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2025-2026学年高三下学期第二次综合能力调查数学试题 A． B． C． D．
7．已知 f（x）＝2x﹣2﹣x，则使 f（x）＜f（﹣3x2+4）成立的实数 x的取值范围是（ ）
一．选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A． B．
符合题目要求的。
C． D．
1．已知集合 A＝{x|2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2，3} D．{2，3} 8．已知正三棱锥 A﹣BCD，各棱长均为 ，则其外接球的表面积为（ ）
2．设复数 z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝4，且 z1﹣z2＝3﹣4i，则|z1+z2|＝（ ） A． B． C． D．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知等比数列{an}的前 3项积为 64，a5＝8，则 a8等于（ ）
二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
A．16 B．8 C．4 D．2
题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
4．已知 ，则 tan（α﹣3π）＝（ ） （多选）9．某实验室搜集了大量的 A，B两种相似物种，记录其身长为 x（单位：cm）与体重
A B C D y（单位：kg）．得 A，B两物种的平均身长分别为 5.2， 6，标准差分别为 0.3，0.1．． ． ． ．
令 A，B两物种的平均体重分别为 ， ．若 A，B两物种其体重 y对身长 x的回归直线方
5．如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1（﹣c，0），F2（c，0），
程分别为 lA： 2x﹣0.6，lB： 1.5x+0.4，相关系数分别为 0.6，0.3．现发现一只身长 5.6cm
椭圆上存在四个点 A，B，C，D满足 AB∥CD，F1在线段 AB上，F2在线段 CD上，|F1B|
、体重 8.6kg的个体 P，则下列说法正确的是（ ）
＝2|F2C|，BF2⊥AB，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．A物种的体重标准差大于 B物种的体重标准差
C．点（5.6，8.6）到直线 lA的距离小于其到直线 lB的距离
D．点（5.6，8.6）与点 的距离大于其与点 的距离
（多选）10．设函数 ，则（ ）
A B C D A．f（x）有最大值． ． ． ．
B．曲线 y＝f（x）有对称中心
6．在△ABC中，向量 与向量 垂直，则 cosC+4sinAcosB的最大值为（ ）
C．f（x）有最小值
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D．曲线 y＝f（x）有对称轴 （1）证明：平面 AMD⊥平面 BMC；
（多选）11．数列{an}满足 a1＝1， ，则下列正确的有（ ） （2）当 MC＝MD时，求平面 MAB与平面 MCD所成角的正弦值．
A．数列{an}是递增数列
B．
C． 恒成立
D． 恒成立
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2 2 17．（15分）锐角△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC12．已知半圆（x﹣1） +y ＝1（y≥0）与直线 y﹣1＝k（x﹣2）有两个不同的交点，则实数 k
+cosAsinC．
的取值范围是 ．
13．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个 （1）求 的值；
教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一
（2）若 a＝2，△ABC的面积为 ，求 c的值．
教室打扫，则不同的安排方法数是 ．（用数字作答）
14．已知点 P是直线 mx﹣y+m﹣4＝0与直线 x+my+2m+3＝0的交点，则点 P的轨迹方程
为 ；若点 Q是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的动点，则|PQ|的最
18．（17分）在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化
大值为 ．
学物质 A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到
含高浓度 A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度 A的信息素，反之认为“危险”，传递
四．解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
含低浓度 A的信息素；种群乙接收到含高浓度 A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度 A
15．（13分）已知数列{an}中，a1＝2，Sn为数列{an}的前 n项和，S ＝n2n +n．
的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度 A的信息素，初始时，第 1只昆虫属于种群甲，
（1）求数列{an}的通项公式；
其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有 p（0＜p＜1）的概率
（2）若数列{bn}总满足 bn ，求数列{bn}的前 n项和 Tn． 将信息素传递给同种群的昆虫，1﹣p的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传
递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关．
（1）设 Pn为第 n只昆虫属于种群甲的概率，当 p 时，求 P4；
16．（15分）如图，边长为 2的正方形 ABCD所在的平面与平面 CMD垂直，且 DM⊥MC．
（2）求第 n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率 hn；
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（3）证明：当 p 时，|2 | ，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应
环境，p应该满足的要求及原因．
19．（17分）已知函数 fa（x）＝lnx+ax﹣a，直线 l：y＝k，对于给定的实数 k，存在两个不同的
实数 a1，a2，使得直线 l与曲线 和曲线 都相切．
（1）求 k的取值范围；
（2）求证：a1+a2＜﹣2．
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参考答案 故 BC⊥DM，
一．选择题 又因为 DM⊥CM，BC∩CM＝C，BC，CM 平面 BMC，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 所以 DM⊥平面 BMC，而 DM 平面 AMD，
A C A A B A A A 故平面 AMD⊥平面 BMC．答案
（2）以 D为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz，
二．多选题
题号 9 10 11
答案 BD BD AB
三．填空题
因为MC＝MD，由题设得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，
12．（0， ]．
1，1）， ，
13．30．
14．（x+2）2+（y+3）2＝2 设 是平面 MAB的法向量，； ．
四．解答题
则 ，则 ，即 ，
15．解：（1）数列{an}中，a1＝2，Sn为数列{a 2n}的前 n项和，Sn＝n +n，
当 n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n， 令 x＝1，可得 ．
上式对 n＝1也成立， 又 是平面 MCD的法向量，
所以 an＝2n，n∈N*； 设平面 MAB与平面 MCD所成角为θ，
（2）数列{bn}总满足 bn （ ）， ，
则数列{bn}的前 n项和 Tn （1 ... ） （1 ） 所以 ，
．
所以平面 MAB与平面 MCD所成角的正弦值是 ．
16．解：（1）证明：因为平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD，BC⊥CD，BC 平面 ABCD，
17．解：（1）由 sinB（1+2cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，
所以 BC⊥平面 CMD，又 DM 平面 CMD，
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可得 sinB+2sinBcosC＝sinAcosC+sin（A+C）， 即 hn＝（2Pn﹣1）hn﹣1+1﹣Pn，
因为 sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，所以 2sinBcosC＝sinAcosC， 由（1）得：Pn＝（2p﹣1）Pn﹣1+1﹣p，P1＝1，则 ，
根据△ABC为锐角三角形，可得 cosC＞0，
当 时， 是以 为首项，2p﹣1为公比的等比数列，
所以 2sinB＝sinA，结合正弦定理得 2b＝a，可得 ；
故 ，则 ，
（2）由（1）得 ，
经检验，当 时也满足上述递推式，
因为△ABC的面积 S ，
故 ，
所以 S absinC ，即 ，可得 sinC ．
变形可得 ，
由 C为锐角，可知 cosC＞0，所以 ，
则 1 ，
由余弦定理，得 ，即 c＝2．
代入 ，
18．解：（1）由题意可知，当 n＝1时，由初始条件为第 1只昆虫是种群甲，所以 P1＝1，
当 n≥2时，第 n只昆虫属于种群甲可能有两种情况： 故 2 ．
第 n﹣1只是甲且第 n只与它同种群，或第 n﹣1只是乙且第 n只与它不同种群， 化简得 ，
也即 Pn＝Pn﹣1 p+（1﹣Pn﹣1） （1﹣p），得 Pn＝（2p﹣1）Pn﹣1+1﹣p，
则
当 时， ，解得 ，
＝ [（ 2p﹣ 1） n﹣ 1（ 2p﹣ 1） n﹣ 2…（ 2p﹣ 1） ] （ 2h1﹣ 1）＝（ 2p﹣ 1） 1+2+ +（ n﹣ 1） .
即当 n≥2， 时，第 n只昆虫属于种群甲的概率恒为 ，
，
又 P1＝1．故第 n只昆虫属于种群甲的概率 ，则 ； 故 ．
（2）由题意可知，当 n＝1时，由初始条件为第 1只昆虫是种群甲，其传递高浓度信号，所 （3）易有 ，
以 h1＝1，
由|a+b|≤|a|+|b|，则 ，
当 n≥2时，第 n只昆虫传递高浓度信号可能有两种情况：
因为 p∈（0，1）且 ，则 0＜|2p﹣1|＜1，
第 n只昆虫接收高浓度信号且是甲种群，或第 n只昆虫接收低浓度信号且是乙种群，
则 hn＝hn﹣1 Pn+（1﹣hn 1） （1﹣Pn）， 当 k≥1时， 恒成立，且|2p﹣1|＜1，﹣
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则 ，也即 ， 所以当 时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，当 时，m′（x）＞0，m（x）单
0 |2p 1|n 1 1 |2p 1|n 1 调递增，又 ， ＜ ﹣ ＜ ，则 ﹣ ﹣ ＜ ，
所以 ，
故 ，
所以 恒成立，所以 ，所以当 x＞0，x→0时，h（x）→+∞，
综上， ．
所以要使 有两个不同的解，k＞0，
若认为 p趋近于 1越好：保证信息传递的准确性和一致性，
故 k的取值范围为（0，+∞）；
以便种群内部能快速对特定环境做出统一反应，可以在两个种群之间形成两个高效但隔离的
（2）证明：由（1）可知对于给定的实数 k＞0，有且仅有 x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），
通信网络，
使得 ，即 ，
若认为 p趋近于 越好：说明两个种群之间维持了系统的稳定性，且对错误信息有一定的抵
抗能力， 又因为 ，所以存在 ， 满足题意，
以便在复杂多变的环境中不被单一信息源误导．（只需提出一个角度，言之有理即可，认为 p 设 ，则 ， ，（0＜t＜1），
趋近于其它值不给分．）
所以要证 ，只需证（t+1）lnt＜﹣2+2t，即（t+1）lnt
19．解：（1）由题意函数 fa（x）＝lnx+ax﹣a，直线 l：y＝k，对于给定的实数 k，
+2﹣2t＜0，
存在两个不同的实数 a1，a2，使得直线 l与曲线 和曲线 都相切．
令 g（t）＝（t+1）lnt+2﹣2t，（0＜t＜1），则 ，
可设直线 l：y＝k与曲线 fa（x）＝lnx+ax﹣a相切于点 P（x0，y0），
由（1）可知 g′（t）＞g′（1）＝0，所以 g（t）在（0，1）单调递增，
则有 ，消去 a得 ， 所以 g（t）＜g（1）＝0，所以 a1+a2＜﹣2成立．
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根据题意可知 有两个不同的解，
令 ，则 ，
所以当 0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当 x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调
递增，且 h（1）＝0，
显然当 x→+∞时，h（x）→+∞，
令 ，则 ，
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