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7.5　正态分布
1．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于(　　)
A．0.158 5 B．0.158 6
C．0.158 7 D．0.341 3
2． 设有一正态分布的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则平均数与标准差分别是(　　)
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
3． 若随机变量X服从正态分布N，随机变量Y服从两点分布，且P＝，E(X)＝E(Y)，则D(Y)＝(　　)
A． B．
C． D．
4． 已知随机变量X~N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　)
(附：若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5)
A．0.135 9 B．0.728 2
C．0.864 1 D．0.932 05
5． 小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公共汽车，自己开车．他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量X1，X2，X3，X4来表示用这四种方式上班所用时间(min)．经数据分析，X1~N(60，102)，X2~N(40，102)，X3~N(40，152)，X4~N(30，402)，如果某天有70 min可用，则他该选择____上班不迟到的概率最大(　　)
(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．步行 B．骑自行车
C．乘坐公共汽车 D．自己开车
6．(多选)已知随机变量X~N(μ，σ2)，函数f(x)＝(x∈R)，则(　　)
A．当x＝μ时，f(x)取得最大值
B．曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称
C．x轴是曲线y＝f(x)的渐近线
D．曲线y＝f(x)与x轴之间的面积小于1
7． (多选)已知随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，则(　　)
A．E(X)＝E(Y) B．D(Y)＝2D(X)
C．P(X≤－2)＋P(X≤2)＝1 D．P(≤1)＞P(≤1)
8．(多选)某校高二年级选考生物科的学生共1 000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为［30，100］，若等级分X~N(80，25)，则(　　)
(附：X~N(μ，σ2)，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3)
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在［65，95］内的人数约为997
D．P(70＜X≤75)＝0.135 9
9．若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝____．
10． 某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N(110，σ2)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为____．
11． 某品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为____．
12．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(240，σ2)，且P(z≤248)＝0.95．
(1) 求z＜232或z＞248的概率；
(2) 若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232mm或大于248 mm的零件个数，求X＝2的概率．
13．某公司决定招工400名(其中A类岗位员工280名，B类岗位员工120名)，有2 500人参加考试，考试满分为450分，考生成绩符合正态分布．考生甲的成绩为270分，考生丙的成绩为430分，考试后不久甲仅了解到如下情况：此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人．
(1) 请用你所学的统计知识估计甲能否被录用，如录用能否被录为A类岗位员工？
(2) 考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人．”请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 8，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4．
7.5　正态分布
1．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于(　C　)
A．0.158 5 B．0.158 6
C．0.158 7 D．0.341 3
2． 设有一正态分布的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则平均数与标准差分别是(　B　)
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
3． 若随机变量X服从正态分布N，随机变量Y服从两点分布，且P＝，E(X)＝E(Y)，则D(Y)＝(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由X~N，P＝，知μ＝，所以E(X)＝，故E(Y)＝．设Y~B(1，p)，则E(Y)＝p＝，所以D(Y)＝p(1－p)＝＝．
4． 已知随机变量X~N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为(　A　)
(附：若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5)
A．0.135 9 B．0.728 2
C．0.864 1 D．0.932 05
【解析】 由已知得μ＝2，σ＝1，故P(0≤ξ≤1)＝［P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)］＝×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9．
5． 小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公共汽车，自己开车．他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量X1，X2，X3，X4来表示用这四种方式上班所用时间(min)．经数据分析，X1~N(60，102)，X2~N(40，102)，X3~N(40，152)，X4~N(30，402)，如果某天有70 min可用，则他该选择____上班不迟到的概率最大(　B　)
(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．步行 B．骑自行车
C．乘坐公共汽车 D．自己开车
【解析】 ①当小张步行上班时，由X1~N(60，102)知，μ1＝60，σ1＝10，所以他上班不迟到的概率为P(X1≤70)＝＋×P(μ1－σ1≤X1≤μ1＋σ1)＝＋×0.682 7＝0.841 35．②当小张骑自行车上班时，由X2~N(40，102)知，μ2＝40，σ2＝10，所以他上班不迟到的概率为P(X2≤70)＝＋×P(μ2－3σ2≤X2≤μ2＋3σ2)＝＋×0.997 3＝0.998 65．③当小张乘坐公共汽车上班时，由X3~N(40，152)知，μ3＝40，σ3＝15，所以他上班不迟到的概率为P(X3≤70)＝＋×P(μ3－2σ3≤X3≤μ3＋2σ3)＝＋×0.954 5＝0.977 25．④当小张自己开车上班时，由X4~N(30，402)知，μ4＝30，σ4＝40，所以他上班不迟到的概率为P(X4≤70)＝＋P(μ4－σ4≤X4≤μ4＋σ4)＝＋×0.682 7＝0.841 35．由P(X2≤70)＞P(X3≤70)＞P(X1≤70)＝P(X4≤70)，所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大．
6．(多选)已知随机变量X~N(μ，σ2)，函数f(x)＝(x∈R)，则(　ABC　)
A．当x＝μ时，f(x)取得最大值
B．曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称
C．x轴是曲线y＝f(x)的渐近线
D．曲线y＝f(x)与x轴之间的面积小于1
【解析】 由题知f(x)的对称轴为x＝μ，且当x＝μ时，f(x)取最大值为，故A，B正确；根据正态分布的曲线可得，x轴是渐近线，且曲线y＝f(x)与x轴之间的面积等于1，故C正确，D错误．
7． (多选)已知随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，则(　ACD　)
A．E(X)＝E(Y) B．D(Y)＝2D(X)
C．P(X≤－2)＋P(X≤2)＝1 D．P(≤1)＞P(≤1)
【解析】 由题知X~N(0，1)，Y~N(0，4)，对于A，E(X)＝E(Y)＝0，故A正确；对于B，D(Y)＝4，D(X)＝1，所以D(Y)＝4D(X)，故B错误；对于C，P(X≤－2)＝P(X≥2)，所以P(X≤－2)＋P(X≤2)＝1，故C正确；对于D，由E(X)＝E(Y)，σX＜σY，所以随机变量X的正态曲线更高瘦，而随机变量Y的正态曲线更矮胖，所以P(≤1)＞P(≤1)，故D正确．
8．(多选)某校高二年级选考生物科的学生共1 000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为［30，100］，若等级分X~N(80，25)，则(　CD　)
(附：X~N(μ，σ2)，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3)
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在［65，95］内的人数约为997
D．P(70＜X≤75)＝0.135 9
【解析】 对于A，由题设，均值μ＝80，方差σ2＝25，所以标准差为5，故A错误；对于B，P(X＞80)＝0.5，1 000×0.5＝500(人)，故B错误；对于C，P(65＜X≤95)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则1 000×0.997 3≈997(人)，故C正确；对于D，P(70＜X≤75)＝＝0.135 9，故D正确．
9．若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝____．
【解析】 由于随机变量X~N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ)＝．
10． 某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N(110，σ2)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为__15__．
【解析】 因为P(100≤X≤110)＝P(110≤X≤120)＝0.35，所以P(X≥120)＝P(X≤100)＝＝0.15，故综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为100×0.15＝15．
11． 某品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为__0.4__．
【解析】 由题意知P(X≥1)＝0.9，P(X≥9)＝0.1，所以P(X＜1)＝1－0.9＝0.1＝P(X≥9)，所以正态分布曲线的对称轴为直线X＝＝5．因为P(1≤X≤9)＝0.9－0.1＝0.8，所以P(5≤X≤9)＝＝0.4，故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4．
12．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(240，σ2)，且P(z≤248)＝0.95．
(1) 求z＜232或z＞248的概率；
(2) 若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232mm或大于248 mm的零件个数，求X＝2的概率．
【解答】 (1) 因为零件尺寸z服从正态分布N(240，σ2)，所以P(z＞248)＝1－P(z≤248)＝0.05．因为＝240，所以P(z＜232)＝P(z＞248)＝0.05，故z＞232或z＞248的概率为0.05＋0.05＝0.1．
(2) 依题可得X~B(3，0.1)，所以P(X＝2)＝×0.12×(1－0.1)＝0.027．
13．某公司决定招工400名(其中A类岗位员工280名，B类岗位员工120名)，有2 500人参加考试，考试满分为450分，考生成绩符合正态分布．考生甲的成绩为270分，考生丙的成绩为430分，考试后不久甲仅了解到如下情况：此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人．
(1) 请用你所学的统计知识估计甲能否被录用，如录用能否被录为A类岗位员工？
(2) 考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人．”请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 8，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4．
【解答】 (1) 设此次测试的成绩为X，则X~N(μ，σ2)．由题意知μ＝171，因为＝0.022 8，且＝＝0.022 8，所以σ＝＝90．因为＝0.16，且P(X≥μ＋σ)＝＝＝0.158 6＜0.16，所以前400名的成绩的最低分低于μ＋σ＝261分．又270＞261，所以甲能被录用．当X＝270时，P(X＝270)＜＝＝0.158 6．又0.158 6×2 500＝396.5≈397，所以甲能被录用为A类岗位员工．
(2) 假设乙所说的为真，则μ＝201．因为P(X≥μ＋2σ)＝＝＝0.022 8，且＝0.022 8，所以σ＝＝75，则μ＋3σ＝201＋3×75＝426＜430，而P(X≥μ＋3σ)＝＝＝0.001 3＜0.005．
答案示例1：可以认为乙同学信息为假．理由如下：
事件“X≥μ＋3σ”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假．
答案示例2：无法辨别乙同学信息真假．理由如下：
事件“X≥μ＋3σ”即“丙同学的成绩为430分”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假．

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