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微专题1　排列组合问题的几种模型(插空、捆绑、隔板法)
1．6名同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，则符合排队要求的方法数为(　　)
A．288 B．144
C．96 D．72
2． 某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有(　　)
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
3．若方程x1＋x2＋x3＋x4＝8，其中x2＝2，则方程的正整数解的个数为(　　)
A．10 B．15
C．20 D．30
4． 学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有(　　)
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
5．(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有21种
C．甲、乙不相邻的排法种数为72种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
6．(多选)现有不同的4个编号为1，2，3，4的球和不同的4个编号为1，2，3，4的盒子，把球全部放入盒内，则下列说法正确的是(　　)
A．恰有1个盒不放球，共有72种放法
B．每个盒子内只放1个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C．有2个盒内不放球，另外2个盒子内各放2个球的放法有36种
D．恰有2个盒不放球，共有84种放法
7．(多选)有甲、乙、丙等6名同学，下列说法中正确的有(　　)
A．6人站成一排，且甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B．6人站成两排，每排3人，且甲、乙不在同一排，则不同的站法种数为432
C．6名同学分配到A，B，C工厂参加实践活动，每个工厂2人，则有90种不同的安排方法
D．6名同学分别去三个展馆参观，则不同的方法有63种
8．某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有____种．
9．用1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，满足2与4相邻且1与5不相邻的五位数共有____个．
10．某单位订阅了30份报纸发给3个部门，每个部门至少发放9份，则不同的发放方法共有____种．
11．某节目单有6个歌唱节目和5个舞蹈节目．
(1) 任何2个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
12．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
(1) 若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2) 若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3) 若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
13．3名女生和5名男生排成一排．
(1) 若女生全排在一起，有多少种排法？
(2) 若女生都不相邻，有多少种排法？
(3) 其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(4) 其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
微专题1　排列组合问题的几种模型(插空、捆绑、隔板法)
1．6名同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，则符合排队要求的方法数为(　D　)
A．288 B．144
C．96 D．72
【解析】 分三步：先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法，故共有×2×＝72种方法．
2． 某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有(　A　)
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
【解析】 利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目，有种方法．1个杂技节目放小品块和歌舞块中间有1种方法．又小品块和歌舞块在首尾有2种排列方法，故不同的安排方法共有＝24种．
3．若方程x1＋x2＋x3＋x4＝8，其中x2＝2，则方程的正整数解的个数为(　A　)
A．10 B．15
C．20 D．30
【解析】 由题知x1＋x3＋x4＝6，将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为x1，第二组小球数目为x3，第三组小球数目为x4，共有＝10种方法，故方程的正整数解的个数为10．
4． 学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有(　B　)
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
【解析】 将四名学生分为三组，每组人数分别为2，1，1，再将这三组学生分配给三个项目即可，所以不同的分配方案种数为＝6×6＝36种．
5．(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　ACD　)
A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有21种
C．甲、乙不相邻的排法种数为72种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【解析】 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有＝24种，故A正确．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有＋＝42种，故B不正确．甲、乙不相邻的排法种数为＝72种，故C正确．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20种，故D正确．
6．(多选)现有不同的4个编号为1，2，3，4的球和不同的4个编号为1，2，3，4的盒子，把球全部放入盒内，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．恰有1个盒不放球，共有72种放法
B．每个盒子内只放1个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C．有2个盒内不放球，另外2个盒子内各放2个球的放法有36种
D．恰有2个盒不放球，共有84种放法
【解析】 对于A，恰有1个盒不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋＝3种，即3×3＝9种，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有＝36种，故C正确；对于D，恰有2个盒不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3，1或2，2两种情况放入盒子，共有＋)＝6×14＝84种，故D正确．
7．(多选)有甲、乙、丙等6名同学，下列说法中正确的有(　ABC　)
A．6人站成一排，且甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B．6人站成两排，每排3人，且甲、乙不在同一排，则不同的站法种数为432
C．6名同学分配到A，B，C工厂参加实践活动，每个工厂2人，则有90种不同的安排方法
D．6名同学分别去三个展馆参观，则不同的方法有63种
【解析】 对于A，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有＝24种排法，再将甲、乙两人插空，有＝20种排法，则共有24×20＝480种不同的排法，故A正确；对于B，甲、乙在前、后排各有种站法，其余4人全排列，则共有2＝432种不同的站法，故B正确；对于C，6名同学平均分成三组到A，B，C工厂参加实践活动，则有＝90种不同的安排方法，故C正确；对于D，6名同学分别去三个展馆参观，分6步，每步3种不同方法，共有36种方法，故D不正确．
8．某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有__624__种．
【解析】 当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有＝240种编排方案；当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有4＝192种编排方案；当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有＋＝192种编排方案，故共有240＋192＋192＝624种编排方案．
9．用1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，满足2与4相邻且1与5不相邻的五位数共有__24__个．
【解析】 因为满足2与4相邻且1与5不相邻，则将2，4捆绑，内部排序得＝2，再对2，4和3全排列得＝2，利用插空法将1和5插空得＝6，所以满足题意的五位数有＝2×2×6＝24(个)．
10．某单位订阅了30份报纸发给3个部门，每个部门至少发放9份，则不同的发放方法共有__10__种．
【解析】 根据题意，先给每个部门发8份报纸，再将剩余的6份报纸分给3个部门，每个部门至少一份即可．将6份报纸看成6个元素，排成一排，中间有5个空位，在其中任选2个插入挡板，可以将6份报纸分为3组，对应分给3个部门即可，则有＝10种不同的发放方法．
11．某节目单有6个歌唱节目和5个舞蹈节目．
(1) 任何2个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
【解答】 (1) 先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有7个空位，从中选5个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何2个舞蹈节目不相邻的排法有种．
(2) 先排舞蹈节目有种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有6个空位，恰好供6个歌唱节目放入，所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有种．
12．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
(1) 若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2) 若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3) 若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
【解答】 (1) 把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有＝3 876种放法．
(2) 由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有＝10 626种放法．
(3) 在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，则只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有＝126种放法．
13．3名女生和5名男生排成一排．
(1) 若女生全排在一起，有多少种排法？
(2) 若女生都不相邻，有多少种排法？
(3) 其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(4) 其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【解答】 (1) (捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法，因此共有＝4 320种不同排法．
(2) (插空法)先排5名男生，有种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有＝14 400种不同排法．
(3) 8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为 ＝20 160．
(4) 甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选1个，有种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任1个上，有种，其余人全排列，共有种不同排法．由分类加法计数原理知，共有＋＝30 960种不同排法．

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