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21.3.3正方形
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等
D.对角线互相垂直
2.如图，四边形ABCD 是正方形，点 E 在正方形的对角线AC上,连接DE,已知CE=CD,则∠AED 的度数为 ( )
A. 105.5° B. 112.5°
C. 115° D. 120°
3.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD为正方形的是 ( )
A. AC⊥BD B. AB=AD
C. ∠BAO=∠ABO D. ∠BAC=∠DAC
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O，B 的坐标分别是(0,0),(2,0),则顶点A 的坐标是( )
A. (1,1) B. (1, )
C. ( , ) D. ( ,1)
5.如图，正方形ABCD 的边长为7，在各边上顺次截取 AE=BF=CG=DH=4,则四边形EFGH 的面积为 ( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
6.如图，在正方形 ABCD和正方形 CEFG中(两个正方形位于 CD异侧),E在 CD边上,连接AF,H为AF 的中点,连接 CH,已知 BC=4,CG=3则CH的长为 ( )
A. 3 B. 5 C. 4 D. 10
二、填空题(每小题3分，共12分)
7. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 为∠ACB 的平分线,DE⊥BC 于点E,DF⊥AC 于点 F.若 CE=2,则四边形CEDF 的周长为 .
以学具为桥梁，让静态的四边形“动”起来，直观了解图形的边角关系，将抽象几何性质转化为可触可感的探索体验.请完成第8~9题：
8.媛媛用如图①中的一副七巧板拼成如图②所示的“花束图”，若正方形 ABCD 的边长为4，则图②中花束的高为 .
9.小明用四根长度均为 10 cm的木条制作了能够活动的学具，他先将活动学具变为图①所示的形状，并测得∠B=60°，接着将活动学具变为图②所示的形状，测得∠B'=90°,连接AC,A'C',则 的值为 .
10.如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，F是正方形边上一点，连接BE.若AB=3,CE=1,当AF=BE时,DF 的长为 .
三、解答题(共30分)
11. (8分)如图,正方形ABCD 的边长为6,E为 CD上一点,连接AE,过点 D 作AE 的垂线交 BC于点 F,若DE=2,求 BF 的长.
12. (10分)如图,在 ABCD中,点 E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,连接 EG,EH, HG,FG,EF,且EG平分∠HEF.
(1)求证EH=GF;
(2)若∠EHG=90°,判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由.
13.(12分)【问题情境】如图①,在四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,E,F分别为BC,CD上的点,连接EF,AE,AF.过点 A 作 AG⊥EF 于点 G,AE 平分∠BAG,AF平分∠DAG.
【问题发现】(1)若∠EAF=45°,AB=4,E为 BC的中点，则四边形ABCD 的形状为 ,DF 的长为 ;
【拓展应用】(2)如图②,在△ABC 中,∠BAC=45°,AD⊥BC 于点 D,AD =12,BD=6，求 CD的长.小明给出如下思路：
解:如图③,作出点 D 分别关于AB,AC 的对称点E，F，分别连接 EB，FC并延长，使其相交于点 G,设CD=x,…
按小明的思路续写完整的解答过程.
1. D【解析】∵正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，矩形的对角线相等、互相平分，∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直.
2. B 【解析】∵ 四边形ABCD 是正方形,∴∠ACD=45°,∵ CE=CD,∴∠CED=∠CDE= ×(180°-45°)=67.5°,∴∠AED=180°-67.5°=112.5°.
3. C【解析】A选项对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项不符合题意；B选项有一组邻边相等的矩形是正方形，故此选项不符合题意；C选项∵四边形 ABCD 是矩形, ∴矩形ABCD 不能为正方形，故此选项符合题意；D 选项∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB. ∵ ∠BAC = ∠DAC,∴ ∠BAC =∠ACB,∴AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,故此选项不符合题意.
4. A 【解析】如解图,∵四边形OABC 是正方形，∴点A，C关于x轴对称，∴AC 所在直线为OB 的垂直平分线，即点A 的横坐标为1，根据正方形对角线相等,得AC=BO=2,又∵A,C 关于x轴对称，∴A点纵坐标为1，故顶点A 的坐标是(1，1).
5. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵AE=BF=CG = DH,∴ AH = BE = CF = DG. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),∴EH=FE=GF=HG,∠AEH = ∠BFE,∴ 四边形 EFGH 是菱形.∵∠BEF+∠BFE=90°,∴ ∠BEF+∠AEH=90°,∴∠HEF=90°,∴ 四边形 EFGH 是正方形.∵AB=BC=CD=DA=7,AE=BF=CG=DH=4,∴AH=BE= 5,∴四边形 EFGH 的面积是
6. B 【解析】如解图,连接AC,CF.∵四边形 ABCD和四边形 CEFG 均为正方形,∴∠B=∠G=90°,∠ACD=∠ACB=∠FCE=∠FCG=45°,∴∠ACF=90°.∵BC=4 ,CG=3 ,∴AC=8,CF=6.在Rt△ACF 中, H为AF的中点，
7. 8 【解析】∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠DFC=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∵ CD 平分∠ACB,易知△DFC为等腰直角三角形,∴DF=FC,∴四边形 DECF 是正方形,∴ CE=2,∴ 四边形 CEDF 的周长为4CE=8.
8. 4【解析】题图②中花束的高=三角形4的直角边+三角形1的直角边+三角形7的斜边上的高=题图①中正方形ABCD 的对角线长，∵正方形ABCD的边长为4，∴正方形 ABCD 的对角线长为4 ，∴题图②中花束的高为4
9. 【解析】如题图①,∵AB=BC,∠B=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴AB=BC=AC=10cm.如题图②,∵∠B'=90°,A'B'=B'C',∴△A'B'C'是等腰直角三角形，
10. 1 或 【解析】∵不能确定点 F 的位置，∴需分点 F 在边 CD 上或在边 BC 上两种情况讨论.如解图①,当点 F 在边 CD上时,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC,∠D=∠C=90°,AF=BE,∴ Rt△ADF≌Rt△BCE(HL),∵ CE=1,∴ DF=CE=1;如解图②,当点 F 在边 BC 上时,连接DF,同理可得BF=CE=1,∵AB=3,∴BC=3,∴CF=BC-BF=2,在 Rt△CFD 中, .综上所述，DF的长为 1或
11.解:∵四边形ABCD 是边长为6的正方形,
∴AD=CD=AB=BC=6,∠ADC=∠C=90°.
∵AE⊥DF,
∴∠DFC+∠CDF=90°=∠CDF+∠AED,
∴∠AED=∠DFC,∴△ADE≌△DCF(AAS).
∵DE=2,
∴CF=DE=2,∴BF=BC-CF=4. (8分)
12. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C.
在△AEH与△CGF中,
∴△AEH≌△CGF(SAS),
∴ EH=GF; (4分)
(2)解:四边形 EFGH 是正方形. (6分)
理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵ AE = CG, AH = CF,∴ EB = GD, HD = FB,
∴△BEF≌△DGH(SAS),∴EF=GH.
由(1)得,EH=GF,
∴ 四边形 HEFG 为平行四边形，
∴ EH∥FG,∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,
∴∠HEG=∠FEG,∴∠FGE=∠FEG,∴EF=GF,
∴平行四边形 EFGH 是菱形.
∵∠EHG=90°,
∴菱形 EFGH 是正方形,即四边形 EFGH 是正方形. (10分)
13.解:(1)正方形, 4分)
(2)续写过程如下：
由题意,得△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF,∴∠DAB=∠EAB,∠ADB=∠AEB,AD=AE,∠DAC=∠FAC,∠ADC=∠AFC,AD=AF.
∵∠BAC=45°,
∴∠EAF=2∠BAC=90°.
又∵AD⊥BC,
∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°,
∴ 四边形AEGF 是矩形.
∵AE=AD,AF=AD,
∴AE=AF,
∴ 四边形AEGF 是正方形,
∴∠BGC=90°.
∵BD=6,
∴BE=6,CF=CD=x,BC=CD+BD=x+6.
∵AE=AF=GF=EG=12,
∴BG=EG-BE=6,CG=GF-CF=12-x.
在 Rt△BGC 中,根据勾股定理,得 BC ,
即 解得x=4,∴CD的长为4. (12分)

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