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微专题3　二项分布中的两类最值问题
1．已知X~B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝____．
2．50张彩票中只有2张中奖票，现从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为____．
3．某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1 000名患者，经过使用该药治疗后治愈n(n＝0，1，2，…，1 000)人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为____．
4．春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n＝____时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为____．
5．高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间x(小时/周) 0 0＜x≤0.5 0.5＜x≤1 x＞1
人数 20 40 30 10
(1) 为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2人进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2) 用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P(X＝k)表示这10名学生中恰有k(k∈N，0≤k≤10)名学生数学阅读时间在(0，0.5］小时的概率，求P(X＝k)取最大值时对应的k的值．
6． 有4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为p．
(1) 设4名射击手击中目标的人数为X，当p＝时，求X的数学期望与方差；
(2) 若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁．设目标被摧毁的概率为f(p)，当≤p≤时，求f(p)的最大值．
7．某学习网按学生数学成绩的水平，由高到低分成甲、乙两档进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲、乙档学生做对每道题的概率分别为p，p，现从甲、乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合．
(1) 从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2) 若以p0作为p的值，
①求每一个互助组合做对题的概率；
②现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当X＝90时，P(X)取得最大值，求相应的n和E(X)．
微专题3　二项分布中的两类最值问题
1．已知X~B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝__10__．
【解析】 当p＝时，P(X＝k)＝＝，所以当k＝10时，P(X＝k)取到最大值．
2．50张彩票中只有2张中奖票，现从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为__15__．
【解析】 用X表示中奖票数，则P(X≥1)＝＋＞0.5，解得n≥15．
3．某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1 000名患者，经过使用该药治疗后治愈n(n＝0，1，2，…，1 000)人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为__800__．
【解析】 已知该新药针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1 000名患者，经过使用该药治疗后治愈n(n＝0，1，2，…，1 000)人的概率记为Pn，则Pn＝0.8n·0.21 000－n．由Pn＋1≤Pn且Pn－1≤Pn，得可得解得799.8≤n≤800.8．又n＝0，1，2，…，1 000，则n＝800，故当Pn取最大值时，n的值为800．
4．春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n＝__5或6__时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为____．
【解析】 对一个坑而言，要补播种的概率P＝＋＝，所以补播种坑的数量服从B，则3个坑要补播种的概率为＝．要使最大，只需解得5≤n≤7．因为＝＝＝，所以当n＝5或n＝6时有3个坑要补播种的概率最大，且最大概率为．
5．高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间x(小时/周) 0 0＜x≤0.5 0.5＜x≤1 x＞1
人数 20 40 30 10
(1) 为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2人进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2) 用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P(X＝k)表示这10名学生中恰有k(k∈N，0≤k≤10)名学生数学阅读时间在(0，0.5］小时的概率，求P(X＝k)取最大值时对应的k的值．
【解答】 (1) 由题知抽取的10人中，每周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为＝．
(2) 由题知周阅读时间在(0，0.5］小时的频率为，故概率为，则X~B，所以P(X＝k)＝，由得
化简得解得≤k≤．又k∈Z，故k＝4．
6． 有4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为p．
(1) 设4名射击手击中目标的人数为X，当p＝时，求X的数学期望与方差；
(2) 若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁．设目标被摧毁的概率为f(p)，当≤p≤时，求f(p)的最大值．
【解答】 (1) 4名射击手互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且X~B，所以E(X)＝np＝，D(X)＝np(1－p)＝．
(2) 依题意有f(p)＝p2(1－p)2·＋p3(1－p)·＋p4＝2p3(1－p)2＋2p3(1－p2)＋p4＝－3p4＋4p3，又≤p≤，所以f'(p)＝－12p3＋12p2＝12p2(1－p)＞0，所以f(p)在区间上单调递增，所以f(p)max＝f＝－3×＋4×＝．
7．某学习网按学生数学成绩的水平，由高到低分成甲、乙两档进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲、乙档学生做对每道题的概率分别为p，p，现从甲、乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合．
(1) 从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2) 若以p0作为p的值，
①求每一个互助组合做对题的概率；
②现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当X＝90时，P(X)取得最大值，求相应的n和E(X)．
【解答】 (1) 由题可知f(p)＝p4(1－p)＝5p4(1－p)，f'(p)＝5p3(4－5p)，令f'(p)＝0，得p＝．当p∈时，f'(p)＞0，f(p)在上单调递增；当p∈时，f'(p)＜0，f(p)在上单调递减．所以f(p)的最大值点p0＝．
(2) ①记事件A＝“一个互助组合做对题”，事件B＝“一个互助组合中甲档中的学生做对题”，事件C＝“一个互助组合中乙档中的学生做对题”，则P(B)＝，P(C)＝＝，P(A)＝1－P()P()＝1－＝0.9．
②由题意知随机变量X~B(n，0.9)，P(X＝k)＝×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，n)．因为P(X＝90)最大，所以解得99≤n≤．因为n是整数，所以n＝99或n＝100．
当n＝99时，E(X)＝np＝99×0.9＝89.1；
当n＝100时，E(X)＝np＝100×0.9＝90．

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