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15.3　可化为一元一次方程的分式方程
第1课时　分式方程及其解法
@基础分点训练
　　知识点1　分式方程的概念
1.下列方程是分式方程的是（　B　）
A.－　　B.＝－2
C.＝　　D.2x＋1＝3x
　　知识点2　分式方程的解法
2.解分式方程＝－2时，去分母变形正确的是（　D　）
A.－1＋x＝－1－2（x－2）
B.1－x＝1－2（x－2）
C.－1＋x＝1＋2（2－x）
D.1－x＝－1－2（x－2）
3.（哈尔滨中考）方程＝的解为（　C　）
A.x＝　　B.x＝
C.x＝　　D.x＝
4.解分式方程－＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是　x（x＋1）　.
5.（1）（徐州中考）分式方程＝的解为　x＝9　；
（2）（北京中考）方程＋＝0的解为　x＝2　.
6.若代数式与代数式的值相等，则x＝　7　.
7.解方程：
（1）－1＝；
解：方程两边都乘以（x－1），约去分母，得
2x－（x－1）＝4.
解这个整式方程，得x＝3.
检验：把x＝3代入x－1，得
3－1≠0.
所以，x＝3是原方程的解.
（2）－＝.
解：方程两边都乘以3（2x－1），约去分母，得
6－（2x－1）＝－1.
解这个整式方程，得x＝4.
检验：把x＝4代入3（2x－1），得
3×（2×4－1）≠0.
所以，x＝4是原方程的解.
　　知识点3　分式方程的增根
8.下列关于分式方程增根的说法正确的是（　D　）
A.使所有的分母的值都为零的解是增根
B.分式方程的解为零就是增根
C.使分子的值为零的解就是增根
D.使最简公分母的值为零的解是增根
9.若方程－3＝有增根，则增根是（　B　）
A.x＝6　　B.x＝5
C.x＝3　　D.x＝1
10.若关于x的方程＋2＝有增根，则k的值为　1　.
@中档提分训练
11.（枣庄中考）对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算.例如：1 3＝＝－.则方程x （－2）＝－1的解是（　B　）
A.x＝4　　B.x＝5
C.x＝6　　D.x＝7
12.如图，A，B，C三点在数轴上，对应的数分别是，1，，且点B到点A，C的距离相等，则x＝　－6　.
13.已知关于x的方程－＝1的解与方程＝3的解相同，则a的值为　－3　.
14.若关于x的分式方程＋1＝无解，则m的值为　4　.
15.解方程：
（1）－＝0；
解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得x＋1－2＝0.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0.
所以x＝1是分式方程的增根.
所以原分式方程无解.
（2）－1＝.
解：方程两边都乘以（x－2）2，得
x（x－2）－（x－2）2＝4，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，（x－2）2≠0.
所以原分式方程的解为x＝4.
@拓展素养训练
16.【规律探究题】先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x＋＝2＋的解为x1＝2，x2＝；
方程x＋＝3＋的解为x1＝3，x2＝；
方程x＋＝4＋的解为x1＝4，x2＝；
……
（1）根据上面的规律，猜想方程x＋＝5＋的解是　x1＝5，x2＝　；
（2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x＋＝3＋；
（3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x＋＝.（结果保留a）
解：（2）由题意，得x＋＝3＋，
所以（x＋1）＋＝3＋.
所以x＋1＝3或x＋1＝，解得x1＝2，x2＝－.
经检验，x1＝2，x2＝－是原方程的解.
（3）x＋＝，
方程两边同时乘以2，得2x＋＝a＋3＋，
方程两边再同时减去3，得（2x－3）＋＝a＋，
所以2x－3＝a或2x－3＝，
解得x1＝，x2＝.
经检验，x1＝，x2＝是原方程的解.
计算强化专题　分式方程的解法
解方程：
（1）（西宁中考）＝－1；
解：去分母，得2x＝3－2x＋2.
解得x＝.
检验：当x＝时，2（x－1）≠0.
所以原分式方程的解是x＝.
（2）（广州中考）＝；
解：去分母，得x＝6x－15.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x（2x－5）≠0.
所以原分式方程的解为x＝3.
（3）（陕西中考）＋＝1；
解：去分母，得2＋x（x＋1）＝（x＋1）（x－1）.
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，（x＋1）（x－1）≠0.
所以原分式方程的解是x＝－3.
（4）（福建中考）＋1＝；
解：去分母，得3（x－2）＋（x＋2）（x－2）＝x（x＋2）.
解得x＝10.
检验：当x＝10时，（x＋2）（x－2）≠0.
所以原分式方程的解为x＝10.
（5）＋＝；
解：去分母，得4＋3（x＋3）＝19.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，2（x＋3）≠0.
所以原分式方程的解为x＝2.
（6）－1＝；
解：去分母，得x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，（x－1）（x＋2）＝0.
所以x＝1是分式方程的增根.
所以原分式方程无解.
（7）＝－；
解：去分母，得x＋1＝3（2x－1）－2（2x＋1）.
解得x＝6.
检验：当x＝6时，（2x＋1）（2x－1）≠0.
所以原分式方程的解是x＝6.
（8）－＝1.
解：去分母，得x－2＋x2＝x（x－1），
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x（x－1）＝0，
所以x＝1是分式方程的增根.
所以原分式方程无解.
解题技巧专题　与分式方程有关的参数问题
　　类型一　由特殊解确定字母的取值范围
　　由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤如下：
　　（1）求出分式方程的解（用含有字母的式子表示）；
　　（2）由分式方程的解为特殊解列出关于字母的不等式，并求出解集；
　　（3）由分式方程的解必须使分母不为0，列出关于字母的不等式，并求出解集；
　　（4）求（2）（3）两个解集的公共部分即可.
1.已知关于x的分式方程＝＋5的解为正数，则m的取值范围是　m＜5且m≠2　.
2.若关于x的分式方程＝的解是非负数，则m的取值范围为　m≥1且m≠4　.
3.若关于x的分式方程＋＝的解大于1，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　.
4.已知关于x的分式方程＝有解，求a的取值范围.
解：去分母，得2（x－5）＝ax.
整理，得（a－2）x＝－10，
当a－2≠0，即a≠2时，x＝－.
∵分式方程有解，∴x≠0且x≠5.
∴－≠0且－≠5.
∴a≠2且a≠0.
∴a的取值范围是a≠0且a≠2.
　　类型二　由无解确定字母的值
　　分式方程无解可能有两种情况：
　　（1）去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，即是方程的增根；
　　（2）去分母后化成的整式方程无解，即ax＝b中，a＝0且b≠0.
5.若关于x的方程＝－无解，则m的值为（　C　）
A.－3　　B.0或－1
C.0或1　　D.－3或1
6.已知关于x的分式方程＋ ＝.
（1）若该方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若该方程有增根，求m的值.
（3）若该方程无解，求m的值.
解：（1）去分母，得2（x＋3）＋mx＝x－2，
即（m＋1）x＝－8.
∵该方程的增根为x＝2，
∴2（m＋1）＝－8，解得m＝－5.
（2）若分式方程＋＝有增根，则增根为x＝2或x＝－3.
由（1）去分母，得（m＋1）x＝－8.
当x＝2时，2（m＋1）＝－8，解得m＝－5；
当x＝－3时，－3（m＋1）＝－8，解得m＝.
综上所述，m＝－5或m＝.
（3）由（2）知，当m＝－5或m＝，方程有增根，则分式方程无解；
由（1）可知，原分式方程去分母后，得（m＋1）x＝－8，
当m＋1＝0，即m＝－1时，方程（m＋1）x＝－8无解.
综上所述，m＝－5或m＝或m＝－1.
第2课时　分式方程的应用
@基础分点训练
　　知识点　分式方程的应用
1.DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成.设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　B　）
A.＋＝1.5　　B.＋＝
C.＋＝1.5　　D.＋＝
2.某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1 200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（　B　）
A.－＝10　　B.－＝10
C.－＝1.2　　D.－＝1.2
3.小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1 200 m，3 000 m，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4 min出发，求小明和小刚两人的速度.设小明的速度是x m/min，根据题意可列方程为　－4＝　.
4.某网店用5 000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11 000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克　5　元.
5.（扬州中考）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾？
解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x＋40）吨垃圾.
根据题意，得＝，
解得x＝60.
经检验，x＝60是分式方程的解，且符合题意.
答：B型机器每天处理60吨垃圾.
6.（大庆中考）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00～23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00～次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/千瓦时.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
解：设该市谷时电价为x元/千瓦时，则该市峰时电价为（x＋0.2）元/千瓦时，
根据题意，得＝，解得x＝0.3.
经检验，x＝0.3是分式方程的解，且符合题意.
答：该市谷时电价为0.3元/千瓦时.
@中档提分训练
7.实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×＝，则未知数x表示的意义是（　B　）
A.增加的水量　　B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量　　D.减少的食盐量
8.（张家界中考）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　C　）
A.3（x－1）＝
B.3（x－1）＝6 210
C.3（x－1）＝
D.＝3x
9.（常德中考）“六一”儿童节将至，张老板计划购进A型玩具和B型玩具进行销售，若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少；
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A、B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
解：（1）设A型玩具的进价是x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个.
由题意，得－＝20.解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意.
∴1.5x＝10×1.5＝15.
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个.
（2）设购进A型玩具m个，则购进B型玩具（75－m）个.
根据题意，得（12－10）m＋（20－15）（75－m）≥300.
解得m≤25.
答：最多可购进A型玩具25个.
@拓展素养训练
10.【情境素材题】项目学习方案：
项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍
任务一 设小组成员甲用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得方程：　①　； 小组成员乙设　②　，由题意得方程：2×＝
素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（9－m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二 求m的值
（1）任务一中横线①处应填　＝2x　，横线②处应填　每枝A种花卉的价格为a元　.
（2）完成任务二.
解：根据题意，得35×＝10×，解得m＝7.
经检验，m＝7是原分式方程的解，且符合题意.
重点强化专题　分式方程的应用
　　类型一　工程问题
1.无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率.已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积.
解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为6x亩.
由题意，得－＝20，解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意.
∴6x＝60.
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩.
2.（泰安中考）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人.
解：设甲组有x名工人，则乙组有（35－x）名工人，
根据题意，得
＝×1.2，解得x＝20.
经检验，x＝20是分式方程的解，且符合题意.
所以35－x＝35－20＝15.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
3.习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，某县积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1 200米的道路进行改造，铺设柏油路面.在铺设400米后，为了尽快完成道路改造任务，之后每天的工作效率比原计划提高25％，结果共用13天完成道路改造任务.
（1）原计划每天铺设柏油路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资共1 500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20％，则完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
解：（1）设原计划每天铺设柏油路面x米，则提速后每天铺设柏油路面（1＋25％）x米，依题意，得
＋＝13，解得x＝80，
经检验，x＝80是分式方程的解，且符合题意.
答：原计划每天铺设柏油路面80米.
（2）1 500×＋1 500×（1＋20％）×＝21 900（元）.
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21 900元.
　　类型二　行程问题
4.磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越.A，B两站之间的距离为50千米，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时.求地铁的平均速度.
解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为10x千米/时.
根据题意，得－＝，解得x＝40.
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意.
答：地铁的平均速度为40千米/时.
5.《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为.为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段：
刘师傅：“杨师傅，你的平均车速比我快25％，行驶完全程比我少用了40分钟.”
杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10％，并没有超速啊！”
根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由.
解：杨师傅在行驶过程中有超速，理由如下：
设刘师傅的平均车速为x千米/时，则杨师傅的平均车速为（1＋25％）x千米/时，根据题意，得
－＝，解得x＝90.
经检验，x＝90是分式方程的解，且符合题意.
所以（1＋25％）x＝（1＋25％）×90＝112.5.
所以（1＋10％）×112.5＝123.75（千米/时）.
因为123.75＞120，
所以杨师傅在行驶过程中有超速.
　　类型三　购买与销售问题
6.笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期.某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套.已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1 000元购进B型号的数量相同.求两种型号“文房四宝”的单价.
解：设B型号“文房四宝”的单价为x元，则A型号“文房四宝”的单价为（x－20）元.依题意，得
＝.解得x＝100.
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意.
∴x－20＝100－20＝80.
答：A型号“文房四宝”的单价为80元，B型号“文房四宝”的单价为100元.
7.“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中A款套装的单价比B款套装单价的2倍少30元，用270元买A款套装的数量是用360元买B款套装数量的一半.
（1）求A，B套装的单价分别是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买A款套装和B款套装共80个，两种套装的总费用不超过6 000元，学校最多可以购进多少个A款套装？
解：（1）设B款套装的单价为x元，则A款套装的单价为（2x－30）元.
由题意，得＝×，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，符合题意.
∴2x－30＝2×60－30＝90.
答：A款套装的单价为90元，B款套装的单价为60元.
（2）设购进A款套装m个，则购进B款套装为（80－m）个.
由题意，得90m＋60（80－m）≤6 000，
整理，得30m≤1 200，
解得m≤40.
答：学校最多可以购进40个A款套装.15.3　可化为一元一次方程的分式方程
第1课时　分式方程及其解法
@基础分点训练
　　知识点1　分式方程的概念
1.下列方程是分式方程的是( )
A.－　　B.＝－2
C.＝　　D.2x＋1＝3x
　　知识点2　分式方程的解法
2.解分式方程＝－2时，去分母变形正确的是( )
A.－1＋x＝－1－2（x－2）
B.1－x＝1－2（x－2）
C.－1＋x＝1＋2（2－x）
D.1－x＝－1－2（x－2）
3.（哈尔滨中考）方程＝的解为( )
A.x＝　　B.x＝
C.x＝　　D.x＝
4.解分式方程－＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 .
5.（1）（徐州中考）分式方程＝的解为 ；
（2）（北京中考）方程＋＝0的解为 .
6.若代数式与代数式的值相等，则x＝ .
7.解方程：
（1）－1＝；
（2）－＝.
　　知识点3　分式方程的增根
8.下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A.使所有的分母的值都为零的解是增根
B.分式方程的解为零就是增根
C.使分子的值为零的解就是增根
D.使最简公分母的值为零的解是增根
9.若方程－3＝有增根，则增根是( )
A.x＝6　　B.x＝5
C.x＝3　　D.x＝1
10.若关于x的方程＋2＝有增根，则k的值为 .
@中档提分训练
11.（枣庄中考）对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算.例如：1 3＝＝－.则方程x （－2）＝－1的解是( )
A.x＝4　　B.x＝5
C.x＝6　　D.x＝7
12.如图，A，B，C三点在数轴上，对应的数分别是，1，，且点B到点A，C的距离相等，则x＝ .
13.已知关于x的方程－＝1的解与方程＝3的解相同，则a的值为 .
14.若关于x的分式方程＋1＝无解，则m的值为 .
15.解方程：
（1）－＝0；
（2）－1＝.
@拓展素养训练
16.【规律探究题】先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x＋＝2＋的解为x1＝2，x2＝；
方程x＋＝3＋的解为x1＝3，x2＝；
方程x＋＝4＋的解为x1＝4，x2＝；
……
（1）根据上面的规律，猜想方程x＋＝5＋的解是 ；
（2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x＋＝3＋；
（3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x＋＝.（结果保留a）
计算强化专题　分式方程的解法
解方程：
（1）（西宁中考）＝－1；
（2）（广州中考）＝；
（3）（陕西中考）＋＝1；
（4）（福建中考）＋1＝；
（5）＋＝；
（6）－1＝；
（7）＝－；
（8）－＝1.
解题技巧专题　与分式方程有关的参数问题
　　类型一　由特殊解确定字母的取值范围
　　由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤如下：
　　（1）求出分式方程的解（用含有字母的式子表示）；
　　（2）由分式方程的解为特殊解列出关于字母的不等式，并求出解集；
　　（3）由分式方程的解必须使分母不为0，列出关于字母的不等式，并求出解集；
　　（4）求（2）（3）两个解集的公共部分即可.
1.已知关于x的分式方程＝＋5的解为正数，则m的取值范围是 .
2.若关于x的分式方程＝的解是非负数，则m的取值范围为 .
3.若关于x的分式方程＋＝的解大于1，则m的取值范围是 .
4.已知关于x的分式方程＝有解，求a的取值范围.
　　类型二　由无解确定字母的值
　　分式方程无解可能有两种情况：
　　（1）去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，即是方程的增根；
　　（2）去分母后化成的整式方程无解，即ax＝b中，a＝0且b≠0.
5.若关于x的方程＝－无解，则m的值为( )
A.－3　　B.0或－1
C.0或1　　D.－3或1
6.已知关于x的分式方程＋ ＝.
（1）若该方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若该方程有增根，求m的值.
（3）若该方程无解，求m的值.
第2课时　分式方程的应用
@基础分点训练
　　知识点　分式方程的应用
1.DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成.设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是( )
A.＋＝1.5　　B.＋＝
C.＋＝1.5　　D.＋＝
2.某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1 200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是( )
A.－＝10　　B.－＝10
C.－＝1.2　　D.－＝1.2
3.小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1 200 m，3 000 m，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4 min出发，求小明和小刚两人的速度.设小明的速度是x m/min，根据题意可列方程为 .
4.某网店用5 000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11 000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元.
5.（扬州中考）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾？
6.（大庆中考）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00～23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00～次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/千瓦时.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
@中档提分训练
7.实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×＝，则未知数x表示的意义是( )
A.增加的水量　　B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量　　D.减少的食盐量
8.（张家界中考）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A.3（x－1）＝
B.3（x－1）＝6 210
C.3（x－1）＝
D.＝3x
9.（常德中考）“六一”儿童节将至，张老板计划购进A型玩具和B型玩具进行销售，若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少；
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A、B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
@拓展素养训练
10.【情境素材题】项目学习方案：
项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍
任务一 设小组成员甲用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得方程：　①　； 小组成员乙设　②　，由题意得方程：2×＝
素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（9－m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二 求m的值
（1）任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 .
（2）完成任务二.
重点强化专题　分式方程的应用
　　类型一　工程问题
1.无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率.已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积.
2.（泰安中考）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人.
3.习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，某县积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1 200米的道路进行改造，铺设柏油路面.在铺设400米后，为了尽快完成道路改造任务，之后每天的工作效率比原计划提高25％，结果共用13天完成道路改造任务.
（1）原计划每天铺设柏油路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资共1 500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20％，则完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
　　类型二　行程问题
4.磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越.A，B两站之间的距离为50千米，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时.求地铁的平均速度.
5.《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为.为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段：
刘师傅：“杨师傅，你的平均车速比我快25％，行驶完全程比我少用了40分钟.”
杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10％，并没有超速啊！”
根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由.
　　类型三　购买与销售问题
6.笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期.某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套.已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1 000元购进B型号的数量相同.求两种型号“文房四宝”的单价.
7.“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中A款套装的单价比B款套装单价的2倍少30元，用270元买A款套装的数量是用360元买B款套装数量的一半.
（1）求A，B套装的单价分别是多少元；
（2）根据学校的实际情况，需要一次性购买A款套装和B款套装共80个，两种套装的总费用不超过6 000元，学校最多可以购进多少个A款套装？

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