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2025年下学期高二期末考试试题
数学A卷
一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A B. C. 1 D. 3
2. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（ ）
A. B. C. D.
3. 以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（ ）
A. 正四棱锥的底面边长为24m B. 正四棱锥的高为
C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥的侧面积为
7. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A 1010 B. 2020 C. 2023 D. 2024
二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为
C. 若，则 D.
10. 已知数列满足，其中，为数列前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. B. 数列的通项公式为：
C. 数列的前n项和为： D. 数列为递减数列
11. 如图，正方体棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B. 平面
C. 若保持，则点的运动轨迹长度为
D. 三棱锥外接球的半径为
三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量，，且，则实数的值为______．
13. 数列的前30项的和为______．
14. 在3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时， 轨迹为抛物线: 当时，轨迹为双曲线. 现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值范围是_____
四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
16. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．
（1）求证：．
（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值．
（3）求点C到平面PBD的距离．
18. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.
（1）求椭圆标准方程.
（2）求点的轨迹方程.
（3）点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程.
19. 已知函数导数为.
（1）求的值；
（2）是否存在自然数，使得方程在内有唯一的根？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；
（3）若成立，求实数的取值范围.

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