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微专题4　比赛与闯关问题
1．某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，规则如下：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．
(1) 求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；
(2) 设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望．
2． 在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题．将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题)，玩家开始答题．若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关．假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5．每次答题正确与否相互独立．
(1) 求玩家通过这一关的概率．
(2) 规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分，现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题．为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？
3．某校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制．已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为．
(1) 若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；
(2) 若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球．规定胜一局记2分，负一局记0分，记ξ为比赛结束时甲的得分，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
4．甲、乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假定各次比赛相互独立，比赛经ξ次结束．
(1) 求ξ＝2的概率；
(2) 求随机变量ξ的分布列及数学期望．
5． 甲、乙、丙三名同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为．
(1) 求甲获得第二局比赛胜利的概率；
(2) 求在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率；
(3) 已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
6．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每名队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛．根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为．(注：比赛结果没有平局)
(1) 求甲队明星队员M在前4局比赛中不出场的前提下，甲、乙两队比赛4局甲队最终获胜的概率；
(2) 求甲、乙两队比赛3局，甲队最终获胜的概率；
(3) 若已知甲、乙两队比赛3局，甲队最终获胜，求甲队明星队员M上场的概率．
微专题4　比赛与闯关问题
1．某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，规则如下：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．
(1) 求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；
(2) 设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望．
【解答】 (1) 设事件A为“甲队获第一名”，则P(A)＝P1P2＝．设事件B为“乙队获第一名”，则P(B)＝(1－P1)·＝，解得P1＝，P2＝．
(2) 由题知X的可能取值为0，3，6，P(X＝0)＝(1－P1)(1－P2)＝，P(X＝3)＝P1(1－P2)＋(1－P1)P2＝，P(X＝6)＝P1P2＝，所以X的分布列为
X 0 3 6
P
期望E(X)＝0×．
2． 在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题．将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题)，玩家开始答题．若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关．假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5．每次答题正确与否相互独立．
(1) 求玩家通过这一关的概率．
(2) 规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分，现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题．为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？
【解答】 (1) 设通关概率为P(A)，未通关概率为P(B)．已知每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5，则P(B)＝(1－0.2)×(1－0.3)×(1－0.5)＝0.28，那么P(A)＝1－P(B)＝1－0.28＝0.72，故玩家通过这一关的概率为0.72．
(2) 根据题意，分别计算两种答题顺序的期望积分．顺序①A→B→C，答对A题：30×0.2；答错A题答对B题：20×0.8×0.3；答错A，B题答对C题： 10×0.8×0.7×0.5，期望总积分①：30×0.2＋20×0.8×0.3＋10×0.8×0.7×0.5＝13.6．顺序②C→B→A，答对C题：10×0.5；答错C题答对B题：20×0.5×0.3；答错C，B题答对A题：30×0.5×0.7×0.2，期望总积分②：10×0.5＋20×0.5×0.3＋30×0.5×0.7×0.2＝10.1．由13.6＞10.1，知应选择题序①．
3．某校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制．已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为．
(1) 若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；
(2) 若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球．规定胜一局记2分，负一局记0分，记ξ为比赛结束时甲的得分，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
【解答】 (1) 设事件A＝“甲获胜”，则P(A)＝＋＝．
(2) ξ可能的取值为4，2，0，当ξ＝4时，比赛的结果为“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”，所以P(ξ＝4)＝＋＋＝；当ξ＝2时，比赛的结果为“乙甲乙”，“甲乙乙”，所以P(ξ＝2)＝＋＝；当ξ＝0时，比赛的结果为“乙乙”，所以P(ξ＝0)＝＝．所以ξ的分布列为
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)＝0×．
4．甲、乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假定各次比赛相互独立，比赛经ξ次结束．
(1) 求ξ＝2的概率；
(2) 求随机变量ξ的分布列及数学期望．
【解答】 (1) 设事件Ai＝“甲在第i局获胜”，所以P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(　)＝＋＝．
(2) ξ可能的取值为2，4，6，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A1　　)＋P(A2A3A4)＋P(A2　)＝＋＋＋＝，P(ξ＝6)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝4)＝，所以ξ的分布列为
ξ 2 4 6
P
所以E(ξ)＝2×．
5． 甲、乙、丙三名同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为．
(1) 求甲获得第二局比赛胜利的概率；
(2) 求在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率；
(3) 已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解答】 (1) 根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为A1，A2，A3，P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝．设甲获得第二局比赛胜利为事件B，若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可，所以P(B)＝P(A1)×＋P(A2)×＋P(A3)×＝，故甲获得第二局比赛胜利的概率为．
(2) 由题知P(A1B)＝＝，P(B)＝＝＝，所以在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为．
(3) 由题知比赛最多进行5局，则X的取值可以为2，3，4，X＝2时，丙分别在第2局和第4局输了比赛，所以P(X＝2)＝＝，X＝4时，丙在2，3局获胜，第4局输，第5局继续比赛，所以P(X＝4)＝＝，所以P(X＝3)＝1－P(X＝2)－P(X＝4)＝1－－＝，则X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)＝2×．
6．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每名队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛．根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为．(注：比赛结果没有平局)
(1) 求甲队明星队员M在前4局比赛中不出场的前提下，甲、乙两队比赛4局甲队最终获胜的概率；
(2) 求甲、乙两队比赛3局，甲队最终获胜的概率；
(3) 若已知甲、乙两队比赛3局，甲队最终获胜，求甲队明星队员M上场的概率．
【解答】 (1) 设事件B＝“甲、乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件Aj＝“甲队第j局获胜”，其中j＝1，2，3，4，Aj相互独立．又甲队明星队员M前4局不出场，故P(Aj)＝，j＝1，2，3，4，B＝A2A3A4＋A1A3A4＋A1A2A4，所以P(B)＝＝．
(2) 设事件C＝“甲以3局获得最终胜利”，事件D＝“前3局甲队明星队员M上场比赛”，由全概率公式知，P(C)＝P(C|D)P(D)＋P(C|)·P()．因为每名队员上场顺序随机，故P(D)＝＝，P()＝1－＝，P(C|D)＝＝，P(C|)＝＝，所以P(C)＝＋＝．
(3) 由(2)知P(D|C)＝＝＝＝．

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