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第3章 整式的乘除 单元自测卷
建议用时：100分钟，满分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．的计算结果是（ ）
A．0.5 B． C．1 D．
5．若，，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则m、n的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
8．如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．14 C．38 D．50
9．已知，则（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
10．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（ ）
①展开式的第三项的系数是15；
②；
③展开式中含项的系数是2026；
④展开式中各项系数之和为32．
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算：_____．
12．已知，则的值为_____．
13．若，则______．
14．若是完全平方式，则______．
15．若，则_______．
16．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时，_____．（用含的代数式表示）
三、解答题：本题共8小题，共72分．
17．计算：
(1)
(2)
18．计算：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区．
(1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）；
(2)若米，米，求实际劳动展示区的面积．
21．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．
通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下：
原式
∵代数式的值与的取值无关，
∴，
解得：
【理解应用】
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值；
22．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）．
A．
B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值；
②计算：；
③计算：．
23．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
(1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ；
(2)若，则的值为 ；
(3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ；
(4)若，写出的值为 ．
24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∵，∴
∴当时，代数式有最小值1．
材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5．
(1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”；
(2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”；
(3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和合并同类项等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了平方差公式．
平方差公式适用于形式为的乘法，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．
【详解】解：选项A：，不符合平方差公式的形式；
选项B：，第二项不同，不符合平方差公式的形式；
选项C：，符合平方差公式的形式；
选项D：，不符合平方差公式的形式；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：0.000000007用科学记数法表示为，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆用及有理数的乘方，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．逆用积的乘方公式和同底数幂乘法公式解答即可．
【详解】解：
．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，然后整体代入计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值．
【详解】解：∵，
又∵，
比较系数得：．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
利用完全平方公式的结构特征即可求解．
【详解】解：设需取丙纸片张，
则取出的纸片总面积为，
∵用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，
∴是完全平方式，
∴，
∴需取丙纸片的张数为8．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：连接，
，，
．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了数字变化规律，根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解．
【详解】解：①∵展开式的第三项的系数是，
∴该结论正确；
②∵
，
∴该结论正确；
③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行，
∴展开式中含项的系数是2026，
∴该结论正确；
④∵展开式为，
∴其中各项系数之和为，
∴该结论正确，
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，掌握这两个运算法则是关键；利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算．
【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂等于1，因此 ；
根据负整数指数幂法则，，因此 ；
故．
故答案为．
12．
【分析】本题考查了同底数幂的除法法则．利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法，再代入已知值计算
【详解】解：∵
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案．
【详解】解：①，
②，
由①②得，
即，
解得，
故答案为：．
14．1或
【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴一次项为，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：1或．
15．或或
【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可．
【详解】解：当时，则，则，
此时，满足题意；
当时，则，则，
此时，满足题意；
当时，则，则，
此时，符合题意；
综上所述，x的值为或或，
故答案为：或或．
16．
【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解．
【详解】解：图1中阴影部分的面积，
图2中阴影部分的面积，
．
∵
∴
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算．
（1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项；
（2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项．
【详解】（1）解：
，
，
．
（2）解：
，
，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方运算，乘法公式，熟知相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（2）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．，
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式等知识，熟练掌握其运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
将代入得：原式
．
20．(1)
(2)475平方米
【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式．
（1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可；
（2）将米，米代入求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵米，米，
∴（平方米）．
21．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键．
（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出；
（2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
∵其值与的取值无关，
∴，
解得．
故答案为：．
（2）解：
∵的值与的取值无关，
∴，，
解得，．
22．(1)B
(2)①，②，③
【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．
（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．
（2）①利用平方差公式计算即可；
②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；
③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：B；
（2）解：① ，即，而，
；
②原式
；
③原式
．
23．(1)
(2)22
(3)6
(4)
【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键．
（1）根据正方形的面积公式即可求解；
（2）利用（1）中得到的等式进行计算即可；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可；
（4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可．
【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵由（1）可得，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴正方形的面积为，正方形的面积为，
∴正方形的面积和正方形的面积为，
∴的面积为：，故，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（4）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2
(2)2
(3)8
【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可；
（2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案；
（3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下：
，
∴多项式与互为“和常多项式”；
（2）解：
，
∵M和N互为“和常多项式”，
∴，
∴；
，
∵，
∴，
∵N的最小值为2，
∴，
∴，
∴，
∴M和N的“和常值”为2；
（3）解：
，
，
∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为8．

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