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7.2　离散型随机变量及其分布列
1．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球、5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　　)
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤4
2．设随机变量X等可能取值为1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么(　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
3．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a的值为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知随机变量X的分布列如下表(其中A为常数)，则P(1≤X≤3)等于(　　)
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 A 0.3 0.2 0.1
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
5．(多选)如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中为真命题的是(　　)
A．X取每一个可能值的概率都是正数
B．X取所有可能值的概率和为1
C．X取某两个可能值的概率等于分别取这两个可能值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)，则下列计算结果正确的有(　　)
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
7．(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　)
A．15a＝1 B．P(0.5＜ξ＜0.8)＝0.2
C．P(0.1＜ξ＜0.5)＝0.2 D．P(ξ＝1)＝0.3
8．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和，则X的可能取值为____．
9．一袋中装有4个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为____．
10．已知随机变量Y的分布列如下表：
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.20
则x＝____；P(Y＞3)＝____；P(1＜Y≤4)＝____．
11．老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的7篇．
(1) 求抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
12．某师范大学地理学院决定从n名优秀毕业生(包括x名女学生和3名男学生)中选派2名学生到某贫困山区的一所中学担任实习教师，每一名学生被选派的机会是相同的．
(1) 若选派的2名学生中恰有1名女学生的概率为，试求出n与x的值；
(2) 在(1)的条件下，记X为选派的2名学生中女学生的人数，求X的分布列．
13．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|．写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果．
14．(多选)已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．共有24对相交棱 B．P(ξ＝0)＝
C．P(ξ＝)＝D．P(ξ＝1)＝
7.2　离散型随机变量及其分布列
1．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球、5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　B　)
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤4
【解析】 根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X＝5．
2．设随机变量X等可能取值为1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么(　C　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
3．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a的值为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为X的分布列服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，所以P(X＝0)＝3－4［1－P(X＝0)］，所以P(X＝0)＝，所以a＝．
4．已知随机变量X的分布列如下表(其中A为常数)，则P(1≤X≤3)等于(　C　)
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 A 0.3 0.2 0.1
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
【解析】 因为0.1＋0.1＋A＋0.3＋0.2＋0.1＝1，所以A＝0.2，所以P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6．
5．(多选)如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中为真命题的是(　BC　)
A．X取每一个可能值的概率都是正数
B．X取所有可能值的概率和为1
C．X取某两个可能值的概率等于分别取这两个可能值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【解析】 对于A，X取每一个可能值的概率都是非负数，所以A是假命题．对于B，X取所有可能值的概率和为1，所以B是真命题．对于C，X取某两个可能值的概率等于分别取这两个可能值的概率之和，所以C是真命题．对于D，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D是假命题．
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)，则下列计算结果正确的有(　ABD　)
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
【解析】 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，所以a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．
7．(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　ABC　)
A．15a＝1 B．P(0.5＜ξ＜0.8)＝0.2
C．P(0.1＜ξ＜0.5)＝0.2 D．P(ξ＝1)＝0.3
【解析】 因为随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，所以P＋P＋P＋P＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1， 解得a＝，故A正确；P(0.5＜ξ＜0.8)＝P＝3×＝0.2，故B正确；P(0.1＜ξ＜0.5)＝P＋P＝＋2×＝0.2，故C正确；P(ξ＝1)＝5×＝≠0.3，故D错误．
8．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和，则X的可能取值为__6，11，15，21，25，30__．
9．一袋中装有4个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为__
X 2 3 4
P
__．
【解析】 由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，因此X的分布列为
X 2 3 4
P
10．已知随机变量Y的分布列如下表：
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.20
则x＝__0.1__；P(Y＞3)＝__0.45__；P(1＜Y≤4)＝__0.55__．
【解析】 由概率和为1，则0.1＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.20＝1，解得x＝0.1．则P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝0.1＋0.15＋0.20＝0.45，P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55．
11．老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的7篇．
(1) 求抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
(2) 求这名同学能及格的概率．
【解答】 (1) 由题知，X可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2) 该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇，由(1)知，该同学能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝．
12．某师范大学地理学院决定从n名优秀毕业生(包括x名女学生和3名男学生)中选派2名学生到某贫困山区的一所中学担任实习教师，每一名学生被选派的机会是相同的．
(1) 若选派的2名学生中恰有1名女学生的概率为，试求出n与x的值；
(2) 在(1)的条件下，记X为选派的2名学生中女学生的人数，求X的分布列．
【解答】 (1) 从n名优秀毕业学生中选派2名学生担任实习教师的总结果数为＝，2名学生中恰有1名女生的结果数为＝(n－3)×3，依题意可得＝＝，化简得n2－11n＋30＝0，解得n＝5或6．当n＝5时，x＝5－3＝2；当n＝6时，x＝6－3＝3，故所求的值为n＝5，x＝2或n＝6，x＝3．
(2) ①当n＝5，x＝2时，X可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．故X的分布列为
X 0 1 2
P
②当n＝6，x＝3时，X可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，
P(X＝2)＝．故X的分布列为
X 0 1 2
P
13．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|．写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果．
【解答】 因为x，y的可能取值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|y－x|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到的卡片号码为x，第二次抽到的卡片号码为y，则随机变量ξ＝0表示两次抽到的卡片编号都是2，即(2，2)；ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)；ξ＝2表示(1，2)，(3，2)；ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．
14．(多选)已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则下列结论正确的是(　AC　)
A．共有24对相交棱 B．P(ξ＝0)＝
C．P(ξ＝)＝D．P(ξ＝1)＝
【解析】 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有＝24对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，故C正确，D错误．

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