资源简介

7.3.1　离散型随机变量的均值
1．设随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则E(X)的值为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P a
则E(2X＋a)等于(　　)
A． B．
C． D．
3．在同样的生产条件下，甲、乙两工人日产量相等，每天出废品的情况如下表：
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
则下列结论正确的有(　　)
A．甲生产的产品质量比乙的好一些
B．乙生产的产品质量比甲的好一些
C．两人生产的产品质量一样好
D．无法判断谁生产的质量好一些
4．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验；若实验失败，再重新实验一次；若实验3次均失败，则放弃实验．若此人每次实验成功的概率为，则实验次数ξ的期望是(　　)
A． B．
C． D．
5． (多选)已知随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P p1 p2
其中，p1，成等比数列，则下列结论中正确的有(　　)
A．p1，，p2成等差数列 B．p1＝±
C．P(2＜X＜5)＝ D．E(X)＝
6．(多选)盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是(　　)
A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件
C．设随机变量ξ表示取到白球的个数，则E(ξ)＝
D．设随机变量η表示取到黑球的个数，则E(η)＝
7．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值可以为(　　)
A． B． C． D．
8．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则m＝____；随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝____．
ξ 0 1 2
P m
9．已知X的分布列如下表所示，且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝____．
X －1 0 1
P
10．某商家在购物节期间开展促销活动：凡购物满5 888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一种，现恰有3名顾客的购物金额满5 888元．设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则P(X＝0)＝___，E(X)＝____．
11．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1) 求甲学校获得冠军的概率；
(2) 用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
12． 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分．已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为．每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响．
(1) 若他们参加一轮比赛，求得分X的概率分布列和数学期望；
(2) 若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率．
13．(多选)已知随机变量X的概率分布如下表：
X －1 0 1
P a b
记事件A＝“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”，则 (　　)
A．P(A)＝ B．E(X)＝
C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝
14． 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p；
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望；
(3) 假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)．
7.3.1　离散型随机变量的均值
1．设随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则E(X)的值为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题得a＝1－－＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P a
则E(2X＋a)等于(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由分布列的性质可得＋＋a＝1，得a＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，因此E(2X＋a)＝E＝2E(X)＋＝2×＋＝．
3．在同样的生产条件下，甲、乙两工人日产量相等，每天出废品的情况如下表：
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
则下列结论正确的有(　B　)
A．甲生产的产品质量比乙的好一些
B．乙生产的产品质量比甲的好一些
C．两人生产的产品质量一样好
D．无法判断谁生产的质量好一些
【解析】 甲生产废品期望是1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生产废品期望是1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以甲生产废品期望大于乙生产废品期望．
4．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验；若实验失败，再重新实验一次；若实验3次均失败，则放弃实验．若此人每次实验成功的概率为，则实验次数ξ的期望是(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可得ξ＝1，2，3，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则实验次数ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×．
5． (多选)已知随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P p1 p2
其中，p1，成等比数列，则下列结论中正确的有(　AD　)
A．p1，，p2成等差数列 B．p1＝±
C．P(2＜X＜5)＝ D．E(X)＝
【解析】 对于A，由＋p1＋＋p2＋＝1，得p1＋p2＝＝2×，则p1，，p2成等差数列，A正确；对于B，由，p1，成等比数列，得＝，而p1≥0，解得p1＝，B错误；对于C，p2＝，P(2＜X＜5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋p2＝，C错误；对于D，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，D正确．
6．(多选)盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是(　CD　)
A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件
C．设随机变量ξ表示取到白球的个数，则E(ξ)＝
D．设随机变量η表示取到黑球的个数，则E(η)＝
【解析】 “取到2个白球”和“取到2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；“第一次取到白球”发生会影响“第二次取到黑球”的概率，不是相互独立事件，故B错误；由题设，ξ的可能取值为0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＋＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＝，故C正确；η的可能取值为0，1，2，且P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＋＝，P(η＝2)＝＝，所以E(η)＝1×＋2×＝，故D正确．
7．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值可以为(　AB　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜．又0＜p≤1，所以0＜p＜，即p∈．
8．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则m＝____；随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝____．
ξ 0 1 2
P m
【解析】 由＋＋m＝1，解得m＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
9．已知X的分布列如下表所示，且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝__4__．
X －1 0 1
P
【解析】 因为E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，且Y＝aX＋3，所以E(Y)＝aE(X)＋3＝，即－a＋3＝，解得a＝4．
10．某商家在购物节期间开展促销活动：凡购物满5 888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一种，现恰有3名顾客的购物金额满5 888元．设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则P(X＝0)＝____，E(X)＝____．
【解析】 P(X＝0)＝＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＝1－－＝，则E(X)＝0×＋2×＋3×＝．
11．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1) 求甲学校获得冠军的概率；
(2) 用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解答】 (1) 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.6．
(2) 依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．
故X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
12． 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分．已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为．每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响．
(1) 若他们参加一轮比赛，求得分X的概率分布列和数学期望；
(2) 若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率．
【解答】 (1) X的可能取值为0，1，3，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＋＝＋＝，P(X＝3)＝＝．所以得分X的分布列为
X 0 1 3
P
数学期望E(X)＝0×．
(2) 至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0，1，2．总分得0分的概率为P1＝．
13．(多选)已知随机变量X的概率分布如下表：
X －1 0 1
P a b
记事件A＝“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”，则 (　ACD　)
A．P(A)＝ B．E(X)＝
C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝
【解答】 因为函数f(x)＝3sin π(x∈R)是偶函数，所以π＝＋kπ，k∈Z，则X＝2k＋1，k∈Z．又因为X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P(A)＝a＋b＝1－＝，E(X)＝(－1)×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0，1，P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝，所以E(X2)＝0×＋1×＝．
14． 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p；
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望；
(3) 假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)．
【解答】 (1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p＝＝．
(2) 设事件A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)＝0.8，P()＝0.2．设事件B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)＝0.75，P()＝0.25．设事件C为“恰有1人做对”，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.35．依题可知，X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝P()＝0.05，P(X＝1)＝0.35，P(X＝2)＝0.8×0.75＝0.6，故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.05 0.35 0.6
故E(X)＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6＝1.55．
(3) 设事件D为 “甲校高一年级学生掌握这个知识点”，则P(D)＋，故p1＜p2．

展开更多......

收起↑