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2026年中考一轮复习
4.6 特殊的平行四边形
三角形及四边形
第4章
“—”
1．理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系．
2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
1．矩形
（1）矩形的定义：有一个角是______的平行四边形叫作矩形．
（2）矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有________．
①矩形的四个角都是________．
②矩形的对角线________．
③矩形是轴对称图形，有________条对称轴，矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的________．
直角
性质
直角
相等
两
交点
（3）矩形的判定：
①有一个角是________的平行四边形叫作矩形．
②对角线________的平行四边形是矩形．
③有三个角是________的四边形是矩形．
直角
相等
直角
2．菱形
（1）菱形的定义：有一组邻边______的平行四边形叫作菱形．
（2）菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有________．
①菱形的四条边都________．
②菱形的两条对角线互相________，并且每一条对角线平分________．
③菱形是轴对称图形，有________条对称轴，菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的________．
相等
性质
相等
垂直
一组对角
两
交点
（3）菱形的判定：
①一组邻边________的平行四边形叫作菱形．
②对角线互相________的平行四边形是菱形．
③四条边________的四边形是菱形．
相等
垂直
相等
3．正方形
（1）正方形的定义：有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形叫作正方形．
即：正方形既是有一组邻边相等的________，也是有一个角是直角的________．
相等
直角
矩形
菱形
（2）正方形的性质：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有________．
①四边________，四个角都是________．
②正方形对角线________________________，并且每一条对角线平分________．
③正方形是轴对称图形，有________对称轴，正方形也是中心对称图形，对称中心是对角线的________．
性质
相等
直角
互相垂直平分且相等
一组对角
四条
交点
（3）正方形的判定：
①有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形叫作正方形．
②有一组邻边________的矩形是正方形．
③有一个角是________的菱形是正方形．
④对角线________________________的四边形是正方形．
相等
直角
相等
直角
互相垂直平分且相等
B
C
A
6
A
A 基础达标练
B
D
B
C
A
（答案不唯一）
①②③④
B 强化提升练
42
Thanks!
2
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章 三角形及四边形
4.6 特殊的平行四边形
1．理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系．
2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
1．矩形
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
（2）矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．
①矩形的四个角都是直角．
②矩形的对角线相等．
③矩形是轴对称图形，有两条对称轴，矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
（3）矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是直角的四边形是矩形．
2．菱形
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
（2）菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．
①菱形的四条边都相等．
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
③菱形是轴对称图形，有两条对称轴，菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
（3）菱形的判定：
①一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③四条边相等的四边形是菱形．
3．正方形
（1）正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形．
即：正方形既是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形．
（2）正方形的性质：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
①四边相等，四个角都是直角．
②正方形对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
③正方形是轴对称图形，有四条对称轴，正方形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
（3）正方形的判定：
①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形．
②有一组邻边相等的矩形是正方形．
③有一个角是直角的菱形是正方形．
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
■考点一 矩形的判定及性质
◇典例1：（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是矩形的判定及性质、勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键．
首先过作于点，利用矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由求得的长，然后再在中，利用勾股定理求的长．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故选：．
◆变式训练
1．（2025·河南商丘·二模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是_________________ ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等角的余角相等，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，最短距离问题，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
本题先根据矩形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，作交于点N，交的延长线于点，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，连接，可得，，根据矩形的判定与性质得出，，，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出，根据两点之间，线段最短得出当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为，结合勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即，
作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图：
则，，
∵，
又∵，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为．
在中，，
故答案为：．
2．（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，
∴，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
■考点二 菱形的判定及性质
◇典例2：（2025·湖南·中考）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可．
【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形的周长为，
解法二：
∵在四边形中，对角线与互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴菱形的周长为，
故选：．
◆变式训练
1．（2025·广东珠海·三模）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为若，，则______．
【答案】
【分析】证明四边形是菱形得，，，由勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2026·宁夏银川·一模）如图，矩形中，是对角线的垂直平分线，连接、，且、．证明四边形是菱形并求面积．（提示：证平分）
【答案】证明见解析；
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，菱形面积的计算公式．根据题意证明，先证明四边形是平行四边形，再根据证明四边形是菱形；根据菱形的性质得到，设，则，根据在中，，得到，解得，根据即可得到答案．
【详解】证明：矩形，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故，
．
■考点三 正方形的判定及性质
◇典例3：（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接交于点，由正方形的性质得，，，，由，得，由证明，得，推导出，则，可证明，进而证明，则，，所以，则四边形是正方形，所以，于是得到结论．
【详解】解：连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，且，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：．
◆变式训练
1．（2025·四川广元·中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________．
【答案】6
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解．
【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图，
∵，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6．
2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，连接，交于点，若点是的中点，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知正方形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，则可利用证明；
（2）过点E作于M，于N，由正方形的性质得到，由角平分线的性质得到，则可证明四边形是正方形，得到，证明，得到，则；利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于M，于N，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
■考点四 四边形综合问题
◇典例4：（2025·四川攀枝花·中考）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可．
【详解】解：设交于点Q，交于点P，
∵分别是的中点，
∴，且，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．得四边形是平行四边形，求出，，得出，要使四边形的周长最小，只要使的值最小，当A、N、F三点共线时的值最小．运用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题．
【详解】解：作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
，
，
要使四边形的周长最小，只要使的值最小，
∴当A、N、F三点共线时的值最小．
设直线的解析式为：，
∵，，
∴，
解得，
，
当时，，
∴ ，
∴．
故答案为：．
2．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积．
【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1
【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论；
（2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明；
（3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积．
【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下：
如图，连接、交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
∴四边形是垂美四边形；
性质探究：；
证明如下：
记和交于点，
由题可知，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
；
问题解决：
如图，连接，过作于点，
，
，
在中，，
∴，
，
，
．
【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证．
A 基础达标练
1．（2025·贵州·中考）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
2．（2025·黑龙江大庆·中考）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解．
【详解】解：作于点，如图，
∵矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
由题意得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：D．
3．（2025·江苏常州·中考）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2025·陕西·中考）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∵为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
，
∴，即，
∴，
∴的面积．
故选：C．
5．（2026·安徽池州·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当平分时，四边形是矩形
【答案】A
【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
∵分别为边的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即 A 选项符合题意，
当时，，
∴四边形是菱形，即 B 选项不符合题意，
当时，，
，
∴四边形是矩形，即C选项不符合题意，
当平分时，如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，即D选项不符合题意．
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知四边形中，对角线与相交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，可以添加的条件是_____________．（只添加一个条件）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查菱形的判定，解题的关键是结合已知条件，依据菱形的判定定理补充合适条件。
可以添加的条件（答案不唯一）理由是：由已知、根据可证，得到，从而根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到：四边形是菱形．
【详解】可以添加的条件是（答案不唯一）
理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。
故答案为：（答案不唯一）。
7．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______．
【答案】/70度
【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴．
8．（2026·山东济南·一模）如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____．
【答案】/
【分析】过点E作交于点G，先利用矩形的性质得出相关线段的长度，再由折叠的性质得到对应线段的长度，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求得的长，从而得到的长，设，则，利用勾股定理列出方程求得a的值，从而得出最终结果．
【详解】解：如图，过点E作交于点G，
在矩形中，，，，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，,，，，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴，
在中，．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点在线段上从点A至点运动，连接，以为边作等边，点和点A分别位于两侧，连接．下列结论：①；②；③点从点A运动到点时，的运动路程是4；④连接面积的最大值为．其中正确结论的序号为_____．
【答案】①②③④
【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，再利用角的等量代换，即可得出结论①正确；②连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确；③延长至，使 ，连接，通过，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论③正确；④过点作于点，在上截取，连接，证明，则，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：①设与的交点为，如图所示：
在矩形中，对角线相交于点，
∴，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，
，
，
∴
∴，故①正确；
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故结论②正确；
③如图，延长至，使 ，连接，
，
∴点在的垂直平分线上，则
点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，
，
设，则
解得：
，
点运动的路程是，
故结论③正确；
如图，过点作于点，在上截取，连接，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴，
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
设，则，，
∴
∴当时，面积的最大值为．
故④正确，
综上所述，正确结论的序号为①②③④．
10．（2026·新疆昌吉·二模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求OE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，判断出四边形是平行四边形，再由即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）先求出，利用勾股定理求出，又由是直角三角形，是中点，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）·四边形是菱形，，
，，
·在中，，，
，
，
，
是直角三角形，是中点，
（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）．
B 强化提升练
11．（2026·河南新乡·一模）综合与实践
在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线．
(1)【动手操作】
如图1，在边上截取，连接，则___________．
(2)【深入探究】
①在图2中找出与相等的角，并说明理由；
②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）．
(3)【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②
(3)线段的长为或10
【分析】（1）证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数；
（2）①先在上截取，证明，得到，进而求出和的度数，即可；②作，连接，根据勾股定理结合全等三角形的性质，得到，，证明四边形为矩形，得到三点共线，再证明，求出，再根据线段的和差关系求出即可；
（3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
在上截取，连接，
由（1）可知：，
∵，
∴，，即，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②作，连接，
∵，
∴，，
由①可知：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点在线段上时，
作，在上截取，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
∴，
在中，，
∴；
②当点在线段的延长线上时，作，延长至点，使，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形．
，
综上所述，线段的长为或10．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章 三角形及四边形
4.6 特殊的平行四边形
1．理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系．
2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
1．矩形
（1）矩形的定义：有一个角是________的平行四边形叫作矩形．
（2）矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有________．
①矩形的四个角都是________．
②矩形的对角线________．
③矩形是轴对称图形，有________条对称轴，矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的________．
（3）矩形的判定：
①有一个角是________的平行四边形叫作矩形．
②对角线________的平行四边形是矩形．
③有三个角是________的四边形是矩形．
2．菱形
（1）菱形的定义：有一组邻边________的平行四边形叫作菱形．
（2）菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有________．
①菱形的四条边都________．
②菱形的两条对角线互相________，并且每一条对角线平分________．
③菱形是轴对称图形，有________条对称轴，菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的________．
（3）菱形的判定：
①一组邻边________的平行四边形叫作菱形．
②对角线互相________的平行四边形是菱形．
③四条边________的四边形是菱形．
3．正方形
（1）正方形的定义：有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形叫作正方形．
即：正方形既是有一组邻边相等的________，也是有一个角是直角的________．
（2）正方形的性质：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有________．
①四边________，四个角都是________．
②正方形对角线________________________，并且每一条对角线平分________．
③正方形是轴对称图形，有________对称轴，正方形也是中心对称图形，对称中心是对角线的________．
（3）正方形的判定：
①有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形叫作正方形．
②有一组邻边________的矩形是正方形．
③有一个角是________的菱形是正方形．
④对角线________________________的四边形是正方形．
■考点一 矩形的判定及性质
◇典例1：（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·河南商丘·二模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是_________________ ．
2．（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：．
■考点二 菱形的判定及性质
◇典例2：（2025·湖南·中考）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
◆变式训练
1．（2025·广东珠海·三模）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为若，，则______．
2．（2026·宁夏银川·一模）如图，矩形中，是对角线的垂直平分线，连接、，且、．证明四边形是菱形并求面积．（提示：证平分）
■考点三 正方形的判定及性质
◇典例3：（2025·重庆九龙坡·模拟预测）在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·四川广元·中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________．
2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，连接，交于点，若点是的中点，求线段的长．
■考点四 四边形综合问题
◇典例4：（2025·四川攀枝花·中考）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
◆变式训练
1．（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________．
2．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积．
A 基础达标练
1．（2025·贵州·中考）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江大庆·中考）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．（2025·江苏常州·中考）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
4．（2025·陕西·中考）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
5．（2026·安徽池州·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当平分时，四边形是矩形
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知四边形中，对角线与相交于点，请再添加一个条件，使四边形是菱形，可以添加的条件是_____________．（只添加一个条件）
7．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______．
8．（2026·山东济南·一模）如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点在线段上从点A至点运动，连接，以为边作等边，点和点A分别位于两侧，连接．下列结论：①；②；③点从点A运动到点时，的运动路程是4；④连接面积的最大值为．其中正确结论的序号为_____．
10．（2026·新疆昌吉·二模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求OE的长．
B 强化提升练
11．（2026·河南新乡·一模）综合与实践
在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线．
(1)【动手操作】
如图1，在边上截取，连接，则___________．
(2)【深入探究】
①在图2中找出与相等的角，并说明理由；
②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）．
(3)【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长．
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