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2025-2026学年上海市金山实验中学1班九年级（下）摸底数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算中正确的是（　　）
A. （-ab）5=a5b B. （a3）2=a5 C. 3a3+3a3=6a6 D. a2 a6=a8
2.下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A. B. y=2x2 C. y=3x+1 D.
3.如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（　　）
A. 7分 B. 7.5分 C. 8分 D. 10分
4.已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（　　）
A. B. C. D. 2
5.已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
6.因式分解：a（x-1）-3（x-1）= .
7.不等式的解集是 .
8.方程的解是 .
9.若关于x的一元二次方程x2-4x-k+3=0有两个相等的实数根，则k的值为 .
10.将抛物线y=-3（x-2）2+1先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为 .
11.若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 .
12.如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种，那么三个方格所涂颜色均不相同的概率是 .
13.已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3.现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）.
14.如图，反比例函数的图象经过菱形ABCD的对角线AC与BD的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，AC∥y轴，BD∥x轴，则△ABD的面积为 .
15.如图，D是等边△ABC边BC上点，BD：CD=2：3，作AD的垂线交AB、AC分别于点E、F，那么AE：AF= .
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：.
17.(本小题8分)
解方程：.
18.(本小题8分)
某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征.
时间x 8时 11时 14时 17时 20时
y1自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34
y2自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13
（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系.（不写定义域）
（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向.单位时间内双向交通总量为v总=y1+y2，车流量大的方向交通量为vm，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况.该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由.
19.(本小题8分)
【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形.小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？
【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形ABCD中，AC≠BD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EH∥BD∥FG，____，如果四边形EFGH是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？
【分析问题】小普同学在与AI的交流中，AI给出了一种解决问题的思考路径；
【解决问题】
（1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“______”）；
（2）根据小普同学与AI的对话，设AC=a,BD=b,用含a、b的代数式表示k；
（3）在图中，画出符合要求的菱形EFGH，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹.
20.(本小题8分)
如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AB=BD，求证：AB2=BF OB.
21.(本小题8分)
定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆.如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆.
阅读以上材料，解决问题；
已知直线OA外有一点P，PA⊥OA，OA=4，AP=2，圆M是点P与直线OA的点切圆.
（1）如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是 ______ （直接写出答案）.
（2）如图2，以O为坐标原点、OA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,点P在第一象限，设圆心M的坐标是（x,y）.
①求y关于x的函数解析式；
②点B是①中所求函数图象上的一点，联结BP并延长交此函数图象于另一点C.如果CP：BP=1：4，求点B的坐标.
22.(本小题7分)
如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E.
（1）如果MN=6，AM=2，求边BC的长；
（2）联结CN，当△CEN是以CN为腰的等腰三角形时，求∠BAN的度数；
（3）联结DO并延长，交AB于点P，如果BP=2AP，求的值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】（x-1）（a-3）
7.【答案】x＞-6
8.【答案】x=4
9.【答案】-1
10.【答案】y=-3（x+1）2+3
11.【答案】m＞
12.【答案】
13.【答案】2.37×10-5
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】解：原式=-3×÷+-1
=-3+-1
=4-2-1
=3-2．
17.【答案】无解．
18.【答案】解：（1）设y1=k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x=8，y1=10和x=11，y1=16代入y1=k1x+b1，
得，
解得，
∴y1=2x-6．
设y2=k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x=8，y2=25和x=11，y2=22代入y2=k2x+b2，
得，
解得，
∴y2=-x+33．
（2）v总=y1+y2=2x-6-x+33=x+27．
当y1≥v总时，即2x-6≥（x+27），解得x≥18；
当y2≥v总时，即-x+33≥（x+27），解得x≤9．
∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．
19.【答案】EF∥AC∥HG 如图所示EFGH即为所求：
延长AC，利用圆规在AC延长线上截取CQ=BD，连接BQ；作EC∥BQ，交AB边于点E即可．

20.【答案】见解析；
见解析．
21.【答案】；
①y=；
②B（8，5）或（0，5）．
22.【答案】解：（1）连接OB，OC，过C作CP⊥OB于P，如图：
∵MN=6，
∴OB=OC=3，
∵AM=2，
∴OA=1，
∴tan∠ABO==，
∵∠ABO+∠OBC=90°，∠OBC+∠BOP=90°，
∴∠BCP=∠ABO，
∴=，
设BP=x,则CP=3x,OP=OB-BP=3-x,
在Rt△POC中，OC2=OP2+PC2，
解得：x=或0（舍去），
∴BP=，PC=，
在Rt△BPC中，BC==；
（2）①当CN=CE时，过C作CQ⊥EN于Q，如图：
设OM=ON=OB=OC=1，tan∠ABO=a,BP=x,
由（1）知，∠ABO=∠DAE=∠BCP=∠ECQ，
∴OP=1-x,PC=，
∵CQ⊥MN，CP⊥OB，OB⊥MN，
∴四边形OQCP为矩形，
∴OQ=PC=，CQ=OP=1-x,
∴EQ=QN=CQ a=（1-x）a,
∴ON=OQ+QN=+（1-x）a=1，
∴x=，
∴OP=，CP=，
∴a=-1，
构造三角形：
∴（-1）2+b2=（1-b）2，
解得：b=-1，
∴α=45°，
∴tan=tan22.5°=-1，
∴∠BAN=90°-22.5°=67.5°；
②当CN=EN时，如图：
设OM=ON=OB=OC=1，tan∠ABO=a,BP=x,
由①知，OP=CQ=1-x,OQ=PC=，EQ=（1-x）a,
∴QN=ON-OQ=1-，
∴EN=CN=EQ+QN=1+a-ax-，
在Rt△CQN中，CN2=CQ2+QN2，
整理得：（a2+1）x2-2（a2+a）x+a2+2a=0，
∵a＞0，
∴Δ=4（a2+a）2-4（a2+1）（a2+2a）=-8a＜0，
∴x无解，即此情况不存在，
综上所述，∠BAN=67.5°；
（3）过O作BC的垂线交BC于G，交AD于H，作AB的垂线，交AB于T，交CD于S，如图：
令OB=OM=ON=OC=1，
∵OB=OC，
∴OG为BC的垂直平分线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OH是AD的垂直平分线，
∴OA=OD，
∵∠ADE=90°，
∴OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD=AD，∠BAD=∠ADE=90°，
∴△ADP≌△DAE（ASA），
∴AP=DE，DP=AE，
∴OP=OA=OE=DE，
∴TS是AP和DE的垂直平分线，
∵PB=2AP，
∴BT=BP+PT=BP+AP=AB，
∵∠BTO=∠AOB=90°，∠ABO=∠TBO，
∴△ABO∽△OTB，
∴=，
∴AB=，
∴BT=，
∵OG⊥BC，
∴四边形OTBG为矩形，
∴OG=BT=，
∴BG=，
∴BC=2BG=，
∴=．
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