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北师大版（2024）八年级下 第1章 三角形的证明及其应用 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．若一个多边形的每个外角的度数是40°，则这个多边形是（　　）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
2．如图所示，有一个正多边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则该正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠B=∠C B．AB=2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
4．若n边形的内角和等于外角和的4倍，则边数n为（　　）
A．10 B．8 C．7 D．5
5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c=15，b-a=3，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．64 B．54 C．108 D．48
6．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1-∠2=64°．则∠B的度数是（　　）
A．26° B．28° C．30° D．32°
7．下列语句中是命题的是（　　）
A．作线段AB的垂直平分线
B．三角形三个内角的和等于180°
C．美丽的月亮湖
D．你的寒假想好怎么过了吗？
8．如图，△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．已知△ABC与△A'B'C'全等，其中∠A=60°，∠B'=40°，∠A'=80°，BC=3，则A'B'的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．不确定
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD=4，AB=10，则△ABD的面积是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
11．对于命题“若∠1+∠2＞90°，则∠1、∠2都大于45°”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1=∠2=45° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=46°，∠2=40° D．∠1=40°，∠2=60°
12．如图，边长为4cm的等边△ABC，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足AP=2CQ，点M为PQ的中点，连接BM，则BM的最小值为（　　）
A．3cm B．2cm C．2cm D．cm
二．填空题（共5小题）
13．已知一个等腰三角形的顶角为108°，则该三角形的底角的度数为______．
14．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形A的面积为______．
15．如图，一次函数y=-2x+2与坐标轴交于点A，B，点C（m,0）在x轴上，连接BC，若△ABC是以AB为底边的等腰三角形，则m的值是______．
16．如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB=70°，则∠BAD=______°．
17．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“3”，以点B为圆心，以AB为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点C．点C在刻度尺上对应的数为______．
三．解答题（共5小题）
18．已知三角形的三边长分别为2cm,a cm和7cm.
（1）求a的取值范围．
（2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长．
19．边长为2的等边三角形在平面直角坐标系中如图所示，已知点边AB∥x轴，求：
（1）点B，点C的坐标；
（2）△ABC的面积．
20．定义：若两个角α与β满足α-β=60°，则称α与β为“互优角”．如图，若Rt△ABC中∠C=90°，∠A＞∠B，∠A与∠B为“互优角”．
（1）求∠B的度数；
（2）点D是线段AB上一点（不与A，B重合），连接CD，当△ACD中存在两个内角为“互优角”，求∠ACD的度数．
21．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC的高线，AD是△ABC的角平分线，
（1）如图1，若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE的度数为______；
（2）如图2，若点F是AD延长线上一点，FG⊥BC于G，∠C=x,∠B=y,请求出∠F的度数．（用含x,y的代数式表示）
22．已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH=90°，∠EHF=60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2=3∠1，则∠1的度数=______；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q-∠HFT=15°，且∠EFT=∠ETF．
①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；
②求证：PQ∥FH．
北师大版（2024）八年级下 第1章 三角形的证明及其应用 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、A 3、B 4、A 5、B 6、D 7、B 8、B 9、A 10、C 11、D 12、D
二．填空题（共5小题）
13、36°； 14、4； 15、； 16、20； 17、3+；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵三角形的三边长分别为2cm,a cm和7cm,
∴根据三角形的三边关系得，7-2＜a＜7+2，
解得5＜a＜9；
（2）∵5＜a＜9，
∴当a=7时，该三角形为等腰三角形，
∴2+7+7=16，即该三角形的周长为16，
答：该三角形的周长为16cm.
19、解：（1）过点C作CH⊥AB，交AB于点H，交x轴于点F，AB与y轴交于点E，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ACB=60°（等边三角形的性质），
∴∠ACH=30°，
∴AH=AC=×2=1，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，；
（2）．
20、解：（1）∵∠A与∠B为“互优角”，∠A＞∠B，
∴∠A-∠B=60°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°，
∴∠A=75°，∠B=15°；
（2）当∠A与∠ACD为“互优角”时，∠A-∠ACD=60°，
则∠ACD=15°；
当∠ACD与∠ADC为“互优角”时，∠ACD-∠ADC=60°，
∵∠ACD+∠ADC=180°-75°=105°，
∴∠ACD=82.5°；
由题意可知：∠A与∠ADC不能为“互优角”；
综上所述：∠ACD的度数为15°或82.5°．
21、解：（1）∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=20°，
故答案为：20°；
（2）∵AE是△ABC的高线，FG⊥BC于G，
∴∠FGD=∠AED=90°，
又∵∠GDF=∠ADE，
∴∠F=∠DAE，
∵∠B=y,∠C=x,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-x-y,
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=180°-90°-∠C=90°-x,
∴．
22、解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1=∠CHG．
∵∠2=3∠1，
∴∠2=3∠CHG．
∵∠CHG+∠EHF+∠2=180°，
∴4∠CHG+60°=180°．
∴∠CHG=30°．
∴∠1=30°．
（2）∠AFE=∠E+∠MHE，
理由：∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CME．
∵∠CME=∠E+∠MHE，
∴∠AFE=∠E+∠MHE．
（3）①设∠AFE=x,则∠BFH=90°-x,∠EFB=180°-x.
∵AB∥CD，
∴∠BFT=∠ETF．
∵∠EFT=∠ETF，
∴∠EFT=∠BFT=∠EFB=90°-x.
∴∠HFT=∠BFT-∠BFH=x,
即∠HFT=∠AFE；
②证明：∵∠Q-∠HFT=15°，
∴∠Q=15°+x.
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF=180°．
∴∠CEF=180°-x.
∴∠CEH=∠CEF+∠FEH=180°-x+30°=210°-x.
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH=∠CEH=105°-x.
∵∠Q+∠QEH+∠QPE=180°，
∴15°+x+105°-x+∠QPE=180°．
∴∠QPE=60°．
∵∠H=60°，
∴∠QPE=∠H．
∴PQ∥FH．

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