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7.3.2　离散型随机变量的方差
1．若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为8，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，…，xn＋5的方差为(　　)
A．1 B．2
C．13 D．32
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，若Y＝3X－1，则D(Y)等于(　　)
X 0 1 3
P a
A．1 B．2
C．3 D．9
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＞x2，若E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)
A． B．
C．3 D．
4．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则标准差为(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(4X＋1)＝4
C．D(X)＝ D．D(4X＋1)＝4
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则下列说法正确的是(　　)
X 1 2 3
P m n
A．m＝，n＝ B．m＝，n＝
C．D(X)＝ D．D(X)＝
7．(多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0＜x＜，则(　　)
A．E(ξ)有最大值 B．E(ξ)无最小值
C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)无最小值
8．已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)，则随机变量X的方差为____．
9．已知盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，现从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝____．
10．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2) 已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、均值(数学期望)和方差．
11．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1) 求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2) 若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
12．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量n(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n/枝 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
7.3.2　离散型随机变量的方差
1．若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为8，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，…，xn＋5的方差为(　B　)
A．1 B．2
C．13 D．32
【解析】 因为数据x1，x2，x3，…，xn的方差为s2＝8，所以数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，…，xn＋5的方差为s2＝2．
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，若Y＝3X－1，则D(Y)等于(　D　)
X 0 1 3
P a
A．1 B．2
C．3 D．9
【解析】 由题意知，a＝1－－＝，则E(X)＝0×＋1×＋3×＝1，则D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．又Y＝3X－1，所以D(Y)＝32D(X)＝9．
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＞x2，若E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　B　)
A． B．
C．3 D．
【解析】 由题得x1＋x2＝，＋－＝，解得(舍去)或故x1＋x2＝．
4．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则标准差为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 设P(X＝1)＝p，则P(X＝2)＝－p，由E(X)＝p＋2＝1，解得p＝，则D(X)＝pi，得D(X)＝，则标准差＝．
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则下列结论正确的是(　ABC　)
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(4X＋1)＝4
C．D(X)＝ D．D(4X＋1)＝4
【解析】 因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，所以P(X＝1)＝E(X)，故A正确；E(4X＋1)＝4E(X)＋1＝4×＋1＝4，故B正确；D(X)＝＋＝，故C正确；D(4X＋1)＝42D(X)＝16×＝3，故D错误．
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则下列说法正确的是(　BC　)
X 1 2 3
P m n
A．m＝，n＝ B．m＝，n＝
C．D(X)＝ D．D(X)＝
【解析】 依题意，E(X)＝m＋2n＋3×＝m＋2n＋1＝2，所以m＋2n＝1，结合m＋n＋＝1，解得m＝n＝，所以A错误，B正确．D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，所以C正确，D错误．
7．(多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0＜x＜，则(　BD　)
A．E(ξ)有最大值 B．E(ξ)无最小值
C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)无最小值
【解析】 由题意可得E(ξ)＝0×＋1×x＋2×＝－x，因为f(x)＝－x在上单调递减，所以当0＜x＜时，E(ξ)无最值，故A错误，B正确．D(ξ)＝＋·x＋＝－x2－x＋，因为f(x)＝－x2－x＋＝－＋在上单调递减，所以当0＜x＜时，D(ξ)无最值，故C错误，D正确．
8．已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)，则随机变量X的方差为____．
【解析】 设P(X＝0)＝p1，则P(X＝1)＝1－p1，代入P(X＝0)＝3－4P(X＝1)，得p1＝3－4(1－p1)，解得p1＝，P(X＝1)＝1－p1＝．因为离散型随机变量X服从两点分布，所以D(X)＝＝．
9．已知盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，现从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝____．
【解析】 由题意可知，随机变量ξ的可能取值有2，3，4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，所以D(ξ)＝＋＋＝．
10．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2) 已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、均值(数学期望)和方差．
【解答】 (1) 记事件A＝“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”，则P(A)＝＝．
(2) X的可能取值为200，300，400，且P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝，故X的分布列为
X 200 300 400
P
E(X)＝200×＝350，
D(X)＝(200－350)2×＝4 500．
11．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1) 求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2) 若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【解答】 (1) 由题意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1，解得t＝0.1，所以X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
所以E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25，D(X)＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6．
(2) 设此人一天中出车一次的收入为Y元，则Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X＞3，X∈N)，所以E(Y)＝E(3X－4)＋5＝3E(X)－4＝3×25－4＝71，D(Y)＝D(3X－4)＝32·D(X)＝95.4．故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
12．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量n(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n/枝 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【解答】 (1) 当日需求量n≥16时，利润y＝80．
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80．
所以y关于n的函数解析式为
y＝
(2) ①X所有可能取值为60，70，80，且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7．故X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44．
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04．由以上的计算结果可以看出，D(X)＜D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)＜E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4．
由以上的计算结果可以看出，E(X)＜E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．

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