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6.3.1　二项式定理
1． 的展开式中的常数项为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
2． (x＋2y－1)4的展开式中，x2y的系数为(　　)
A．24 B．－24
C．12 D．－48
3． (1－x)6的展开式中x4的系数为(　　)
A．24 B．21
C．15 D．9
4． 若(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为a，(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为b，则a＋b＝(　　)
A．－15 B．75
C．135 D．165
5． 在(x－2 021)(x＋2 022)(x－2 023)(x＋2 024)(x－2 025)的展开式中，含x4的项的系数是(　　)
A．－2 025 B．－2 023
C．－2 021 D．2 025
6． 已知(2x＋2)6＋a(x＋1)3的展开式中x3的系数为0，则a的值为(　A　)
A．－1 280 B．－640
C．640 D．1 280
7． (多选)关于(1＋x)(1－2x)7，下列结论正确的是(　　)
A．展开式中的常数项为1
B．展开式中x3项的系数为－196
C．展开式中共有9项
D．展开式中x5项的系数为392
8． 若(1－ax)(2＋x)4(a∈R)的展开式中x3的系数为－40，则a的值为____．
9． 已知二项式的展开式中各二项式系数的和为16，则n＝____，的展开式中的常数项为____．
10． 的展开式中的常数项为___(用数字作答)．
11． 设函数f(x)＝
(1) 当x＜0时，求f(x)表达式的展开式中含有x2项的系数；
(2) 当x＞0时，求f(f(x))表达式的展开式中的常数项．
12． 已知在(n∈N*)的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2．
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中含x4的项．
13． 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
14． 设(1＋x)m＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n(m，n为正整数)对任意实数x都成立，若a1＝11，则a2的最小值为____．
6.3.1　二项式定理
1． 的展开式中的常数项为(　D　)
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】 由题知的展开式的通项为Tr＋1＝(2x)5－r(－x－1)r＝(－1)r25－rx5－2r，r＝0，1，2，3，4，5，由5－2r＝1，得r＝2，其对应的常数项为(－1)223＝80．由5－2r＝－1，得r＝3，其对应的常数项为(－1)322＝－40．故所求的常数项为80－40＝40．
2． (x＋2y－1)4的展开式中，x2y的系数为(　B　)
A．24 B．－24
C．12 D．－48
【解析】 (x＋2y－1)4＝［x＋(2y－1)］4的展开式通项为·x4－r(2y－1)r(0≤r≤4，r∈N)，(2y－1)r的展开式通项为(2y)r－k(－1)k＝·2r－k(－1)kyr－k(0≤k≤r，k，r∈N)，故(x＋2y－1)4的展开式通项为Tr＋1，k＋1＝·2r－k(－1)kx4－ryr－k(0≤k≤r≤4，k，r∈N)．由可得因此展开式中x2y的系数为·2·(－1)＝－24．
3． (1－x)6的展开式中x4的系数为(　D　)
A．24 B．21
C．15 D．9
【解析】 由二项式定理得(1－x)6的通项为Tk＋1＝16－k·(－x)k＝(－x)k，k＝0，1，…，6，当k＝4时，含有x4的系数为＝15；当k＝5时，含有x4的系数为×(－1)＝－6．综上，原式展开式中x4的系数为15－6＝9．
4． 若(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为a，(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为b，则a＋b＝(　D　)
A．－15 B．75
C．135 D．165
【解析】 (1－x)10展开式的通项Tr＋1＝(－x)r＝(－1)rxr，r∈N，r≤10，则a＝1×(－1)4＋1×(－1)3＋1×(－1)2＝210－120＋45＝135．(x2＋x＋y)5＝［(x2＋x)＋y］5展开式的通项Tr＋1＝(x2＋x)5－ryr，(x2＋x)5－r的展开式通项为Tk＋1＝(x2)5－r－kxk＝x10－2r－k，0≤k＜r≤5，k，r∈N．由Tr＋1·Tk＋1＝x10－2r－kyr，令得则b＝＝30，所以a＋b＝165．
5． 在(x－2 021)(x＋2 022)(x－2 023)(x＋2 024)(x－2 025)的展开式中，含x4的项的系数是(　B　)
A．－2 025 B．－2 023
C．－2 021 D．2 025
【解析】 根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得x4项．常数项共5种取法，合并同类项得x4项的系数为－2 021＋2 022－2 023＋2 024－2 025＝－2 023．
6． 已知(2x＋2)6＋a(x＋1)3的展开式中x3的系数为0，则a的值为(　A　)
A．－1 280 B．－640
C．640 D．1 280
【解析】 依题意，(2x＋2)6展开式中x3项为(2x)3·23＝26x3，其系数为26＝1 280，a(x＋1)3展开式中x3项ax3，其系数为a，由展开式中x3的系数为0，得a＋1 280＝0，所以a＝－1 280．
7． (多选)关于(1＋x)(1－2x)7，下列结论正确的是(　ABC　)
A．展开式中的常数项为1
B．展开式中x3项的系数为－196
C．展开式中共有9项
D．展开式中x5项的系数为392
【解析】 对于A，令x＝0，展开式中的常数项为1，A正确；对于B，展开式中x3项的系数为1××14×(－2)3＋1××15×(－2)2＝－280＋84＝－196，B正确；易知C正确；对于D，展开式中x5项的系数为1××12×(－2)5＋1××13×(－2)4＝－672＋560＝－112，D错误．
8． 若(1－ax)(2＋x)4(a∈R)的展开式中x3的系数为－40，则a的值为__2__．
【解析】 当a＝0时，(1－ax)(2＋x)4＝(2＋x)4，则x3的系数为2＝8，不符合，所以a≠0，则x3的系数为－a×22＋2＝8－24a＝－40，解得a＝2．
9． 已知二项式的展开式中各二项式系数的和为16，则n＝__4__，的展开式中的常数项为__－8__．
【解析】 由题知2n＝16，解得n＝4，的展开式的通项为Tk＋1＝)4－k＝，0≤k≤4，k∈N．令＝0，得k＝1，所以的展开式中的常数项为－2＝－8．
10． 的展开式中的常数项为__－11__(用数字作答)．
【解析】 由2x－＋1＝＝，所以＝，只需求(2x－1)3(x＋1)3展开式中含x3的项，即(2x)3×13＋(2x)2×(－1)1×x＋(2x)×(－1)2×x2＋×(－1)3×x3＝(8－3×4×3＋3×2×3－1)x3＝－11x3，故所求常数项为－11．
11． 设函数f(x)＝
(1) 当x＜0时，求f(x)表达式的展开式中含有x2项的系数；
(2) 当x＞0时，求f(f(x))表达式的展开式中的常数项．
【解答】 (1) 当x＜0时，f(x)＝，其展开式通项为Tr＋1＝(x)8－r＝(－2)rx8－2r(r＝0，1，2，…，8)．令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中含有x2项的系数为(－2)3＝－448．
(2) 当x＞0时，f(f(x))＝＝，的展开式通项为Tr＋1＝)8－r＝(－2)rx4－r(r＝0，1，2，…，8)，令4－r＝0，得r＝4，所以展开式中的常数项为T5＝(－2)4＝1 120．
12． 已知在(n∈N*)的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2．
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中含x4的项．
【解答】 (1) 因为的展开式中，第4项与第3项的二项式系数的比值为2，可得＝＝＝2，解得n＝8．
(2) 由(1)知，二项式，可得展开式的通项为Tr＋1＝＝22r－8，0≤r≤8，r∈N．令8－r＝4，解得r＝3，所以展开式中含x4的项为T4＝22×3－8x4＝14x4．
13． 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 在二项式展开式中，二项式系数的和为2n＝64＝26，所以n＝6．二项式即为，其通项为Tr＋1＝·26－r(－1)r·x3－r，r＝0，1，2，…，6，故展开式共有7项．当r＝0，2，4，6时，展开式为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种，故奇次项都互不相邻的概率为P＝＝．
14． 设(1＋x)m＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋am＋nxm＋n(m，n为正整数)对任意实数x都成立，若a1＝11，则a2的最小值为__25__．
【解析】 a1＝＋＝m＋n＝11，则a2＝＋＝＋＝＝55－mn＝55－m(11－m)＝＋，m，n∈N*，当m＝5或6时，a2的最小值是25．

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