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2025—2026学年高三下学期第二次月考数学试题 度都是 80千米/小时，截止到 12时这个车队所有车辆一共行驶了 2660千米，则该车队一共
发出（ ）辆车．
A．14 B．14或 19 C．15 D．15或 16
一．选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 8．若 sin2α ，sin（β﹣α） ，且α∈ ，β∈[π， ]，则 a+β的值是（ ）
1．已知样本数据 1，2，2，3，7，9，则 2.5是该组数据的（ ） A． B． C． 或 D． 或
A．极差 B．众数 C．平均数 D．中位数
二．多选题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
2．当 1＜m＜2时，复数 m﹣1+（m﹣2）i在复平面内对应的点位于（ ）
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）9．已知等比数列{an}中， ，则（ ）
3．已知集合 A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y }，则 A∩B＝（ ）
A．数列 是等差数列
A．{（0，0）} B．{（1，1）}
B．数列{a a }是等比数列
C { 0 0 n n+1． （ ， ），（1，1）} D．
C．数列{log3an}是等比数列4．设 x∈R，则“0＜x＜5”是“﹣1＜x﹣1＜1”的（ ）
D．数列{an+1+an}是等比数列A．充分而不必要条件
（多选）10．已知 f（x）＝x3﹣12x+15，则（ ）
B．必要而不充分条件
A．曲线 y＝f（x）关于点（0，15）对称
C．充要条件
B．2是函数 f（x）的极小值点
D．既不充分也不必要条件
C．若方程 f（x）＝m有三个不同的实数根，m的取值范围为 m＞﹣1
5．在△ABC中， ，则△ABC的面积等于（ ）
D．不等式 f（x）＜﹣1的解集为（﹣∞，﹣4）
A． B． C．2 D． （多选）11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺
6．已知抛物线 y＝mx2（m＞0）的焦点为 F，过点 F且倾斜角为 30°的直线交抛物线于 A，B 天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 C：
两点，若|AB|＝6，则焦点 F的坐标为（ ）
的右支与直线 x＝0，y＝﹣2，y＝4围成的曲边四边形 ABMN
A． B． C． D．
绕 y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底外直径为
7．一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上 8时出发，以后每隔 15分
，双曲线 C与坐标轴交于 D，E，则（ ）
钟发出一辆车．假设所有司机都连续开车，并都在中午 12时停下来休息．每辆车行驶的速
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1（a＞b＞0）的公共点，且点M，N和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三
角形．
（1）求 r的值和椭圆 C的方程；
（2）过点 M的直线 l分别交圆 O和椭圆 C于 A，B两点．
（i）若 3 ，求直线 l的方程；
A．双曲线 C的方程为 1
（ii）P是 C上一点，直线 MP斜率为 m，直线 NA斜率为 n，m n，求△BMP面积的最
B．双曲线 1与双曲线 C共渐近线
大值．
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线 C有两个交点
D．存在无数个点，使它与 D，E两点的连线的斜率之积为 3
三．填空题：本通共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．已知向量 ， ，若 ，则实数 m的值为 ． 17．（15分）如图 1，已知△ABC的各边长均为 4，点 D，E，F分别为 AB，BC，AC的中点，
13．已知 a是函数 f（x）＝x3﹣x+6的极大值点，则 a＝ ． 现将△ADF，△BDE，△CEF分别沿 DF，DE，EF折起，使点 A到点 P的位置，点 B到点
14．如图，等腰三角形 ABC的底边 BC＝2，将△ABC绕顶点 A旋转θ角后得到△ADE，且 CD Q的位置，点 C到点M的位置，且平面 PDF⊥平面 DEF，平面 QDE⊥平面 DEF，平面MEF
＝2，分别沿着 AC，AD将△ABC，△ADE折起，使得 B，E重合于点 P，得到三棱锥 P﹣ACD ⊥平面 DEF，如图 2．
，若三棱锥 P﹣ACD外接球的半径为 ，则△ABC的面积为 ．
（1）求证：平面 PQM∥平面 DEF；
（2）求平面 MDE与平面 PQF所成二面角的正弦值．
四．解答题（共 5小题，满分 77分）
15．（13分）已知函数 ．
（1）求函数 f（x）的对称轴方程和单调递减区间；
（2）当 时，函数 f（x）的最大值与最小值的和为 2，求 a．
16．（ 15分）已知点 M（ 0， 1），N（ 0，﹣ 1）是圆 O： x2+y2＝ r2（ r＞ 0）与椭圆 C：
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18．（17分）已知函数 f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）设 g（x）＝f（x）﹣x2，当 a＝2时，g（x）在（0，+∞）上的极小值点为 x0，求证：
．
注：e3≈20.09
19．（17分）某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人
赛中，每位选手回答随机给出的 4个题目，若答对不少于 3个题目，则其个人赛挑战成功．团
队赛中，4名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可
自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，
每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组
都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组
中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战
成功，则该团队挑战成功．
（1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为 ，后两个题答对的概率均为 ，且
各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率；
（2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为 p，λp（0＜λ＜1），若对任意 p∈
（0，1），均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求λ的取值范围．
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参考答案 易知 在 上单调递增，
一．选择题
在 上单调递减，∴ ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
，
答案 D D C B B B A B
∵ ，∴ ．
二．多选题
16．解：（1）因为点 M，N是圆 O与椭圆 C的公共点，
题号 9 10 11
所以 r＝1，b＝1．
答案 ABD ABD ABD
又 M，N和椭圆的一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点．所以 c＝1， ，
三．填空题 所以椭圆 C的方程为 ．
12．3． （2）（i）因为过点 M的直线 l交圆 O和椭圆 C分别于 A，B两点，
13． ． 所以直线的斜率存在，则可设直线 l的方程为 y＝kx+1（k≠0），
14． 或 ． 由 ，得（2k2+1）x2+4kx＝0，则可得 ．
同理，由 ，解得 ，
四．解答题
又已知点 M（0，1）．
15．解：（1）
则 ， （ ， ），
，
因为 3 3 4 ，
由 可得函数 f（x）的对称轴为 ，k∈Z，
因为 k≠0，所以 k＝±1，所以直线 l的方程为 y＝x+1或 y＝﹣x+1．
由 可得， ，
（ii）根据题意可知 NA⊥MA，设 kMA＝k，则 n ，
即单调减区间为 （k∈Z）．
由 ，得出 ，
（2）令 ，因为 x∈[0， ， ，
由（i）可得 ，同理得 ，
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由对称性可得 PB经过 y轴上一定点 T（0，t），由 P，B，T三点共线可得：
kTB＝kTP，从而 ，
整理可得： ，
化简可得：t（﹣3k+m）﹣3k﹣m＝t（﹣3m+k）﹣3m﹣k，
（m﹣k）（4t﹣2）＝0．因为 ， 所以△ADF，△BDE，△CEF均是边长为 2的正三角形，
翻折后△PDF，△QDE，△MEF均是边长为 2的正三角形，
所以直线 PB过定点 ，
如图，分别取 DE，EF的中点 G，N，连接 QG，MN，GN，
设 P（x1，y1），B（x2，y2），则 ．
则 ，且 QG⊥DE，MN⊥EF，
显然 PB斜率存在，设 kPB＝s，
因为平面 QDE⊥平面 DEF，平面 MEF⊥平面 DEF，且平面 QDE∩平面 DEF＝DE，
平面 MEF∩平面 DEF＝EF，QG 平面 QDE，MN 平面 MEF，
由 ，得 ，
所以 QG⊥平面 DEF，MN⊥平面 DEF，
． 所以 QG∥MN；
令 ， 又 QG＝MN，所以四边形 QMNG是平行四边形，所以 QM∥GN，
又 QM 平面 DEF，GN 平面 DEF，所以 QM∥平面 DEF，
，
同理可证 PQ∥平面 DEF，
单调递增， ，即 s＝0时有最大值 ． 因为 QM 平面 PQM，PQ 平面 PQM，PQ∩QM＝Q，
综上：当 PB斜率为 0时三角形 MPB面积有最大值 ． 所以平面 PQM∥平面 DEF；
17．解：（1）证明：因为△ABC的各边长均为 4，点 D，E，F分别为 AB，BC，AC的中点， （2）连接 FG，则 FG⊥DE，以 G为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x，y，z轴
正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
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则 ，
所以 ．
18．解：（1）对 f（x）＝ex﹣ax﹣1求导，可得 f'（x）＝ex﹣a，
当 a≤0时，f'（x）＝ex﹣a＞0恒成立，此时 f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
当 a＞0时，令 f'（x）＝0，即 ex﹣a＝0，解得 x＝lna，
则 G（ 0， 0， 0）， D（﹣ 1， 0， 0）， E（ 1， 0， 0）， ， ，
当 x＜lna时，ex＜a，则 f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减；
， ， ， 当 x＞lna时，ex＞a，则 f'（x）＞0，，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
综上，当 a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
所 以 ， ， ，
当 a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；
，
（2）证明：当 a＝2时，g（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣2x﹣1﹣x2，
设平面 MDE的法向量为 m＝（x，y，z），
对 g（x）求导，可得 g'（x）＝ex﹣2﹣2x，
令 h（x）＝ex﹣2﹣2x，对 h（x）求导，可得 h'（x）＝ex﹣2，
则 ，即 ， 令 h'（x）＝0，即 ex﹣2＝0，解得 x＝ln2，
当 x∈（0，ln2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
得 x＝0，令 z＝1，则 y＝﹣2，
当 x∈（ln2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
所以 ，
因为 h（0）＝e0﹣2﹣2×0＝﹣1＜0，h（1）＝e﹣2﹣2×1＝e﹣4＜0，
设平面 PQF的法向量为 ，
，h（2）＝e2﹣2﹣2×2＝
e2﹣6≈7.39﹣6＞0，
则 ，即 ，
所以由零点存在定理可知，存在 ，使得 h（x0）＝0，
令 b＝1，则 ， 即 ，也就是 ，
当 x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即 g'（x）＜0，g（x）单调递减；
所以 ，
当 x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即 g'（x）＞0，g（x）单调递增，
设平面 MDE与平面 PQF所成二面角的大小为θ，
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所以 x 是 g（x）在（0，+∞）上的极小值点，且 ， P2＝1﹣（1﹣P（B1B2））（1﹣P（C1C2））＝1﹣（1﹣p
2）（1﹣λ2p2）＝p2（1+λ2﹣λ2p2），
0
则有 ，
将 代入得： ，
令 f（p）＝2λ2p2﹣（2λ+2λ2）p+4λ﹣1﹣λ2，
因为 ，且函数 y＝﹣x2+1在 上单调递减，
由于若对任意 p∈（0，1），均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，
所以 ， 则在区间（0，1），有 f（p）＜0恒成立，
综上， 得证． 因为抛物线 f（p）的开口向上，且对称轴 ，
所以 f（p）在（0，1）上单调递减，
19．解：（1）根据题意，设事件 Ai＝“选手甲答对第 i个题”（i＝1，2，3，4），事件 B＝“该 若 f（p）＜0在（0，1）上恒成立，必有 f（0）＝4λ﹣1﹣λ2≤0，
选手个人赛挑战成功”， 即λ2﹣4λ+1≥0，解可得 或 ，
则有 ， ，
又 0＜λ＜1，所以 ，即λ的取值范围为（0，2 ]．
分析可得：事件 ，
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /4 /4 2 3 :2 9 :5 2；用户：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；邮箱：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；学号：2 4 3 3 5 3 5 3
又由相互独立事件概率公式，
，
，
，
则
；
（2）根据题意，设事件 Bi＝“该团队回答甲题的小组的第 i个选手答对甲题”，事件 i＝“该
团队回答乙题的小组的第 i个选手答对乙题”，则 P（Bi）＝p，P（ i）＝λp，i＝1，2．
设该团队选择方式 i参赛时挑战成功的概率为 Pi（i＝1，2），
则 （2p﹣p2）（2λp﹣λ2p2）＝λp2（2﹣p）（2﹣λp），
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