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6.3.2　二项式系数的性质
1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5为(　　)
A．32 B．1
C．－243 D．1或－243
2．1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是(　　)
A．2 B．1
C．86 D．87
3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x5的系数为(　　)
A．－7 B．－
C． D．7
4．设(2－x)6＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a6(1－x)6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于(　　)
A．1 B．－63
C．63 D．64
5．(多选)在的展开式中，下列说法正确的有(　　)
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为0
C．常数项为20
D．二项式系数最大的项为第4项
6．(多选)下列关于的说法，正确的是(　　)
A．展开式的各二项式系数之和是1 024
B．展开式各项系数之和是1 024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
7． (多选)下列说法中正确的有(　　)
A．若二项式(a＋b)n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n＝5
B．若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝0
C．5555被8除的余数为1
D．(1＋x)8＋(1＋x)7＋…＋(1＋x)＋(1＋x)0的展开式中含x3项的系数为5 292
8．若425＋a(a∈R)能被9整除，则|a|的最小值为____．
9． 已知的展开式中，二项式系数的和为64，则n＝____；其展开式中偶数项的系数和为____．
10．已知(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝__8__，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝____．
11．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1) 二项式系数之和；
(2) 各项系数之和；
(3) 所有奇数项系数之和；
(4) 系数绝对值的和．
12．在二项式的展开式中，展开式前三项的二项式系数的和等于37．
(1) 求的展开式中x的系数；
(2) 写出的展开式中二项式系数最大的项．(不需要说明理由)
13． 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝＋×3＋×32＋…＋×32 024，a≡b(mod 5)，则b的值可以是(　　)
A．2 023 B．2 024
C．2 025 D．2 026
14． 若满足2＋22＋…＋2n能被5整除的n的最小值为n0，设a，b∈｛x∈N|x≤n0｝，则方程ax＋by＝0表示的不同直线的条数为____．
6.3.2　二项式系数的性质
1．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5为(　B　)
A．32 B．1
C．－243 D．1或－243
【解析】 (a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·a5－kxk，令k＝2，得a2＝10a3，由题可知10a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5．令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1．
2．1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是(　B　)
A．2 B．1
C．86 D．87
【解析】 因为1－90＋902－903＋…＋9010＝(1－90)10＝(1＋88)10＝1＋88＋882＋883＋…＋8810＝1＋88(＋88＋882＋…＋889)，所以1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是1．
3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x5的系数为(　D　)
A．－7 B．－
C． D．7
【解析】 因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，所以的展开式的通项Tr＋1＝)8－r·＝，r＝0，1，2，…，8．令＝5，得r＝2，所以展开式中x5的系数为＝7．
4．设(2－x)6＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a6(1－x)6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于(　C　)
A．1 B．－63
C．63 D．64
【解析】 依题意(2－x)6＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a6(1－x)6，令x＝1得1＝a0，令x＝0得26＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝64－1＝63．
5．(多选)在的展开式中，下列说法正确的有(　ABD　)
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为0
C．常数项为20
D．二项式系数最大的项为第4项
【解析】 的展开式中所有二项式系数和为26＝64，A正确；令x＝1可得的展开式中所有项的系数和为(1－1)6＝0，B正确；通项为(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以的展开式中常数项为(－1)3＝－20，C错误；的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确．
6．(多选)下列关于的说法，正确的是(　AD　)
A．展开式的各二项式系数之和是1 024
B．展开式各项系数之和是1 024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
【解析】 对于A，(1－)10的展开式的各二项式系数之和是210＝1 024，故A正确；对于B，令＝1，得(1－)10的展开式的各项系数之和为0，故B错误；对于C，(1－)10的展开式的第6项的二项式系数最大，故C错误；对于D，(1－)10的展开式的第3项为(－)2＝45x，故D正确．
7． (多选)下列说法中正确的有(　BD　)
A．若二项式(a＋b)n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n＝5
B．若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋a3＋…＋a8＝0
C．5555被8除的余数为1
D．(1＋x)8＋(1＋x)7＋…＋(1＋x)＋(1＋x)0的展开式中含x3项的系数为5 292
【解析】 对于A，若第2，3项的二项式系数相等且最大，则n＝3；若只有第3项的二项式系数最大，则n＝4；若第3，4项的二项式系数相等且最大，则n＝5，故A错误．对于B，令x＝0得a0＝1；令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝0，故B正确．对于C，因为5555＝(56－1)55＝×5655－×5654＋×5653－…－＝56k－1，所以5555被8除的余数为7，故C错误．对于D，因为(1＋x)8＋(1＋x)7＋…＋(1＋x)＋(1＋x)0＝(1＋x)9＋(1＋x)8＋…＋(1＋x)0－(1＋x)9＝［(1＋x)＋1］9－(1＋x)9＝(x＋2)9－(x＋1)9，所以x3项的系数为×26－＝×(26－1)＝84×63＝5 292，故D正确．
8．若425＋a(a∈R)能被9整除，则|a|的最小值为__4__．
【解析】 由二项式定理可得425＋a＝(3＋1)25＋a＝325＋324＋…＋32＋3＋1＋a，其中325＋324＋…＋32能被9整除，所以要使425＋a(a∈R)能被9整除，则3＋1＋a＝76＋a能被9整除，则当a＝－4时，|a|最小，且能被9整除．
9． 已知的展开式中，二项式系数的和为64，则n＝__6__；其展开式中偶数项的系数和为__364__．
【解析】 由题意得2n＝64，所以n＝6．的展开式的通项为Tr＋1＝2r，则展开式中第2项系数为2＝12，第4项系数为23＝8×20＝160，第6项系数为25＝32×6＝192，所以展开式中偶数项的系数和为12＋160＋192＝364．
10．已知(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝__8__，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__－2__．
【解析】 含x2的项为x··x·(－1)3＋2x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8．令x＝0，即2＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．
11．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1) 二项式系数之和；
(2) 各项系数之和；
(3) 所有奇数项系数之和；
(4) 系数绝对值的和．
【解答】 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9．
(1) 二项式系数之和为＋＋＋…＋＝29．
(2) 各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1．
(3) 由(2)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即所有奇数项系数之和为．
(4) |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59．
12．在二项式的展开式中，展开式前三项的二项式系数的和等于37．
(1) 求的展开式中x的系数；
(2) 写出的展开式中二项式系数最大的项．(不需要说明理由)
【解答】 (1) 由题知＋＋＝37，即＋n＋1＝37，即n2＋n－72＝0，解得n＝8或n＝－9(舍去)．所以的展开式的通项为Tr＋1＝)8－r＝(－2)r．令＝1，解得r＝2，所以T3＝(－2)2x＝112x，故展开式中x的系数为112．
(2) 因为展开式中一共含有9项，故第5项二项式系数最大，T5＝x－2(－2)4＝1 120x－2，即展开式中二项式系数最大的项为1 120x－2．
13． 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝＋×3＋×32＋…＋×32 024，a≡b(mod 5)，则b的值可以是(　D　)
A．2 023 B．2 024
C．2 025 D．2 026
【解析】 a＝＋×3＋×32＋…＋×32 024＝42 024＝(5－1)2 024＝52 024－×52 023＋×52 022－…－×51＋1＝5(52 023－×52 022＋×52 021－…－)＋1，则5(52 023－×52 022＋×52 021－…－)能被5整除，故5(52 023－×52 022＋×52 021－…－)＋1除以5余数为1，所以a＝＋×3＋×32＋…＋×32 024除以5余数为1．由a≡b(mod 5)，2 023÷5＝404……3，2 024÷5＝404……4，2 025÷5＝405，2 026÷5＝405……1，所以b的值可以是2 026．
14． 若满足2＋22＋…＋2n能被5整除的n的最小值为n0，设a，b∈｛x∈N|x≤n0｝，则方程ax＋by＝0表示的不同直线的条数为__13__．
【解析】 依题意，2＋22＋…＋2n＝(1＋2)n－1＝3n－1，当n∈N*，n≤3时，3n－1都不能被5整除，34－1＝80能被5整除，则n的最小值为4，则a，b∈｛0，1，2，3，4｝．当a＝0，b≠0时，方程ax＋by＝0表示直线y＝0；当a≠0，b＝0时，方程ax＋by＝0表示直线x＝0；当ab≠0且a＝b时，方程ax＋by＝0表示直线x＋y＝0；当ab≠0且a≠b时，方程ax＋by＝0表示的直线条数为－2＝10(方程x＋2y＝0与2x＋4y＝0表示同一条直线，方程2x＋y＝0与4x＋2y＝0表示同一条直线)，所以方程ax＋by＝0表示的不同直线的条数为13．

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