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冀教版（2024）八年级下册 第二十一章 四边形 单元测试
一、选择题
1.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（　　）
A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A.AC⊥BD B.AB＝BC C.AC＝BD D.∠1＝∠2
3.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.在 ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则 ABCD的周长为（　　）
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为（　　）
A. B.4 C. D.8
6.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是（　　）
A.AB＝CD，∠A＝90° B.AB＝AD，∠A＝90° C.AB//CD，∠A＝90° D.以上均错
7.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A.测量两组对边是否相等
B.测量一组邻边是否相等
C.测量对角线是否相等
D.测量对角线是否互相垂直
8.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，添加以下条件仍不能判定△ADE≌△CDF的是（　　）
A.∠ADE＝∠CDF B.∠AED＝∠CFD C.DE＝DF D.BE＝BF
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　）
A. B.3 C. D.4
11.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（　　）
A.2.4＜x≤4 B.2.4≤x≤4 C.2.4＜x＜4 D.2.4≤x＜4
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝4，则下列结论：①∠CAD＝30°，②OE＝AD，③BD＝4，④S△BEO＝2．其中正确的有（　　）
A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①③④
二、填空题
13.若一个多边形截去一个角后，变成十边形，则原来的多边形的边数可能为 ．
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，再添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．
15.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °．
16.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．
17.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断：
①若∠C＝120°，则；
②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC；
③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形；
④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上．
其中正确的序号为 .（写出所有正确的序号）
三、解答题
18.如图，Rt△ABC中，延长斜边中线CD到E，使CD＝DE，连接AE，BE，则四边形AEBC是什么图形，说明理由．
19.如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E，F，连接AF，CE，求证四边形AFCE是平行四边形．
20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长，交线段AD于点F．求证：四边形BCFD为平行四边形．
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
22.如图，在正方形ABCD中，P为BD的延长线上一点，连接PA，过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．
（1）求证：△BEF为等腰直角三角形．
（2）求证：①；
②BD＝2PF．
（3）若BP＝BE，求证：．
冀教版（2024）八年级下册 第二十一章 四边形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（　　）
A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等
【答案】B
【解析】A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
C、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A.AC⊥BD B.AB＝BC C.AC＝BD D.∠1＝∠2
【答案】C
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠DCA，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC＝120°，
∴点O为BD的中点，，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴，
∴∠OED＝∠ODE＝30°，
故选：C．
4.在 ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则 ABCD的周长为（　　）
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵AB＝2cm，BC＝3cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（2+3）＝10（cm）．
故选：A．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为（　　）
A. B.4 C. D.8
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE⊥OB，E为OB中点，
∴AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝4，
∴BD＝2OB＝8＝AC．
故选：D．
6.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是（　　）
A.AB＝CD，∠A＝90° B.AB＝AD，∠A＝90° C.AB//CD，∠A＝90° D.以上均错
【答案】B
【解析】∵平行四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是正方形，
故选：B．
7.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A.测量两组对边是否相等
B.测量一组邻边是否相等
C.测量对角线是否相等
D.测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故选：C．
8.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，添加以下条件仍不能判定△ADE≌△CDF的是（　　）
A.∠ADE＝∠CDF B.∠AED＝∠CFD C.DE＝DF D.BE＝BF
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，∠A＝∠C，
∵∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
故A不符合题意；
∵∠AED＝∠CFD，∠A＝∠C，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
故B不符合题意；
∵DE＝DF，AD＝CD，∠A＝∠C这三答条件不符合全等三角形的判定定理，
∴添加条件DE＝DF仍不能判定△ADE≌△CDF，
故C符合题意；
∵BE＝BF，AB＝CB，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，
∴AE＝CF，
∵AE＝CF，∠A＝∠C，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
故D不符合题意，
故选：C．
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝2，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠COA＝60°，
∴AD＝AB＝，
∴BD＝＝＝3，
∴OD＝AD+OA＝3，
∴B（﹣3，3），
∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，
∴B'（﹣3+1，3﹣1），
即B'（1﹣3，2），
故选：A．
10.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　）
A. B.3 C. D.4
【答案】B
【解析】解法一：
解：延长DF和AB，交于G点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG，
∴，
∵AC＝5，CE＝1，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4，
∴，
又∵EF＝DE，，
∴，
∵，DC＝AB，
∴，
∴，
∴
∴AE∥BF，
∴，
∵AE＝4，
∴BF＝3．
解法二：
连接BD交AC 于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵EF＝DE，
∴OE是△BFD的中位线，
∴＝，
∴，
∴，
∴BF＝3，
故选：B．
11.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（　　）
A.2.4＜x≤4 B.2.4≤x≤4 C.2.4＜x＜4 D.2.4≤x＜4
【答案】D
【解析】连接AP．
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝36+64＝100，BC2＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝EF＝AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×6×8＝×10×AP，
AP＝4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
当P和C重合时，AM＝4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝4，则下列结论：①∠CAD＝30°，②OE＝AD，③BD＝4，④S△BEO＝2．其中正确的有（　　）
A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①③④
【答案】C
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，
∵AB＝BC＝4，
∴BE＝，
∴AE＝BE＝EC，
∴∠ACE＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠ACE+∠EAC＝2∠ACE，
∴∠ACE＝30°，
∴∠DAC＝∠ACE＝30°，故①正确；
②∵OE是△CAB的中位线，
∴OE＝＝＝AD，故②正确；
③作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
∵DC∥AB，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
∴CH＝＝2，DH＝＝2，
∵AB＝BC＝4，
∴BC＝8．
∴BH＝BC+CH＝10，
∴BD＝＝＝4，故③错误；
④作OM⊥BC，垂足为M，
∵OE∥AB，
∴∠OEM＝∠ABE＝60°，
∴OM＝＝，
∴S△OBE＝＝＝2．故④正确；
故选：C．
二、填空题
13.若一个多边形截去一个角后，变成十边形，则原来的多边形的边数可能为 ．
【答案】9或10或11．
【解析】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是9或10或11．
故答案为：9或10或11．
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，再添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】AD＝BC或AB∥CD．
【解析】根据平行四边形的判定，可添加：AD＝BC或AB∥CD，
故答案为：AD＝BC或AB∥CD．
15.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °．
【答案】35
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
16.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．
【答案】．
【解析】如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝＝2，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝，
在Rt△OAB中，
OB＝＝，
又AH⊥BD，
∴OB AH＝OA AB，即＝，
解得AH＝．
故答案为：．
17.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断：
①若∠C＝120°，则；
②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC；
③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形；
④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上．
其中正确的序号为 .（写出所有正确的序号）
【答案】②③④．
【解析】①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示：
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AECD为矩形，
∴AD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°，
∴BE＝BC，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝BC，
∴AD＝BC，
故①不正确；
②∵∠DAB＝∠CDA＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵AC垂直平分DB，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CDB＝∠ABD＝45°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
又∵CD＝BC，
∴矩形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，
故②正确；
③∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∴BC⊥AB，
∴四边形ABCD为矩形，
又∵CD＝BC，
∴矩形ABCD为正方形，
故③正确；
④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示：
则∠AHB＝∠FHB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△AHB和△FHB中，
，
∴△AHB≌△FHB（ASA）
∴AH＝FH，
∴点A与点F关于直线BD对称，
∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上，
故④正确，
综上所述：正确的是②③④．
三、解答题
18.如图，Rt△ABC中，延长斜边中线CD到E，使CD＝DE，连接AE，BE，则四边形AEBC是什么图形，说明理由．
【答案】解：∵Rt△ABC中，CD为斜边的中线，
∴AD＝CD＝BD，
∵CD＝DE，
∴AD＝CD＝BD＝ED，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∵AB＝EC，
∴四边形ACBE为矩形．
19.如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E，F，连接AF，CE，求证四边形AFCE是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵点O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长，交线段AD于点F．求证：四边形BCFD为平行四边形．
【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC＝AB，∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴BC∥DA，
∵点E是线段AB的中点，
∴CE＝AB＝BE＝AE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°＝∠ABD，
∴BD∥CF，且BC∥DA
∴四边形BCFD为平行四边形．
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：在Rt△BEC中，∠DBC＝50°，
则∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
由（1）可知，△ABD≌△ECB，
∴BD＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DCE＝65°﹣40°＝25°．
22.如图，在正方形ABCD中，P为BD的延长线上一点，连接PA，过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．
（1）求证：△BEF为等腰直角三角形．
（2）求证：①；
②BD＝2PF．
（3）若BP＝BE，求证：．
【答案】证明：（1）∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
∴△BEF为等腰直角三角形．
（2）①如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG，PG，CG，
在△BFG和△EFP中，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴∠PEF＝∠GBF，BG＝PE，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴PG＝AB，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴PG＝CD，PG∥CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG∥PD，CG＝PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴；
②如图，连接AC交BD于点O，
根据题意，
∴BD＝2OC＝2FG，OC＝FG，
∵△BFG≌△EFP，
∴PF＝FG，
∴BD＝2PF．
（3）设PF＝m，DF＝n，则BD＝2m，
∴BF＝BD+DF＝2m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，
∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，
∴，
若BP＝BE，则，
∴，
即．

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