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2025~2026学年上学期期末质量监测
高二年级数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（ ）
A. 第一象限或第二象限 B. 第一象限或第四象限
C. 第二象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限
3. 已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ）
A. 5万 B. 7.5万 C. 10万 D. 12.5万
5. 已知直线与平行，则两直线间距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. 1 D.
7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知数列为递增等比数列，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列为等比数列
10. 已知定义在R上的函数的图象关于直线对称，函数为奇函数，且当时，，则下列结论正确的有（ ）
A. 的图象关于点中心对称
B. 的周期
C. 为偶函数
D.
11. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线过点，且过点的直线与交于两点，为的中点．若直线的斜率为，则下列选项正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为
C. 的面积为
D. 直线上存在两个点，使得
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知点，点在圆上运动，则取值范围为_________．
13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
14. 已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图：
已知成绩在的频数是30，则：
（1）求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数；
（2）根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数；
（3）学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率．
16. 已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点．
（1）若为正三角形，求的面积；
（2）若以为直径圆经过原点，求证：直线恒过定点．
17. 已知曲线，且曲线在点处切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值．
18. 如图，在矩形中，，点为边的中点．将沿着翻折，使得平面平面，点为线段上的动点．
（1）求证：平面；
（2）①当点运动到何处时，线段的长度最短？最短长度是多少？
②在①的条件下，求二面角的正弦值．
19. 已知数列满足：；数列满足：．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为．

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