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第六章　能力整合与素养提升练
1． 某校公用电话在某时刻恰有k(k∈N)个学生正在使用或等待使用该电话的概率为P(k)，根据统计得到P(k)＝其中c为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为(　　)
A． B．
C． D．
2． 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P()＝，P(B)＝，则P(A)等于(　　)
A． B．
C． D．
3． 袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球．若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为(　　)
A． B．
C． D．
4． 一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则E(X)等于(　　)
A． B．
C． D．
5． (多选)下列说法中正确的有(　　)
A．设随机变量X~B，则P(X＝2)＝
B．设离散型随机变量ξ满足E(ξ)＝2，则E(2ξ－1)＝14
C．设随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，则P(η＞7)＝P(η＜3)
D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则P(X＝0)＞P(X＝1)
6． (多选)为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(附：若Z~N(μ，σ2)，则P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)(　　)
A．P(X＞2)＞0.5 B．P(X＞1.9)＜0.2
C．P(Y＞2)＞0.5 D．P(Y＞2)＜0.8
7． (多选)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数(1张卡片上标1个数)，从中不放回地依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则(　　)
A．P(B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．P(B|A)＝ D．P((A＋)|B)＝1
8． 已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)，则P(1≤X≤3)＝____．
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
9． 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N(100，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为____人．(填整百数)
10． 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为____．
11． 袋子里有除颜色外完全相同的6个小球，其中3个白球，2个黑球，1个红球．
(1) 若不放回地抽取3个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
(2) 若有放回地抽取3次小球，每抽到一次红球得2分，抽到白球或黑球不得分，求积分X的分布列及X的期望和方差．
12． 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20 000件，乙生产线每天产量为10 000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4．将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱．
(1) 质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率；
(2) 已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元/件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价？
13． 某同学参加投篮训练，已知该同学每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该同学训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
(1) 若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；
(2) 设最终得分为n的概率为Pn，证明：数列｛Pn＋1－Pn｝为等比数列，并求数列｛Pn｝的通项公式．
第六章　能力整合与素养提升练
1． 某校公用电话在某时刻恰有k(k∈N)个学生正在使用或等待使用该电话的概率为P(k)，根据统计得到P(k)＝其中c为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意，P(k)＋0＝＋＋＋＝1(k∈N)，解得c＝，所以P(0)＝×c＝．
2． 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P()＝，P(B)＝，则P(A)等于(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由P()＝，所以P(B)＝1－P()＝1－＝．又因为P(B)＝P(B)＋P(AB)＝，P(B)＝，所以P(AB)＝，所以P(A)＝＝＝．
3． 袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球．若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 X的可能取值为2，3，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝2×＋3×＝，D(X)＝＋＝．
4． 一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则E(X)等于(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 依题意，X的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为43＝64，其中X＝1：三次抽取同一标号的球，选择球的编号有4种方式，故P(X＝1)＝＝；X＝2：恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X＝2的可能情况有4×3×3＝36种，故P(X＝2)＝＝；X＝3：三种不同标号的球被取出，由排列数可知事件X＝3的可能情况有4×3×2＝24种，故P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝．
5． (多选)下列说法中正确的有(　AC　)
A．设随机变量X~B，则P(X＝2)＝
B．设离散型随机变量ξ满足E(ξ)＝2，则E(2ξ－1)＝14
C．设随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，则P(η＞7)＝P(η＜3)
D．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则P(X＝0)＞P(X＝1)
【解析】 对于A，若随机变量X~B，则P(X＝2)＝＝，故A正确；对于B，若离散型随机变量ξ满足E(ξ)＝2，则E(2ξ－1)＝2E(ξ)－1＝2×2－1＝3，故B错误；对于C，随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，均值为5，则P(η＞7)＝P(η＜3)，故C正确；对于D，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝，所以P(X＝0)＜P(X＝1)，故D错误．
6． (多选)为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(附：若Z~N(μ，σ2)，则P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)(　BC　)
A．P(X＞2)＞0.5 B．P(X＞1.9)＜0.2
C．P(Y＞2)＞0.5 D．P(Y＞2)＜0.8
【解析】 因为X~N(1.8，0.12)，所以P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)，又P(X＞1.8)＝0.5，所以P(X＞2)＜0.5，故A错误；因为P(X＜1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X＞1.9)＝P(X＞1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，故B正确；依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y~N(2.1，0.12)，故P(Y＞2)＝P(Y＞2.1－0.1)＝P(Y＜2.1＋0.1)≈0.841 3＞0.5，故C正确，D错误．
7． (多选)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数(1张卡片上标1个数)，从中不放回地依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则(　ACD　)
A．P(B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．P(B|A)＝ D．P((A＋)|B)＝1
【解析】 P(B)＝＋＝＝，故A正确；由P(A)＝，P(AB)＝＝，而P(A)P(B)＝＝，故B错误；由P(B|A)＝＝＝，故C正确；由P((A＋)|B)＝P(A|B)＋P(|B)＝＋＝＋＝1，故D正确．
8． 已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)，则P(1≤X≤3)＝__0.6__．
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知，0.1＋0.1＋a＋0.3＋0.2＋0.1＝1，解得a＝0.2，则P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6．
9． 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N(100，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为__2 400__人．(填整百数)
【解析】 因为数学考试成绩近似服从正态分布N(100，σ2)(σ＞0)，且数学成绩高于120分的人数占总人数的，所以数学成绩低于80分的人数占总人数的，所以数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数占总人数的－＝．又因为数学考试成绩在80分到100分(含80分和100分)之间的人数为800，所以估计参加本次联考的总人数约为＝2 400人．
10． 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为____．
【解析】 设事件A＝“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”，则事件＝“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是红球”，事件B＝“最后从乙袋中取出的球是红球”，所以P(A)＝，P()＝，故P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，故P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝＋＝．
11． 袋子里有除颜色外完全相同的6个小球，其中3个白球，2个黑球，1个红球．
(1) 若不放回地抽取3个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；
(2) 若有放回地抽取3次小球，每抽到一次红球得2分，抽到白球或黑球不得分，求积分X的分布列及X的期望和方差．
【解答】 (1) 既抽到白球也抽到黑球的概率P＝＝．
(2) 记抽到红球的次数为Y，则Y~B，P(Y＝k)＝，k＝0，1，2，3．由题知，X＝2Y，X＝0，2，4，6，P(X＝2k)＝P(Y＝k)，k＝0，1，2，3，故X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝2×3×．
12． 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20 000件，乙生产线每天产量为10 000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4．将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱．
(1) 质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率；
(2) 已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元/件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价？
【解答】 (1) 设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品为事件C，依题意可得C＝AC∪BC，且AC，BC互斥，故P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝＋＝，所以抽取到的产品为一等品的概率为．
(2) 由(1)知从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为，设每箱3件产品中一等品的数量为随机变量X，则X~B，E(X)＝3×＝1．设每箱产品销售额为随机变量Y，一等品定价为a元/件，则Y＝aX＋(3－X)100＝300＋(a－100)X，所以E(Y)＝E［300＋(a－100)X］＝300＋(a－100)E(X)＝a＋200．依题意，E(Y)≥400，解得a≥200，所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少为200元/件．
13． 某同学参加投篮训练，已知该同学每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该同学训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
(1) 若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；
(2) 设最终得分为n的概率为Pn，证明：数列｛Pn＋1－Pn｝为等比数列，并求数列｛Pn｝的通项公式．
【解答】 (1) 由题意可知，最终得分X的可能取值为2，3，4，则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，故随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P
期望为E(X)＝2×．
(2) 由题意可知P1＝，P2＝＝，且Pn＋2＝Pn＋1＋Pn，因为P2－P1＝≠0，且＝＝－，可知数列{Pn＋1－Pn}是首项为，公比为－的等比数列，所以Pn＋1－Pn＝＝.当n≥2时，则P2－P1＝＝，…，Pn－Pn－1＝，累加可得Pn－P1＝＋＋…＋＝＝，则Pn＝，且n＝1时，P1＝符合上式，所以Pn＝.

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