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第六章　能力整合与素养提升练
1． 现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为(　D　)
A．6 B．15
C．20 D．30
【解析】 把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举为(1－3，2－5，4－6)，(1－4，2－5，3－6)，(1－4，2－6，3－5)，(1－5，2－4，3－6)，(1－6，2－4，3－5)，所以符合条件的方法有5＝30种．
2． 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有(　D　)
A．240种 B．188种
C．144种 D．120种
【解析】 先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有＝120种．
3． 从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为(　A　)
A．540 B．180
C．360 D．1 080
【解析】 由题意，先选人，甲乙都去有种选择，甲乙都不去有种选择．又每个工地要求至少有一名工程师，所以分配方案为2，1，1，根据分组分配部分均分问题有种方案，所以不同分配方法的种数为(＋＝540．
4． (1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，各项系数和与含x3项的系数分别是(　A　)
A．4 092，495 B．8 188，220
C．4 092，220 D．8 188，495
【解析】 令x＝1，则22＋23＋24＋…＋211＝＝4×(1 024－1)＝4 092，所以各项系数和为4 092．含x3项的系数为＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝495．
5． 已知a，b为正实数，且a＋2b＝2，当＋取最小值时，的展开式中各项系数的和为(　C　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由a＋2b＝2，得(a＋1)＋2b＝3．因为a，b为正实数，所以由基本不等式可得＝＝，当且仅当即时等号成立，故当＋取最小值时，＝．令x＝1，得＝＝－，所以当＋取最小值时，的展开式中各项系数的和为－．
6． (多选)对于 (1－2x)7的展开式，下列结论中正确的有(　ABD　)
A．第2项为－14x B．x2的系数为84
C．各项系数和为－2 D．二项式系数的和为128
【解析】 对于(1－2x)7，其展开式的通项公式为Tr＋1＝×17－r×(－2x)r＝(－2)rxr，那么第2项，即r＝1时，T2＝(－2)1x1＝－2×7x＝－14x，A正确；要求x2的系数，令r＝2，则T3＝(－2)2x2＝4×21x2＝84x2，所以x2的系数为84，B正确；令x＝1，则(1－2×1)7＝(－1)7＝－1，所以各项系数和为－1，C错误；根据二项式系数和的性质，二项式(1－2x)7的二项式系数和为27＝128，D正确．
7． (多选)已知函数f(x)＝(3x－10)10＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a10(x－2)10，则(　BC　)
A．a0＋a1＋a2＋…＋a10＝710 B．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝
C．a9＝－40×39 D．f(13)的个位数字是9
【解析】 由题，令x＝3，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(9－10)10＝1，故A错误；令x＝1，则a0－a1＋a2－…＋a10＝(3－10)10＝710，所以2(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＝710＋1，则a0＋a2＋a4＋…＋a10＝，故B正确；由f(x)＝［3(x－2)－4］10，展开式通项为Tr＋1＝［3(x－2)］10－r·(－4)r＝310－r·(－4)r(x－2)10－r，r＝0，1，…，10，当r＝1时，T2＝39·(－4)·(x－2)9，则a9＝－40×39，故C正确；由f(13)＝(39－10)10＝2910＝(20＋9)10，展开式通项为Mk＋1＝2010－k9k，k＝0，1，…，10，显然个位数字由910＝815决定，即个位数字是1，故D错误．
8． (x－3y＋2)5的展开式中，常数项为__32__，所有不含字母x的项的系数之和为__－1__．
【解析】 由多项式知常数项为25＝32．令x＝0，y＝1，即得所有不含字母x的项的系数之和，所以所求系数之和为(0－3×1＋2)5＝(－1)5＝－1．
9． 某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3名女生，2名男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有__72__种．(用数字作答)
【解析】 根据题意，先将三名女生全排列，有＝6种不同的排法，从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有＝12种不同的排法，由分步乘法计数原理得，共有6×12＝72种不同的排法．
10． 如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为__12__．(用数字作答)
【解析】 若AD同色，3种颜色全部用完，有＝6种涂色方法；若BC同色，3种颜色全部用完，有＝6种涂色方法．所以共有6＋6＝12种涂色方法．
11． 某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛．某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单．
(1) 共有多少种不同的出场阵容？
(2) 若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则共有多少种不同的出场阵容？
【解答】 (1) 出场阵容可以分两步确定：第一步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种；第二步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种，根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为＝60．
(2) 队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案：第一类方案是队员A不参加任何比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别去参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛．第二类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：第一步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种；第二步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种；第三步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种，根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有2×4×种．根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为＋2×4×＝36．
12． 在的展开式中．
(1) 求第3项的二项式系数及系数；
(2) 求奇数项的二项式系数和；
(3) 求系数绝对值最大的项．
【解答】 (1) 二项式的通项Tr＋1＝·(2)6－r·＝26－r·(－1)r·x3－r，r＝0，1，2，3，4，5，6．第3项的二项式系数为＝15，第3项的系数为·24·(－1)2＝240．
(2) 奇数项的二项式系数和为＋＋＋＝32．
(3) 设系数绝对值最大的项为第r＋1项，当1≤r≤5时，由解得≤r≤．又r∈N，所以r＝2，此时T3＝·24x＝240x；当r＝0时，T1＝·26·(－1)0x3＝64x3；当r＝6时，T7＝·20·(－1)6x－3＝．综上可知，系数绝对值最大的项为T3＝·24x＝240x．
13． 某外卖电商平台把A，B，C，D四个订单分派给小王、小李、小刘三位骑手，每位骑手至少接到1单，且每个订单都要有骑手接单．订单分派系统通过地址定位发现A订单派送位置距离小王太远，因此不会将A 订单分派给小王，则满足条件的订单分派方案种数为__24__．
【解析】 分两种情况：①把A订单单独分派给小李或小刘：先分派A订单，有种方法，再分派B，C，D订单，三个订单分两组有种方法，把这两组分派给其余两位骑手有种方法，所以有＝12种方法；②把A订单不单独分派给小李或小刘：先分派A订单，有种方法，再分派B，C，D订单，三个订单分派给三位骑手有种方法，所以有＝12种方法．故满足条件的订单分派方案种数为12＋12＝24．
14． 在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第__34__行会出现三个相邻的数，其比为2∶3∶4．
【解析】 由题意可知第n(n∈N)行第m(m∈｛0，…，n｝)个数为，根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项，，，有＝且＝．化简得＝，＝，联立解得k＝14，n＝34．故第34行会出现满足条件的三个相邻的数．

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