资源简介

2025-2026学年广东省中山市西湾外国语学校
高二上学期数学第四次段考
一、单选题
1.已知向量 ， ，且 ，那么 （ ）
A． B． C． D．5
2.已知向量 是直线 的方向向量，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3.假设 ， 且 A与 B相互独立，则 （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58
4. 已知组数据 ， ，…， 的平均数为 2,方差为 5,则数据 2 +1，2 +1，…，2 +1的平
均数 与方差 分别为
A． =4, =10 B． =5, =11 C． =5, =20 D． =5, =21
5.如图，空间四边形 OABC中， ， ， ，点M在 上，且 ，
点 N为 BC中点，则 （ ）
A． B． C． D．
6.点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7.圆 和圆 交于 、 两点，则线段 的垂直平分线的方
程是（ ）
A． B． C． D．
8.已知 分别是双曲线 的左 右焦点， 为双曲线右支上一点，
第页(共页)
的角平分线 交 轴于点 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9.已知一组数据 4，8，9，3，3，5，7，9，则（ ）
A．这组数据的上四分位数为 8.5
B．这组数据没有众数
C．这组数据的极差为 6
D．这组数据的平均数为 6
10.设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 点到焦点的距离为 3，则 的坐标为 ．
C．若 ，则 的最小值为 ．
D．过焦点 作斜率为 2的直线与抛物线相交于 ， 两点，则
11.已知直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．异面直线 与 所成的角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
三、填空题
12.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、
第页(共页)
8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第 80百分位数为_________．
13.直线 l过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l的方程为_________
14.已知双曲线的方程为 ，如图，点 的坐标为 ， 是圆
上的点，点 在双曲线的右支上，则 的最小值为_________．
四、解答题
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的
最大受益者，更是文明城市的主要创造者.中山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了
“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份作为样本，将样本的成绩（满分
100分，成绩均为不低于 40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），...，[90，100]
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本成绩的众数，样本成绩的第 75百分位数和平均数．
16.如图，在正方体 中， 为 的中点，
第页(共页)
(1)求直线 与 所成的角；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值
17.已知圆 经过 ， ， 三点．
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 且与圆 相切的直线方程．
18.已知 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点， ．
为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ．
(1)求 的方程；
第页(共页)
(2)证明：直线 过定点．
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮
空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人
继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
参考答案与试题解析
1.C
【解析】由向量 ， ，且 ，
得 ，则 ，则 ．
故选：C
第页(共页)
2.A
【解析】已知向量 是直线 的方向向量，则直线 的斜率为 ，故直线 的倾
斜角为 ．
故选：A．
3.D
【解析】由 ， ，且 A与 B相互独立，得 ，
所以 ．
故选：D
4.C
【解析】根据题意，数据 ， ， ， 的平均数为 2，方差为 5，
则数据 ， ， ， 的平均数 ，
其方差 ；
故选 ．
5.B
【解析】因为 ，点 N为 BC中点，所以 ，
故
．
故选：B．
6.B
【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 ．
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用
几何性质是解题的关键，属于基础题．
7.C
【解析】将两圆的方程相减，得直线 AB的方程 ，
则线段 AB的垂直平分线的斜率为 ，
由两圆的方程知，两圆的圆心分别为 ，
第页(共页)
所以线段 AB的垂直平分线的方程为 ，
即 ．
故选：C．
8.B
【解析】由 的角平分线 交 轴于点 ，得 ，
而 ，则 ， ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
整理得 ，即 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选：B
9.A,C,D
【解析】对于 A，将给定数据从小到大排列为 3，3，4，5，7，8，9，9，而 ，
所以这组数据的上四分位数为 ，故 A正确；
对于 B，这组数据的众数是 3和 9，故 B错误；
对于 C，这组数据的极差为 6，故 C正确；
对于 D，这组数据的平均数为 ，故 D正确．
故选：ACD．
10.A,C
【解析】抛物线 ， ．
对于 A， ， ，A正确；
对于 B，设 ， ， ， 的坐标为 .B错误；
对于 C, ,C正确；
对 于 D， 直 线 ， 联 立 ， 得 ： ， ,
,D错误．
第页(共页)
故选：AC．
11.A,B,D
【解析】如图，建立空间直角坐标系 ，
则 ．
A： ，
所以 ，故 A正确；
B： ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，故 B正确；
C： ，则 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，故 C错误；
D：设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
得 ，所以点 到平面 的距离为 ，故 D正确．
故选：ABD
12.10.8
【解析】数据从小到大排序为： 8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、
第页(共页)
11.2、11.7，共有 12个，
所以 ，
所以这组数据的第 80百分位数是第 10个数即：10.8．
故答案为：10.8
13. 或
【解析】错解：因为直线 l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,
设直线 l的方程为 ,则 ,所以 ,
故直线 l的方程为 ,
即 ．
错因：错误原因是忽略直线 l过原点,截距为零的情况．
正解：
若直线 l过原点，满足题意，此时直线 l的方程为 ；
若直线 l不过原点，设直线 l的方程为 ,
则 ，所以 ,
故直线 l的方程为 ，即 ．
综上，直线 l的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
14. /
【解析】双曲线的方程为 ，则 ，双曲线焦点为 、 ，
，圆心为 ，半径为 ，
则 ，
当 、 、 共线时，等号成立；
又 ，
当 、 、 共线时，等号成立，
第页(共页)
的最小值为 ，
故答案为: ．
15.
(1)解：根据频率分布直方图的性质，可得 ，解得
【解析】略
(2)解：由众数的定义，可得数据的众数为 ，即样本数据的众数为 ，
又由成绩在 内的频率为 ，
在 内的频率为 ，
所以第 75百分位数 ，
又由 ，解得 ，所以第 75百分位数为 84．
由 平 均 数 的 计 算 公 式 ， 可 得
，
所以样本成绩的平均数为 74．
【解析】略
16.
【解析】
16.
(1)
【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空
间直角坐标系 ，设正方体棱长为 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
设直线 与 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与 所成的角为 ．
(2)
【解析】由图可得： 、 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
第页(共页)
由 ,
令 ，则 ， ，则 ．
所以 ，
因此直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17.
【解析】
17.
(1)
【解析】因为 ， ，所以 ，即 ，
所 以 为 圆 的 直 径 ， 且 为 的 中 点 ， 所 以 ， 故
，
故圆 的方程为 ．
(2) 或 ．
【解析】若切线的斜率不存在，则 ，圆心 到该线的距离为 ，
故直线 不为切线．
设切线方程为 ，即 ；
由题意可知 ，
所以 ，即 ，
所求直线方程为 或 ．
第页(共页)
18.
(1)
【解析】由题可知 ， ， ，
， ，
，
则 ，
解得 ，
．
(2)详见解答过程
【解析】方法一：
设 的直线方程为：
的直线方程为：
联立 ，则
， ，
，
联立 ，则
， ，
，
联立 ，解得 ，
，
，
则直线 ，
由对称性可知定点必在横坐标轴上，
令 ，易得 ，
直线过定点 ．
方法二：
设直线 的方程为： ， ，
联立 ，得： ，
第页(共页)
， ， ，
同理设 直线方程为： ，
联立 ，得： ，
， ， ，
由椭圆对称性知原点在 x轴上，设定点 ，
，
，
，
即定点坐标为 ．
方法三：
设 ， ， ，
由三点共线可得 ，即 ①，
的直线方程为： ，
由对称性可知定点必在横轴上，设为 ，
则有 ②，
（至此，原命题转化为已知①，求②的三角函数问题）
化简①式：
可得 ③，
又 ，
将③式代入可得：
，
故定点坐标为 ．
方法四：
第页(共页)
令 ，
则原命题转化为圆 与直线 上一动点的模型，如图：
在直线与圆的模型中：
，
， ，
故 ，
即 ，即 ，
又 ，故直线 恒过点 ，
又 ， ，
故原数学模型恒过点 ．
19.
(1)
【解析】设 ：甲第 场比赛胜，
：乙第 场比赛胜，
：丙第 场比赛胜．
故甲胜四场的概率为： ．
(2) ．
【解析】只比赛四场就结束比赛的情况中，
甲最终获胜胜的概率为： ，
乙最终获胜胜的概率为： ，
丙最终获胜胜的概率为： ，
故四场结束比赛的概率为： ，
第页(共页)
所以，需要进行五场比赛的概率为： ．
(3) ．
【解析】设丙最终获胜的概率为 ，则有：
．
第页(共页)

展开更多......

收起↑