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7.4.2　超几何分布
1．某工作小组准备去某地区调研企业情况，该地区7家企业中有3家高科技企业，现从中任意选3家企业调研．下列事件中概率等于的是(　　)
A．至少有1家高科技企业
B．有1家或2家高科技企业
C．有2家或3家高科技企业
D．恰有2家高科技企业
2．某校要从10名候选人中选出2名同学加入学生会，其中高二年级有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二年级的候选人的人数，则E(X)等于(　　)
A． B．
C． D．
3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X＜2)等于(　　)
A． B．
C． D．
4． 某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m(m＜n)种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k(k＜n)种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则E(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
6．(多选)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝2)＝
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E(X)＝
7．(多选)每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解新闻，某组织随机选取10人调查民众了解新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则(　　)
A．有1人喜欢用电视的方式的概率是
B．有2人喜欢用电视的方式的概率是
C．至多有1人喜欢用电视的方式的概率是
D．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是
8．一个箱子中有6个大小相同的产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的均值E(X)＝____．
9．10名同学中有a名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰好取到1名女生的概率为，则a＝____．
10．一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是____，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝____．
11． 某校高中数学兴趣小组共8人，分布如下：高一年级5人(含2个种子选手)，高二年级3人(含1个种子选手)．现从数学兴趣小组的8人中随机抽取4人参加市级奥数选拔赛．
(1) 设事件A为“抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，求事件A发生的概率；
(2) 设随机变量X为抽取的4人中种子选手的人数，求X的分布列及其数学期望．
12．某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为．A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1) 分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2) 设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
7.4.2　超几何分布
1．某工作小组准备去某地区调研企业情况，该地区7家企业中有3家高科技企业，现从中任意选3家企业调研．下列事件中概率等于的是(　B　)
A．至少有1家高科技企业
B．有1家或2家高科技企业
C．有2家或3家高科技企业
D．恰有2家高科技企业
2．某校要从10名候选人中选出2名同学加入学生会，其中高二年级有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二年级的候选人的人数，则E(X)等于(　D　)
A． B．
C． D．
3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X＜2)等于(　D　)
A． B．
C． D．
4． 某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m(m＜n)种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k(k＜n)种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则E(X)＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可知从含有顾客喜好的k(k＜n)种糕点的n种糕点中，任取m(m＜n)种糕点，其中恰有X种顾客喜好的糕点，则X服从超几何分布，所以P(X＝N)＝(N＝0，1，2，…，t)，其中t＝min｛k，m｝，m＜n，k＜n，所以E(X)＝．
5．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　CD　)
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
6．(多选)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　ACD　)
A．P(X＝2)＝
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E(X)＝
【解析】 由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D正确．
7．(多选)每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解新闻，某组织随机选取10人调查民众了解新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则(　AC　)
A．有1人喜欢用电视的方式的概率是
B．有2人喜欢用电视的方式的概率是
C．至多有1人喜欢用电视的方式的概率是
D．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是
【解析】 设选出的2人中喜欢用电视的方式的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故A正确，B错误．这2人中至多有1人喜欢用电视的方式的概率是P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故C正确．这2人中至少有1人喜欢用手机的方式的概率为＋＝，故D错误．
8．一个箱子中有6个大小相同的产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X，则X的均值E(X)＝__2__．
【解析】 由题知X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝2．
9．10名同学中有a名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰好取到1名女生的概率为，则a＝__2或8__．
【解析】 根据题意，得＝，解得a＝2或a＝8．
10．一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是____，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝____．
【解析】 从中任意取出3个球，基本事件总数n＝＝10，其中有黄球包含的基本事件个数m＝＋＝9，所以有黄球的概率是p＝．
ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
11． 某校高中数学兴趣小组共8人，分布如下：高一年级5人(含2个种子选手)，高二年级3人(含1个种子选手)．现从数学兴趣小组的8人中随机抽取4人参加市级奥数选拔赛．
(1) 设事件A为“抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，求事件A发生的概率；
(2) 设随机变量X为抽取的4人中种子选手的人数，求X的分布列及其数学期望．
【解答】 (1) “抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，即为高一、高二各选1名种子选手，则P(A)＝＝，所以事件A发生的概率为．
(2) 随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
12．某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为．A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1) 分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2) 设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
【解答】 (1) 由题意知A恰好答对2个问题的概率为P1＝＝，B恰好答对2个问题的概率为P2＝＝．
(2) X的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝．易知Y~B，所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3×＝．因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定，所以选择学生A．
13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
【解答】 由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则P1＝＝＝；若任取3个数中有3个阳数，则P2＝＝＝，故这3个数中至少有2个阳数的概率P＝P1＋P2＝＋＝．

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