋d) 怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
问题2：类比多项式的乘法运算，想一想两个复数如何进行乘法运算？
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2，
∵i2＝－1，∴ z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
注意：在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
问题3：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律吗？
对任意三个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)，
有z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，
z2·z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ca－db)＋(cb＋da)i，
∵ac－bd＝ca－db，ad＋bc＝cb＋da，∴z1·z2＝z2·z1(交换律).
同理(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)，
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(分配律).
复数乘法的交换律、结合律、分配律
对任意 z1，z2，z3 ∈C，
交换律：z1·z2＝z2·z1；
结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数 z，z1，z2 和正整数 m，n，有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z1n·z2n.
对于复数 z，定义它的乘法zn ＝ z·z·…·z.
n个
在复数的乘方运算中，经常要计算i的乘方，i的乘方有如下规律：
i0＝1，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，…
一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
解：(1) (2+3i)(2-3i) = 22-(3i) = 4-(-9) = 13；
例1：计算 (1) (2+3i)(2-3i)； (2) (1+i)2.
(2) (1+i)2 = 1+2i+i2 = 1+2i-1 = 2i .
思考：若 z1，z2 是共轭复数，则 z1z2 是一个怎样的数？
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方，即若 z = a + bi (a，b∈R)，则
练一练：证明：对任意的两个复数 z1，z2，若 z1·z2 = 0，则 z1，z2 至少有一个为 0.
证明：设 z1 ≠ 0，则 |z1| ≠ 0，z1 的共轭复数 ，
将 z1·z2 = 0 的左右两边同时乘 ，得
∵ |z1|2 ≠ 0，∴ z2 ＝ 0.
问题4：类比实数的除法是乘法的逆运算. 复数的除法应该满足怎样的运算法则？
我们把满足(c + di)(x + yi) = a + bi (c + di ≠ 0) 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 除以复数 c + di 的商，记作 (a+bi)÷(c+di) 或
利用(c + di)(c - di) = c2 + d 2. 于是将 的分母实数化得：
复数的除法法则：
两个复数相除 (除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数
根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.
复数除法: 分子分母都乘以分母的共轭复数，从而使得分母“实数化”.
类比
例2：计算 (1+2i) ÷ (3-4i).
解：
进行复数除法运算的方法：
① 先把 (a+bi)÷(c+di) 写成 的形式；② 把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di；
③ 再化简即可.
例3：在复数范围内解下列方程：
（1）x2 + 2 = 0；
（2）ax2 + bx + c = 0. 其中 a，b，c∈R，且 a ≠ 0. ( = b2 - 4ac < 0)
解：（1）因为
所以方程 x2 + 2 = 0 的根为
（2）将方程 ax2 + bx + c = 0 的二次项系数化为 1 得
配方，得
即
类似（1）可得：
由 < 0 知
所以原方程的根为
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式为：
① 当 ≥ 0 时，
② 当 < 0 时，
对于实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求解问题，当 < 0时，此时方程两根满足：
① 根与系数关系仍然成立，即
② 两个根互为共轭复数.
知识框图：
运算律
复数的乘法
复数的除法
共轭复数积的特点
运算法则
定义
运算法则
定义

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