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7.4　二项分布与超几何分布
第1课时　二项分布
学习 目标 1．理解n重伯努利试验的模型及其意义，理解二项分布． 2．能利用伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题，在此过程中发展数学建模思想．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1．n重伯努利试验的共同特征：(1) 同一个伯努利试验__重复__做n次；(2) 各次试验的结果__相互独立__．
2． 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝__pk(1－p)n－k__，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__X~B(n，p)__．
3． 若X~B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__．
二、 概念辨析(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．)
1． 在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(　√　)
2． n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(　√　)
3． 依次投掷4枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　n重伯努利试验
　(课本P74例1补充)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
(1) 求甲恰好击中目标2次的概率；
(2) 求乙至少击中目标2次的概率；
(3) 求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
【解答】 设A＝“甲击中目标”，则P(A)＝；设B＝“乙击中目标”，则P(B)＝．用X表示事件A发生的次数，Y表示事件B发生的次数，则X~B，Y~B．
(1) 甲恰好击中目标2次等价于X＝2，则P(X＝2)＝＝．
(2) 乙至少击中2次等价于Y＝2或Y＝3，于是P(Y＝2或Y＝3)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝．
(3) 设乙恰好比甲多击中目标2次为事件C，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件C1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件C2，则C＝C1＋C2，C1，C2为互斥事件．P(C)＝P(C1)＋P(C2)＝＋＝＋＝．所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为．
判断某试验是伯努利试验的依据：①在相同的条件下可以重复进行试验；②每次试验相互独立，互不影响．
探究2　二项分布的概率分布列
　(课本P74例2补充)一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是．
(1) 求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2) 求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
【解答】 (1) 由题意ξ~B，则P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，5．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
(2) η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝，k＝0，1，2，3，4，P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝．故η的分布列为
η 0 1 2 3 4 5
P
(1) 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
(2) 应用二项分布求概率的一般思路：①根据题意设出随机变量；②分析出随机变量服从二项分布；③明确参数n，p，写出二项分布的分布列；④将k值代入求概率．
探究3　二项分布的应用
　(课本P75例3补充)某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力．
(1) 求这10台机床能够正常工作的概率；
(2) 在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少？
【解答】 每台机床正常工作的概率为＝，而且每台机床分“工作”和“不工作”两种情况，所以工作机床台数ξ~B，P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3，…，10)．
(1) 因为50 kW电力可以同时供给5台机床开动，所以10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作．这一事件的概率为P(ξ≤5)，且P(ξ≤5)＝＋＋＋＋＋≈0.994．
(2) 在电力供应为50 kW的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约有8×60×0.006＝2.88(min)．
二项分布的应用方法：(1) 根据题意设出随机变量；(2) 分析出随机变量服从二项分布；(3) 明确参数n，p，写出二项分布的分布列；(4) 将k值代入求概率．
　实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算谁胜出并停止比赛)．
(1) 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2) 求按比赛规则甲获胜的概率．
【解答】 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1) 记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局才能取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜，所以P(A)＝＝．②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以P(B)＝＝．③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，所以P(C)＝＝．
(2) 记事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，又A，B，C彼此互斥，故P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，即按比赛规则甲获胜的概率为．
探究4　二项分布的期望与方差
　(1) 已知随机变量X~B(4，p)，且E(X)＝3，则D(3X－1)等于(　C　)
A．3 B．6
C． D．
【解析】 因为随机变量X~B(4，p)，且E(X)＝3，所以E(X)＝4p＝3，解得p＝，所以D(X)＝4×＝，所以D(3X－1)＝9D(X)＝9×＝．
(2) 已知随机变量X~B(n，p)，若E(X)＝1，D(X)＝，则P(X＝3)＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 由E(X)＝1，D(X)＝，得np＝1，np(1－p)＝，解得n＝5，p＝，所以P(X＝3)＝＝．
若ξ服从二项分布，即ξ~B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．
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1．设随机变量ξ~B，则P(ξ≤3)等于(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＋＝．
2． (多选)已知随机变量X~B，则以下结论正确的是(　AC　)
A．P(X＝2)＝ B．P(X＝3)＝P(X＝6)
C．E(2X＋1)＝7 D．D(2X＋1)＝2
【解析】 由随机变量X~B， 所以P(X＝2)＝＝，故A正确；P(X＝3)＝＝，P(X＝6)＝＝＝，故B错误；E(X)＝9×＝3，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝7，故C正确；D(X)＝9×＝2，则D(2X＋1)＝4D(X)＝8，故D错误．
3． 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为p(0＜p＜1)，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为E(Y)，方差为D(Y)，当E(Y)＋D(Y)最大时，p等于(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 依题意，合格项目的个数X~B(6，p)，则E(X)＝6p，D(X)＝6p(1－p)，由每个项目合格得3分，不合格扣2分，得甲的总得分Y＝3X－2(6－X)＝5X－12，因此E(Y)＝5E(X)－12＝30p－12，D(Y)＝25D(X)＝150p(1－p)，则E(Y)＋D(Y)＝－150p2＋180p－12＝－150＋42．又0＜p＜1，所以当p＝时，E(Y)＋D(Y)取得最大值42．
4．在某射击游戏场中，在一次射击游戏中，要求射击两次，若至少命中一次则获奖，否则不获奖．已知游客甲射击的命中率为．
(1) 求甲在一次射击游戏中获奖的概率；
(2) 若甲玩三次射击游戏，设X为获奖次数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．
【解答】 (1) 设事件A＝“甲在一次射击游戏中获奖”，则P(A)＝1－＝．
(2) 由(1)可知甲在一次射击游戏中获奖的概率为，则随机变量X~B，且P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝np＝3×．
配套新练案
1．已知随机变量X服从二项分布，即X~B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝1.6，则二项分布的参数n，p的值为(　D　)
A．n＝4，p＝ B．n＝6，p＝
C．n＝8，p＝ D．n＝10，p＝
【解析】 由题意知np＝2，np(1－p)＝1.6，解得p＝，n＝10．
2． 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 设答对的题目数量为X，则X~B，P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝．
3．设随机变量X~B(2，p)，若P(X≥1)＝，则E(X)等于(　A　)
A． B．
C． D．1
【解析】 因为随机变量X~B(2，p)，P(X≥1)＝，所以P(X＝0)＝p0(1－p)2＝1－＝，解得p＝，所以E(X)＝2×＝．
4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X，若E(X)＝3，则m等于(　C　)
A．2 B．1
C．3 D．5
【解析】 由题得P(X＝k)＝，即X~B，所以E(X)＝6×＝3，解得m＝3．
5．(多选)某射手射击1次击中目标的概率是0.9，连续射击4次，且各次是否击中目标相互之间没有影响，则下列选项中正确的是(　AC　)
A．第3次击中目标的概率是0.9
B．恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1
C．至少击中目标1次的概率是1－0.14
D．恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1
【解析】 因为射击一次击中目标的概率是0.9，所以第3次击中目标的概率是0.9，所以A正确；因为连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1，所以B不正确；因为至少击中目标1次的概率是1－0.14，所以C正确；因为恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.92×0.12，所以D不正确．
6．(多选)已知随机变量X＋ξ＝7，若X~B(10，0.6)，则(　AC　)
A．E(ξ)＝1 B．E(ξ)＝2
C．D(ξ)＝2.4 D．D(ξ)＝5.6
【解析】 因为X~B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4．因为X＋ξ＝7，所以ξ＝7－X，由均值和方差的性质可得E(ξ)＝E(7－X)＝7－E(X)＝1，D(ξ)＝D(7－X)＝D(X)＝2.4．
7．(多选)为了防止受到污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．该产品能销售的概率为
B．若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ~B
C．若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则P(ξ＝3)＝
D．P(X＝－80)＝
【解析】 对于A，该产品能销售的概率为＝，故A正确；对于B，由A可得每件产品能销售的概率为，一箱中有4件产品，则ξ~B，故B正确；对于C， 由题意P(ξ＝3)＝＝，故C错误；对于D，由题意X＝－80，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售，所以P(X＝－80)＝＝，故D正确．
8．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰有3人获奖的概率为____．
【解析】 获奖的概率为p＝＝，记获奖的人数为ξ，则ξ~B，所以4人中恰有3人获奖的概率为P＝＝．
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____．
【解析】 设篮球队员罚球的命中率为p，事件A＝“篮球队员罚球命中”，则P(A)＝p，用ξ表示事件A发生的次数，则ξ~B(2，p)，则由条件得P(ξ＝2)＝1－＝，所以·p2＝，所以p＝．
10．某校高一、高二年级各有3名同学参加志愿者选拔，若每名同学的入选概率都是，则入选人数的期望值是__3__；若高二年级同学的入选概率是，高一年级同学保持不变，高一、高二年级的入选人数相等时的概率为____．
【解析】 由题意知入选人数X服从二项分布X~B，所以入选人数的期望值是E(X)＝6×＝3．因为高二年级同学的入选概率是，高一年级同学的入选概率是，所以高一、高二年级的入选人数相等时的概率为p＝＋＋＋＝．
11．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1) 求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
(2) 用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．
【解答】 (1) 设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个，且另1天的日销售量低于50个”，则P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108．
(2) 依题意知X~B(3，0.6)，P(X＝k)＝0.6k(1－0.6)3－k，X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝×0.63＝0.216，则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
E(X)＝3×0.6＝1.8，D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72．
12． 在临床上，EB病毒的感染十分常见．假设某人感染EB病毒的概率为，若感染EB病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染EB病毒，检测结果呈阴性的概率为．检测结果相互独立．
(1) 求某人EB病毒检测结果呈阴性的概率；
(2) 现有4人参加此项EB病毒检测，用X，Y分别表示这4个人中EB病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记Z＝，求随机变量Z的分布列及均值．
【解答】 (1) 设“某人感染EB病毒”为事件A，“某人EB病毒检测结果呈阴性”为事件B，则依题意有P(B|A)＝1－＝，P(B|)＝，则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝＋＝．
(2) 因为X＝0，1，2，3，4，又X＋Y＝4，所以Z＝＝＝0，2，4．设“这4个人中有k人EB病毒检测结果呈阴性”为事件Ak(k＝0，1，2，3，4)，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(Z＝0)＝P(A2)＝＝＝，P(Z＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝，P(Z＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝．故Z的分布列为
Z 0 2 4
P
所以E(Z)＝0×．
13． (多选)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．设质点位于点n的概率为P(n)，则下列结论中正确的有(　ABD　)
A．P(6)＝
B．E(n)＝0
C．若出发点改变，其余不变，则E(n)不变
D．若出发点改变，其余不变，则D(n)不变
【解析】 设质点向右移动的次数为X，又质点每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动相互独立，则X~B，则P(6)＝P(X＝6)＝＝，故A正确；因为n＝X－(6－X)＝2X－6，E(X)＝6×＝3，则E(n)＝E(2X－6)＝2E(X)－6＝2×3－6＝0，故B正确；假设出发点为m，则n＝m＋X－(6－X)＝2X＋m－6，则E(n)＝E(2X＋m－6)＝2E(X)＋m－6＝2×3＋m－6＝m，故C错误；因为D(X)＝6×＝，则D(n)＝D(2X＋m－6)＝4D(X)＝4×＝6，故D正确．
14．小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择向前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量Xn，则P(X6＝0)＝____，D(Xn)＝__n__．
【解析】 设X表示向前移动的次数，则X~B．若运动6步回到原点，则向前、后各移动3次，所以回到原点的概率P(X6＝0)＝＝．因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量Xn，X表示向前移动的次数，则n－X表示向后移动的次数，则Xn＝X－(n－X)＝2X－n，X~B，则D(X)＝np(1－p)＝n×＝，所以D(Xn)＝D(2X－n)＝22×D(X)＝4×＝n．

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