资源简介

7.1.2　全概率公式
1．某校对甲、乙两个班的学生进行数学成绩随机抽查，若甲、乙两班的人数之比为5∶4，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为( 　)
A． B．
C． D．
2．苏超某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为(　　)
A．0.3 B．0.32
C．0.68 D．0.7
3．已知甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球，这6个球手感上无区别．现从甲袋中任取1球放于乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，则此球为红球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选出来．某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有相同的机会被他选中．若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则(　　)
A．P(AB)＝ B．P(|A)＝
C．P(B)＝ D．P(B)＝
6．(多选)有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%．记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则(　　)
A．P(B|A1)＝0.06 B．P(A2B)＝0.015
C．P(B)＝0.052 5 D．P(A1|B)＝
7．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S；疾病D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状S；疾病D3的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S，则(　　)
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
8．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为____．
9．学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是；如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是．若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是____．
10． 某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有A卷，B卷，C卷3套，若该同学抽到A卷过关的概率为，抽到B卷过关的概率为，抽到C卷过关的概率为，记该同学过关的概率为p1．若已知该同学过关，则他抽到是A卷的概率为p2，则p1＝____，p2＝____．
11．青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的青团．已知甲箱中有4个蛋黄馅的青团和3个肉松馅的青团，乙箱中有3个蛋黄馅的青团和2个肉松馅的青团．
(1) 若从甲箱中任取2个青团，求这2个青团馅不同的概率；
(2) 若先从甲箱中任取2个青团放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个青团，求取出的这个青团是肉松馅的概率．
12．(1) 若在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，求任取2件产品皆为正品的概率；
(2) 若12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取的1件为次品的概率．
13．一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(　　)
A． B．
C． D．
14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是____；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是____．
7.1.2　全概率公式
1．某校对甲、乙两个班的学生进行数学成绩随机抽查，若甲、乙两班的人数之比为5∶4，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 设事件A＝“抽到一名学生是甲班的”，事件B＝“抽到女生”，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，故由全概率公式可知，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝＋＝．
2．苏超某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为(　B　)
A．0.3 B．0.32
C．0.68 D．0.7
【解析】 设事件A1＝“乙球员担当前锋”，事件A2＝“乙球员担当中锋”，事件A3＝“乙球员担当后卫”，事件A4＝“乙球员担当守门员”，事件B＝“当乙球员参加比赛时，球队输球”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32．
3．已知甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球，这6个球手感上无区别．现从甲袋中任取1球放于乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，则此球为红球的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 设事件A1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”，B＝“从乙袋中任取一球是红球”，则P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝＋＝．
4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选出来．某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有相同的机会被他选中．若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 设事件A＝“考生答对”，事件B＝“考生知道正确答案”，由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋＝．又由贝叶斯公式得P(B|A)＝＝＝．
5．(多选)已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则(　AC　)
A．P(AB)＝ B．P(|A)＝
C．P(B)＝ D．P(B)＝
【解析】 对于A，P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝＝，故A正确；对于B，P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝，故B错误；对于C，D，由P()＝1－P(A)＝，P(B|)＝1－P(|)＝，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝＋＝，故C正确，D错误．
6．(多选)有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%．记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则(　ABC　)
A．P(B|A1)＝0.06 B．P(A2B)＝0.015
C．P(B)＝0.052 5 D．P(A1|B)＝
【解析】 由题意可得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05，故A正确．由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，故C正确．P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝0.3×0.05＝0.015，故B正确．P(A1|B)＝＝＝，故D错误．
7．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S；疾病D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状S；疾病D3的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S，则(　ABC　)
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【解析】 P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02，故A正确；由贝叶斯公式得P(D1|S)＝＝＝0.4，故B正确；P(D2|S)＝＝＝0.45，故C正确；P(D3|S)＝＝＝0.15，故D错误．
8．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为__0.625__．
【解析】 设事件A＝“考生答对了”，B＝“考生知道正确答案”，则＝“考生不知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝100%，P(A|)＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625．
9．学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是；如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是．若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是____．
【解析】 设事件A1＝“早餐去A餐厅用餐”，事件B1＝“早餐去B餐厅用餐”，事件A2＝“午餐去A餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1．根据题意得P(A1)＝，P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝＋＝，故午餐在B餐厅用餐的概率是1－＝．
10． 某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有A卷，B卷，C卷3套，若该同学抽到A卷过关的概率为，抽到B卷过关的概率为，抽到C卷过关的概率为，记该同学过关的概率为p1．若已知该同学过关，则他抽到是A卷的概率为p2，则p1＝____，p2＝____．
【解析】 设抽到A试卷的概率记作P(A)，抽到B试卷的概率记作P(B)，抽到C试卷的概率记作P(C)，根据题意，有P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(过关)＝，P(过关)＝，P(过关|C)＝．由全概率公式得p1＝P(过关)·P(A)＋P(过关)·P(B)＋P(过关)·P(C)＝＋＋＝，所以p2＝P(A)＝＝＝．
11．青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的青团．已知甲箱中有4个蛋黄馅的青团和3个肉松馅的青团，乙箱中有3个蛋黄馅的青团和2个肉松馅的青团．
(1) 若从甲箱中任取2个青团，求这2个青团馅不同的概率；
(2) 若先从甲箱中任取2个青团放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个青团，求取出的这个青团是肉松馅的概率．
【解答】 (1) 从甲箱中任取2个青团的事件数为＝21，这2个青团馅不同的事件数为＝12，所以这2个青团馅不同的概率为P＝＝．
(2) 设事件A＝“从乙箱中任取1个青团，取出的这个青团是肉松馅”，事件B1＝“从甲箱中取出的2个青团都是蛋黄馅”，事件B2＝“从甲箱中取出的2个青团都是肉松馅”，事件B3＝“从甲箱中取出的2个青团为1个蛋黄馅1个肉松馅”，则B1，B2，B3彼此互斥．
又P(B1)＝＝＝，P(B2)＝＝＝，
P(B3)＝＝＝，P(A|B1)＝＝，
P(A|B2)＝＝，P(A|B3)＝＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝＋＋＝，所以所求概率为．
12．(1) 若在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，求任取2件产品皆为正品的概率；
(2) 若12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取的1件为次品的概率．
【解答】 令事件A＝“先取的1件是次品”，则P(A)＝，P()＝；令事件B＝“后取的2件皆为正品”，则P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝．(1) 由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝＋＝．
(2) 由贝叶斯公式得P(A|B)＝＝＝＝．
13．一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 记事件A1＝“放入水果分选机的苹果为大果”，事件A2＝“放入水果分选机的苹果为小果”，记事件B＝“水果分选机筛选的苹果为大果”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝．由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝＋＝，P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝＝，因此P(A1|B)＝＝＝．
14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是__0.525__；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是____．
【解析】 设事件A＝ “发送的信号为0”， B＝“接收到的信号为0”，则＝ “发送的信号为1”，＝“接收到的信号为1”．由题意可知P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.05，P(|)＝0.95，可得P()＝P(|A)P(A)＋P(|)P()＝0.1×0.5＋0.95×0.5＝0.525；P(|)＝＝＝．

展开更多......

收起↑