资源简介

微专题5　概率中递推关系的应用
1．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为．记甲同学回答第n题时答错的概率为Pn，当n≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
2．(多选)投掷一枚质地均匀的硬币，规定掷出正面得2分，掷出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为Pn，则下列说法中正确的有(　　)
A．P1＝
B．P2＝
C．当n≥3时，Pn＝Pn－1＋Pn－2
D．当n≥10时，Pn＝2－2Pn＋1
3．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为____，第n次传球后球在乙手中的概率为___．
4．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1) 求第2次投篮的人是乙的概率；
(2) 求第i次投篮的人是甲的概率．
5．一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同．若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光．已知第1次闪光为红光．
(1) 求第4次闪光为红光的概率；
(2) 求第n次闪光为红光的概率．
6．甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)．
(1) 甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2) 求证：数列(n＝2，3，…，24)为等比数列．
7．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为．
(1) 求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2) 记该同学第n(n∈N*)天选择米饭套餐的概率为Pn．
①求证：为等比数列；
②求证：当n≥2时，Pn＜．
微专题5　概率中递推关系的应用
1．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为．记甲同学回答第n题时答错的概率为Pn，当n≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为回答第n－1题时有答对、答错两种情况，则回答第n题(n≥2)时答错的概率Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)＝Pn－1＋，所以Pn－＝．由题意知P1＝，则P1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列，所以Pn－＝，即Pn＝＋．显然数列递减，所以当n≥2时，Pn≤P2＝＋＝，所以M的最小值为．
2．(多选)投掷一枚质地均匀的硬币，规定掷出正面得2分，掷出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为Pn，则下列说法中正确的有(　ACD　)
A．P1＝
B．P2＝
C．当n≥3时，Pn＝Pn－1＋Pn－2
D．当n≥10时，Pn＝2－2Pn＋1
【解析】 对于A，第一次投掷出现反面，则P1＝，故A正确；对于B，得2分的事件，可以是投掷2次都出现反面，也可以是投掷1次出现正面，P2＝＋＝，故B错误；对于C，当n≥3时，得n分的事件，可以在得n－1分后投掷出现反面，也可以是在得n－2分后投掷出现正面，因此Pn＝Pn－1＋Pn－2，故C正确；对于D，由选项C知，当n∈N*时，Pn＋2＝Pn＋1＋Pn，则Pn＋2＋Pn＋1＝Pn＋1＋Pn，因此数列是常数列，Pn＋1＋Pn＝P2＋P1＝＋＝1，即Pn＝2－2Pn＋1，所以当n≥10时，Pn＝2－2Pn＋1，故D正确．
3．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为____，第n次传球后球在乙手中的概率为____．
【解析】 每次传球都有2种可能，传球3次有23＝8种传球过程，其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙甲乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为．设第n次传球后球在乙手中的概率为pn，则第n次传球到甲或丙手中的概率为，故pn＋1＝＋＝－＋，所以pn＋1－＝－，所以数列为等比数列，首项为p1－＝－＝，公比为－，所以pn－＝，即pn＝＋＝．
4．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1) 求第2次投篮的人是乙的概率；
(2) 求第i次投篮的人是甲的概率．
【解答】 (1) 记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6，则第2次投篮的人是乙的概率为0.6．
(2) 设P(Ai)＝pi，依题可知P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2．构造等比数列｛pi＋λ｝，设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－，则pi＋1－＝．又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列，即pi－＝，pi＝＋，则第i次投篮的人是甲的概率为＋．
5．一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同．若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光．已知第1次闪光为红光．
(1) 求第4次闪光为红光的概率；
(2) 求第n次闪光为红光的概率．
【解答】 (1) 由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，所以P＝＋＝．
(2) 设事件An表示“第n次闪光为红光”，事件Bn表示“第n次闪光为黄光”，事件Cn表示“第n次闪光为蓝光”，且P(An)＝f(n)，P(Bn)＝g(n)，则P(Cn)＝1－f(n)－g(n)．由题意知f(1)＝P(A1)＝1．当n≥2时，P(An)＝P(Bn－1)P(An|Bn－1)＋P(Cn－1)P(An|Cn－1)，即f(n)＝g(n－1)＋［1－f(n－1)－g(n－1)］，整理得f(n)＝－f(n－1)，所以f(n)－＝－，所以是以f(1)－＝为首项，－为公比的等比数列，所以f(n)－＝，故P(An)＝f(n)＝＋，即第n次闪红光的概率为＋．
6．甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)．
(1) 甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2) 求证：数列(n＝2，3，…，24)为等比数列．
【解答】 (1) 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的分布列为
X 0 1 2
P
期望为E(X)＝0×．
(2) 依题意，当3≤n≤24时，棋子跳到第n格有两种可能：第一种，棋子先跳到第n－2格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第n－1格，再摸出两球颜色相同．又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为，摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为，因此得Pn＝Pn－2＋Pn－1，所以Pn－Pn－1＝ Pn－2＋Pn－1－Pn－1＝－ (Pn－1－Pn－2)，因此得，即数列{ Pn－Pn－1}(n＝2，3，…，24)是公比为－的等比数列．
7．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为．
(1) 求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2) 记该同学第n(n∈N*)天选择米饭套餐的概率为Pn．
①求证：为等比数列；
②求证：当n≥2时，Pn＜．
【解答】 (1) 设Ai＝“第i天选择米饭套餐”(i＝1，2)，则＝“第i天选择面食套餐”，根据题意知P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝．由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝＋＝．
(2) ①设An＝“第n天选择米饭套餐”(n＝1，2，…)，则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn，P(An＋1|An)＝，P(An＋1|)＝．由全概率公式，可得P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P()P(An＋1|)＝Pn＋(1－Pn)，即Pn＋1＝－Pn＋，所以Pn＋1－＝－．因为P1－＝，所以是以为首项，－为公比的等比数列．
②由①可得Pn＝＋(n∈N*)，当n为大于1的奇数时，Pn＝＋＋＝；当n为正偶数时，Pn＝－．综上，当n≥2时，Pn＜．

展开更多......

收起↑