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微专题2　赋值法研究展开式系数
1．已知(2x－1)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 026＝(　　)
A．1 B．0
C．32 026 D．－1
2．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝(　　)
A．0 B．1
C．10 D．20
3． 若(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a2＋a4＋a6等于(　　)
A．32 B．16
C．15 D．0
4． 若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A．2n B．
C．2n＋1 D．
5．(多选)已知(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)
A．a0＝1
B．a4＝60
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－63
D．a0＋a2＋a4＋a6＝
6． (多选)已知(1＋2x)(x－2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)
A．a0的值为－32
B．a5的值为160
C．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2的值为－36
D．(2i·ai)＝0
7． (多选)已知(1－x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则下列说法中正确的有(　　)
A．a1＝2 025
B．a0，a1，a2，…，a2 025中，a1 012最大
C．a0＋a1＋…＋a2 025＝0
D．＋＋…＋＝22 024
8．已知(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则＋＋＋…＋＝____．
9． 设(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋…＋a11x11，则a1＋a2＋…＋a11＝____．
10．设(x－2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则a0＝____，a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝____．
11． 设(x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025．
(1) 求a2 024的值；
(2) 求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值；
(3) 求a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025的值．
12．若(x2＋1)(x－1)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a10(x－2)10．
(1) 求a1＋a2＋a3＋…＋a10的值；
(2) 求a1＋a3＋a5＋a7＋a9的值．
13． 已知(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋a2＋＋＋＋＋＋＝(　　)
A．215 B．216
C．217 D．218
14．已知g(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．
(1) 若a1＋a2＋…＋an－1＝253－n，求x3的系数；
(2) 当x＝1，n＝29时，求g(x)除以7所得的余数．
微专题2　赋值法研究展开式系数
1．已知(2x－1)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 026＝(　B　)
A．1 B．0
C．32 026 D．－1
【解析】 令x＝0，得a0＝(－1)2 026＝1．令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 026＝0．
2．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝(　D　)
A．0 B．1
C．10 D．20
【解析】 令y＝(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则y'＝20(2x－1)9＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9，令x＝1，得20×(2－1)9＝20＝a1＋2a2＋…＋10a10．
3． 若(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a2＋a4＋a6等于(　C　)
A．32 B．16
C．15 D．0
【解析】 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝32；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＝16．令x＝0，得a0＝1，所以a2＋a4＋a6＝15．
4． 若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　D　)
A．2n B．
C．2n＋1 D．
【解析】 设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋①，f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n②，由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝．
5．(多选)已知(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　BC　)
A．a0＝1
B．a4＝60
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－63
D．a0＋a2＋a4＋a6＝
【解析】 令f(x)＝(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6．对于A，令x＝0，得a0＝f(0)＝(－2)6＝64，故A错误．对于B，(x－2)6的展开式通项为Tk＋1＝x6－k·(－2)k·(k＝0，1，2，…，6)．令6－k＝4，可得k＝2，则a4＝(－2)2＝15×4＝60，故B正确．对于C，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)－a0＝f(1)－f(0)＝(1－2)6－64＝1－64＝－63，故C正确．对于D，由所以a0＋a2＋a4＋a6＝，故D错误．
6． (多选)已知(1＋2x)(x－2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　ACD　)
A．a0的值为－32
B．a5的值为160
C．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2的值为－36
D．(2i·ai)＝0
【解析】 对于A，令x＝0，则a0＝(－2)5＝－32，故A正确．对于B，a5＝＋2·(－2)＝1－20＝－19，故B错误．对于C，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝35，则(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6)＝－36，故C正确；对于D，令x＝2，则a0＋2a1＋22a2＋23a3＋24a4＋25a5＋26a6＝0，即(2i·ai)＝0，故D正确．
7． (多选)已知(1－x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则下列说法中正确的有(　BC　)
A．a1＝2 025
B．a0，a1，a2，…，a2 025中，a1 012最大
C．a0＋a1＋…＋a2 025＝0
D．＋＋…＋＝22 024
【解析】 由题意知(1－x)2 025的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k，则当k＝1时，－x＝－2 025x，所以a1＝－2 025，故A错误．由ak＝(－1)k，可知所有系数正负交替出现，在＝中，最大的是a1 012，a1 013，其中a1 012＞0，a1 013＜0，所以a1 012最大，故B正确．令x＝1，则(1－1)2 025＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝0，故C正确．令x＝－1，则(1＋1)2 025＝＋＋…＋＝22 025，故D错误．
8．已知(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则＋＋＋…＋＝__－1__．
【解析】 令x＝0，则a0＝1；令x＝，则a0＋＋＋＋…＋＝0，所以＋＋＋…＋＝－1．
9． 设(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋…＋a11x11，则a1＋a2＋…＋a11＝__－65__．
【解析】 令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝26×(－1)5＝－64；令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a11＝－64－1＝－65．
10．设(x－2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则a0＝__－243__，a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝__80__．
【解析】 令x＝－1，得(－1－2)5＝a0，所以a0＝－243．将原等式两边同时对x求导，得5(x－2)4＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋5a5(x＋1)4，令x＝0，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝80．
11． 设(x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025．
(1) 求a2 024的值；
(2) 求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值；
(3) 求a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025的值．
【解答】 (1) a2 024＝(－2)1＝－4 050．
(2) 令f(x)＝(x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则两式相减并整理得a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝．
(3) 因为(x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，两边分别求导，得2 025(x－2)2 024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 025a2 025x2 024，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＝2 025．
12．若(x2＋1)(x－1)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a10(x－2)10．
(1) 求a1＋a2＋a3＋…＋a10的值；
(2) 求a1＋a3＋a5＋a7＋a9的值．
【解答】 (1) 令x＝2，得(22＋1)(2－1)8＝a0，即a0＝5．令x＝3，得(32＋1)(3－1)8＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 560，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 560－5＝2 555．
(2) 令x＝1，得(12＋1)(1－1)8＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝0，由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 560，两式相减得－2a1－2a3－2a5－2a7－2a9＝－2 560，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝1 280．
13． 已知(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋a2＋＋＋＋＋＋＝(　D　)
A．215 B．216
C．217 D．218
【解析】 对(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8两边求导，得16(2x＋3)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7．令x＝，得a1＋a2＋＋＋＋＋＋＝16×47＝218．
14．已知g(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．
(1) 若a1＋a2＋…＋an－1＝253－n，求x3的系数；
(2) 当x＝1，n＝29时，求g(x)除以7所得的余数．
【解答】 (1) 令x＝1，则g(1)＝2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝＝2n＋1－2．当x＝0时，a0＝n，又an＝1，所以n＋a1＋a2＋…＋an－1＋1＝2n＋1－2，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝253－n，解得n＝7．因为(1＋x)n的通项公式为xr．所以x3的系数是＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝70．
(2) 当x＝1，n＝29时，g(1)＝2＋22＋…＋229＝＝230－2＝810－2．因为g(1)＝810－2＝(7＋1)10－2＝710＋·79＋·78＋…＋·71＋1－2，因此g(1)除以7所得的余数为6．

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