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第七章检测试卷
一、 单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)等于(　　)
A．0 B．
C． D．
2．据长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为．设事件A为下雨，事件B为刮风，那么P(A|B)等于(　　)
A． B．
C． D．
3．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车．已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是(　　)
A．0.9 B．0.87
C．0.83 D．0.8
4．已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0＜x＜a)的最小值为( 　)
A．9 B．
C．4 D．6
5．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是(　　)
A．20 B．25
C．30 D．40
6．下列说法错误的是(　　)
A．若数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的标准差为3s
B．若X~B(4，p)，D(X)＝，则P(X＝2)＝
C．若X~N(1，σ2)，P(X＞0)＝0.75，则P(0＜X＜2)＝0.5
D．若X为取有限个值的离散型随机变量，则≥E(X2)
7． 设随机变量X服从正态分布N(30，62)，Y服从正态分布N(34，22)，下列说法中错误的是(　　)
A．P(24≤X≤36)＝P(32≤Y≤36)
B．P(X≤34)＞P(Y≤34)
C．P(X≤24)＞P(Y≤24)
D．P(X≤38)＞P(Y≤38)
8．甲、乙、丙三个地区分别有x%，y%，z%的人患了流感，且x，y，z构成以1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为5∶3∶2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为(　　)
A．1.21 B．1.34
C．1.49 D．1.51
二、 多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分)
9．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值和方差，则(　　)
A．P(X＝1)＝ B．E(X)＝
C．D(X)＝ D．E(4X＋1)＝4
10． 某人从一座9层大楼的第1层进入电梯，在第m(2≤m≤9)层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件A＝“m为偶数”，事件B＝“m≤5”，事件C＝“m为质数”，则(　　)
A．P(ABC)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A|B)＝P(A) D．P(A|C)＋P(B|C)＝1
11．某次数学考试，多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)．若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，若甲、乙两位同学的得分分别记为X和Y，则(　　)
A．P(X＝0)＞P(Y＝0) B．P(X＝6)＞P(Y＝6)
C．E(X)＞E(Y) D．D(X)＞D(Y)
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设随机变量ξ服从正态分布N(2，1)，若P(ξ＞a＋1)＝P(ξ＜a)，则a＝____．
13．某校中学生篮球队假期集训，集训前共有5个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，2个是旧球(即至少用过一次的球)，每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．设第一次训练时取到的新球个数为ξ，则P(ξ＝1)＝____；第二次训练时恰好取到一个新球的概率为____．
14． 设随机变量X~B(n，p)，若D(2X＋1)＝λD(X)，则λ＝___；若D(2X＋1)＝E(X2)，则p的最大值为____．
四、 解答题(本题共4小题，共60分)
15．(13分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495］，(495，500］，…，(510，515］，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．
(1) 根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量和样本平均值；
(2) 由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值ξ服从正态分布N(μ，1.252)，其中μ近似为(1)中的样本平均值，计算该批产品质量指标值ξ≥499.25的概率；
(3) 从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列和数学期望．
附：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤u＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
16．(15分)某地准备建造一个以冰雪为主题的公园，在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块．在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整个冰块就不能再使用了．定义：冰块利用率＝，假设甲、乙、丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%，35%，40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75．
(1) 在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望；
(2) 在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率．
17．(15分)甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．
(1) 求甲恰有2个题目答对的概率；
(2) 求乙答对的题目数X的分布列；
(3) 试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
18． (17分)甲、乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：(一) 每局胜者得1分，负者得0分；(二) 若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率均为p，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立．
(1) 求p；
(2) 记X表示比赛停止时已比赛的局数，求X的分布列及数学期望；
(3) 若不限定局数(即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件)，设an为比赛进行n局后仍未停止比赛的概率，求数列｛an｝的通项公式．
　第七章检测试卷
一、 单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)等于(　B　)
A．0 B．
C． D．
【解析】 P(EF)＝P(E)×P(F)＝＝．
2．据长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为．设事件A为下雨，事件B为刮风，那么P(A|B)等于(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意，可知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝＝．
3．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车．已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是(　B　)
A．0.9 B．0.87
C．0.83 D．0.8
【解析】 李明上学骑单车准时到校的概率为0.7×0.9＝0.63，乘坐公共汽车准时到校的概率为0.3×0.8＝0.24，因此李明准时到校的概率为0.63＋0.24＝0.87．
4．已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0＜x＜a)的最小值为(　B　)
A．9 B．
C．4 D．6
【解析】 因为随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＝1，可得a＝2，＋＝＋＝［x＋(2－x)］＝＝，当且仅当x＝时等号成立，所以＋(0＜x＜a)的最小值为．
5．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是(　B　)
A．20 B．25
C．30 D．40
【解析】 抛掷1次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为＝，所以E(ξ)＝80×＝25．
6．下列说法错误的是(　D　)
A．若数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的标准差为3s
B．若X~B(4，p)，D(X)＝，则P(X＝2)＝
C．若X~N(1，σ2)，P(X＞0)＝0.75，则P(0＜X＜2)＝0.5
D．若X为取有限个值的离散型随机变量，则≥E(X2)
【解析】 若数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的标准差为＝3s，故A正确；若X~B(4，p)，D(X)＝，则4p(1－p)＝，得p(1－p)＝，P(X＝2)＝p2(1－p)2＝6［p(1－p)］2＝6×＝，故B正确；若X~N(1，σ2)，P(X＞0)＝0.75，则P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2［P(X＞0)－P(X＞1)］＝2×(0.75－0.5)＝0.5，故C正确；若X为取有限个值的离散型随机变量，则D(X)＝E(X2)－［E(X)］2≥0，故D错误．
7． 设随机变量X服从正态分布N(30，62)，Y服从正态分布N(34，22)，下列说法中错误的是(　D　)
A．P(24≤X≤36)＝P(32≤Y≤36)
B．P(X≤34)＞P(Y≤34)
C．P(X≤24)＞P(Y≤24)
D．P(X≤38)＞P(Y≤38)
【解析】 根据题意，随机变量X服从正态分布N(30，62)，μ＝30，σ＝6，Y服从正态分布N(34，22)，μ'＝34，σ'＝2，对于A，P(24≤X≤36)＝P(30－6≤X≤30＋6)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(32≤Y≤36)＝P(34－2≤Y≤34＋2)＝P(μ'－σ'≤Y≤μ'＋σ')，故P(24≤X≤36)＝P(32≤Y≤36)，故A正确；对于B，P(X≤34)＝P(X≤30)＋P(30＜X≤34)＞，P(Y≤34)＝，所以P(X≤34)＞P(Y≤34)，故B正确；对于C，P(X≤24)＝P(X≤30－6)＝P(X≤μ－σ)，P(Y≤24)＝P(Y≤34－10)＝P(Y≤μ'－5σ')，所以P(X≤24)＞P(Y≤24)，故C正确；对于D，P(X≤38)＝P(X≤30＋8)＝P(X≤μ＋σ＋2)，P(Y≤38)＝P(Y≤34＋4)＝P(Y≤μ'＋σ'＋2)，所以P(X≤38)＜P(Y≤38)，故D错误．
8．甲、乙、丙三个地区分别有x%，y%，z%的人患了流感，且x，y，z构成以1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为5∶3∶2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为(　D　)
A．1.21 B．1.34
C．1.49 D．1.51
【解析】 设事件D1，D2，D3分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件F1，F2，F3分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，事件G为“此人患了流感”．由题知，P(F1)＝，P(F2)＝＝，P(F3)＝＝，P(G)＝P(F1)＋P(F2)＋P(F3)＝．由条件概率公式可得P(D1|G)＝＝＝，P(D2|G)＝＝＝，P(D3|G)＝＝＝．由题意可得即解得x≥．
二、 多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分)
9．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值和方差，则(　ACD　)
A．P(X＝1)＝ B．E(X)＝
C．D(X)＝ D．E(4X＋1)＝4
【解析】 由X服从两点分布，P(X＝0)＝，得P(X＝1)＝，故A正确；E(X)＝0×＋1×＝，故B错误；D(X)＝＋＝，故C正确；E(4X＋1)＝4E(X)＋1＝4，故D正确．
10． 某人从一座9层大楼的第1层进入电梯，在第m(2≤m≤9)层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件A＝“m为偶数”，事件B＝“m≤5”，事件C＝“m为质数”，则(　BCD　)
A．P(ABC)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A|B)＝P(A) D．P(A|C)＋P(B|C)＝1
【解析】 易知Ω＝｛2，3，…，9｝，已知事件A包含的样本点为｛2，4，6，8｝，则P(A)＝，事件B包含的样本点为｛2，3，4，5｝，则P(B)＝，事件C包含的样本点为｛2，3，5，7｝，P(C)＝．对于A，事件ABC包含的样本点为｛2｝，所以P(ABC)＝，故A错误；对于B，事件A∪B包含的样本点为｛2，3，4，5，6，8｝，所以P(A∪B)＝，故B正确；对于C，事件AB包含的样本点为｛2，4｝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝，所以P(A|B)＝P(A)，故C正确；对于D，事件AC包含的样本点为｛2｝，事件BC包含的样本点为｛2，3，5｝，所以P(AC)＝，P(BC)＝，所以P(A|C)＋P(B|C)＝＋＝1，故D正确．
11．某次数学考试，多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)．若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，若甲、乙两位同学的得分分别记为X和Y，则(　AD　)
A．P(X＝0)＞P(Y＝0) B．P(X＝6)＞P(Y＝6)
C．E(X)＞E(Y) D．D(X)＞D(Y)
【解析】 P(X＝0)＝＋＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝6)＝＝，则X的分布列为
X 0 4 6
P
由此可得E(X)＝0×＋4×＋6×＝，D(X)＝＋＋＝．P(Y＝0)＝＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝＝，则Y的分布列为
Y 0 4 6
P
由此可得E(Y)＝0×＋4×＋6×＝3，D(Y)＝(0－3)2×＋(4－3)2×＋(6－3)2×＝5．故A，D正确，B，C错误．
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设随机变量ξ服从正态分布N(2，1)，若P(ξ＞a＋1)＝P(ξ＜a)，则a＝____．
【解析】 因为ξ~N(2，1)且P(ξ＞a＋1)＝P(ξ＜a)，所以a＋1＋a＝2×2，解得a＝．
13．某校中学生篮球队假期集训，集训前共有5个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，2个是旧球(即至少用过一次的球)，每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．设第一次训练时取到的新球个数为ξ，则P(ξ＝1)＝____；第二次训练时恰好取到一个新球的概率为____．
【解析】 由题意，ξ＝0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝．设事件A为第二次恰好取到一个新球，当ξ＝0时，P(A|ξ＝0)＝＝；当ξ＝1时，P(A|ξ＝1)＝＝；当ξ＝2时，P(A|ξ＝2)＝＝，所以P(A)＝P(A|ξ＝0)P(ξ＝0)＋P(A|ξ＝1)·P(ξ＝1)＋P(A|ξ＝2)P(ξ＝2)＝＋＋＝．
14． 设随机变量X~B(n，p)，若D(2X＋1)＝λD(X)，则λ＝__4__；若D(2X＋1)＝E(X2)，则p的最大值为____．
【解析】 由X~B(n，p)，得D(X)＝np(1－p)，0＜p＜1，又λD(X)＝D(2X＋1)＝4D(X)，因此λ＝4．又E(X)＝np，D(X)＝E(X2)－［E(X)］2，则4np(1－p)＝np(1－p)＋(np)2，解得p＝，而n∈N*，所以当n＝1时，pmax＝．
四、 解答题(本题共4小题，共60分)
15．(13分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495］，(495，500］，…，(510，515］，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．
(1) 根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量和样本平均值；
(2) 由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值ξ服从正态分布N(μ，1.252)，其中μ近似为(1)中的样本平均值，计算该批产品质量指标值ξ≥499.25的概率；
(3) 从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列和数学期望．
附：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤u＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
【解答】 (1) 由频率分布直方图可知，质量超过505 g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505 g的产品数量为40×0.3＝12(件)．样本平均值＝5×(492.5×0.03＋497.5×0.04＋502.5×0.07＋507.5×0.05＋512.5×0.01)＝501.75．
(2) 由题意可得μ＝＝501.75，σ＝1.25，则P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝P(499.25＜ξ≤504.25)≈0.954 5，则P(ξ≥499.25)＝1－＝0.977 25．或者P(ξ≥499.25)＝0.5＋＝0.977 25．
(3) 根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过505 g的概率为．从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成二项分布，故质量超过505 g的件数Y可能的取值为0，1，2，且Y~B，所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)＝0×．
16．(15分)某地准备建造一个以冰雪为主题的公园，在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块．在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整个冰块就不能再使用了．定义：冰块利用率＝，假设甲、乙、丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%，35%，40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75．
(1) 在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望；
(2) 在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率．
【解答】 (1) 任取一块冰块是由甲工作队采出的冰块的概率是，依题意，ξ的取值为0，1，2，3，且ξ~B，P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝3×．
(2) 设事件A1＝“冰块由甲工作队打出”，事件A2＝“冰块由乙工作队打出”，事件A3＝“冰块由丙工作队打出”，事件B＝“采出的冰块被利用”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.4，P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝0.75，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.8＋0.35×0.6＋0.4×0.75＝0.71，所以采出的冰块被利用的概率是0.71．
17．(15分)甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．
(1) 求甲恰有2个题目答对的概率；
(2) 求乙答对的题目数X的分布列；
(3) 试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．
【解答】 (1) 因为甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P＝＝．
(2) 由题意知乙答对的题目数X的所有可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，故X的分布列为
X 2 3 4
P
(3) 因为乙平均答对的题目数E(X)＝2×．因为E(X)＞E(Y)，所以甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．
18． (17分)甲、乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：(一) 每局胜者得1分，负者得0分；(二) 若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率均为p，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立．
(1) 求p；
(2) 记X表示比赛停止时已比赛的局数，求X的分布列及数学期望；
(3) 若不限定局数(即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件)，设an为比赛进行n局后仍未停止比赛的概率，求数列｛an｝的通项公式．
【解答】 (1) 由p2＋(1－p)2＝，解得p＝或p＝，因为＜p＜1，所以p＝．
(2) X的可能取值为2，4，6，由(1)知，当X＝2时，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝6)＝1－P(X＝2)－P(X＝4)＝，所以X的分布列为
X 2 4 6
P
数学期望E(X)＝2×．
(3) 由题可得a1＝1，a3＝a2＝2×(n≥3)，当n＝1时，a1＝1也满足．所以数列｛an｝的通项公式为an＝

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