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7.1.1　条件概率
1． 连续掷一枚质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)
A．0.665 B．0.564
C．0.245 D．0.285
3．王华的妈妈煮了5个粽子，其中2个蜜枣馅，3个豆沙馅，王华随机拿了2个粽子，若王华拿到的2个粽子为同一种馅料，则这2个粽子都为蜜枣馅的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”，则P(B|A)等于(　　)
A． B．
C． D．
5． (多选)已知随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则下列说法中正确的有(　　)
A．P()＝ B．P(AB)＝
C．P(A＋B)＝ D．P(A|)＝
6．(多选)甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．设事件A1＝“从甲罐取出的球是红球”，事件A2＝“从甲罐取出的球是白球”，事件B＝“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论中正确的有(　　)
A．A1，A2为对立事件 B．P(B|A1)＝
C．P(B|A1)＝ D．P(B|A2)＝
7．(多选)已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法中正确的有(　　)
A．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52
B．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.6
C．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.52
D．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.6
8．从装有3个红球、2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为___．
9．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝____．
10．质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝____．
11．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1) 求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2) 设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(B|A)．
【解答】 (1) 某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，总的选法有＝20种，男生甲或女生乙都未被选中的选法有＝4种，
12．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图．
(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2) 估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20，70)的概率；
(3) 已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间［40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40，50)，求此人患该种疾病的概率．(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)
13．田忌很喜欢赛马，有一回他和齐威王约定要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上、中、下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．
(1) 求在第一局比赛中田忌胜利的概率；
(2) 若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
(3) 写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果)．
7.1.1　条件概率
1． 连续掷一枚质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，样本空间Ω＝｛(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)｝，共有36个样本点．记“两次骰子点数之积为偶数”为事件A，则事件A＝｛(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)｝，有27个样本点，故事件A的概率为P(A)＝＝．记“两次骰子点数均为偶数”为事件B，则事件AB＝｛(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)｝，有9个样本点，故事件AB的概率为P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝．
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　A　)
A．0.665 B．0.564
C．0.245 D．0.285
【解析】 记事件A＝“甲厂产品”，事件B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665．
3．王华的妈妈煮了5个粽子，其中2个蜜枣馅，3个豆沙馅，王华随机拿了2个粽子，若王华拿到的2个粽子为同一种馅料，则这2个粽子都为蜜枣馅的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意，设事件A＝“取出2个粽子为同一种馅”，事件B＝“取出的2个粽子都为蜜枣馅”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝．
4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”，则P(B|A)等于(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”，则P(A)＝1－－＝，P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝＝．
5． (多选)已知随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则下列说法中正确的有(　AC　)
A．P()＝ B．P(AB)＝
C．P(A＋B)＝ D．P(A|)＝
【解析】 由题得P()＝1－P(B)＝，且P(AB)＝P(A)P(B|A)＝＝，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，P(A|)＝＝＝＝．
6．(多选)甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．设事件A1＝“从甲罐取出的球是红球”，事件A2＝“从甲罐取出的球是白球”，事件B＝“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论中正确的有(　ABD　)
A．A1，A2为对立事件 B．P(B|A1)＝
C．P(B|A1)＝ D．P(B|A2)＝
【解析】 因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当A1发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确，C不正确；当A2发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D正确．
7．(多选)已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法中正确的有(　BC　)
A．甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52
B．乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.6
C．甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.52
D．乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.6
【解析】 设事件A为一年中甲地下雨，事件B为乙地下雨，则事件AB为两地同时下雨．由题意可得P(A)＝0.25，P(B)＝0.20，P(AB)＝0.12，P()＝0.75，P()＝0.80．如图，所以P(A)＝0.25－0.12＝0.13，P(B)＝0.20－0.12＝0.08，P(　)＝1－0.13－0.12－0.08＝0.67．对于A，P(B|A)＝＝＝0.48，故A错误；对于B，P(A|B)＝＝＝0.60，故B正确；对于C，P(|A)＝＝＝0.52，故C正确；对于D，P(|)＝＝＝0.837 5，故D错误．
8．从装有3个红球、2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为____．
【解析】 设事件A为 “第一次取到的是红球”，事件AB为 “第一、二次都取到红球”，则n(A)＝＝12，n(AB)＝＝6，故在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为P(B|A)＝＝＝．
9．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝____．
【解析】 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108.4个人去的景点不同的情况有＝24种，即n(AB)＝24，所以P(A|B)＝＝＝．
10．质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝____．
【解析】 在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数有＝190对组合．在不超过20的正整数中有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个素数，所以任取两个素数共有＝28对组合，所以P(A)＝＝＝．其中是“孪生素数”的有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4对，则这两个数不是孪生素数的共有28－4＝24对，所以P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝．
11．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1) 求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2) 设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(B|A)．
【解答】 (1) 某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，总的选法有＝20种，男生甲或女生乙都未被选中的选法有＝4种，则男生甲或女生乙被选中的选法有20－4＝16种，所以男生甲或女生乙被选中的概率为P＝＝．
(2) 总的选法有＝20种，男生甲被选中的选法有＝10种，所以P(A)＝．男生甲被选中、女生乙也被选中选法有＝4种，所以P(AB)＝．所以在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)＝＝．
12．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图．
(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2) 估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20，70)的概率；
(3) 已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间［40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40，50)，求此人患该种疾病的概率．(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)
【解答】 (1) 平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2) 设事件A＝“一人患这种疾病的年龄在区间［20，70)”，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89．
(3) 设事件B＝“任选一人年龄位于区间［40，50)”，事件C＝“任选一人患这种疾病”，则由条件概率公式可得P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4．
13．田忌很喜欢赛马，有一回他和齐威王约定要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上、中、下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．
(1) 求在第一局比赛中田忌胜利的概率；
(2) 若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
(3) 写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果)．
【解答】 将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为T1、T2、T3，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为W1、W2、W3，并且用马的记号表示该马上场比赛．
(1) 设事件Ω＝“第一局双方参赛的马匹”，事件A＝“在第一局比赛中田忌胜利”，由题意得Ω＝｛(T1W1)，(T1W2)，(T1W3)，(T2W1)，(T2W2)，(T2W3)，(T3W1)，(T3W2)，(T3W3)｝，A＝，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P(A)＝＝．
(2) 设事件B＝“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件C＝“田忌获得本场比赛胜利”，由题意得B＝｛(T3W1，T1W2，T2W3)，(T3W1，T1W3，T2W2)，(T3W1，T2W2，T1W3)，(T3W1，T2W3，T1W2)｝，BC＝｛(T3W1，T1W2，T2W3)，(T3W1，T2W3，T1W2)｝，则本场比赛田忌胜利的概率是P(C|B)＝＝．
(3) ．

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