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参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. C
2. A
3. C
4. B
5. B
6. A
7. B
8. C
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. AB
10. BCD
11. BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. -2
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）因为且，
所以①，
当可得，
当时②，
①-②得，
显然当时上式也成立，
所以.
（2）由题得，
，
则（1）-（2）得：
，
所以.
16. （1）如图所示：
抛物线的焦点，则直线，
由得，
依题意，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方，
由（1）知，，焦点，
显然直线不垂直于坐标轴，
设其方程为，如图所示：
由消去得：，
因为，
设，，所以，
直线的斜率为:，方程为，
直线的斜率为:，方程为，
由，消去得：，
整理得：
，
因此点的横坐标恒为，
所以点在定直线上.
17. （1）因为，，分别为，的中点，所以为的中点，
所以，因为平面，平面，所以平面．
（2）在平面内作交于点，由分别为的中点，为等边三角形，
得，由平面平面，平面平面，
得平面，平面，而平面，平面，
所以，，由，得，而，
所以，，，，
因为平面，平面，所以，
所以以点原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图
所以，，，，，，
所以，，设平面的法向量为，
所以，即，令，所以，，所以，
平面的法向量为，因为平面与平面夹角为钝角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）因为平面的法向量为，，
所以点到平面的距离为
18. （1）因为两边取对数可得，即，
令，所以，由，
，.
所以，
又，即，
所以，所以.
所以关于的经验回归方程为.
（2）甲每局比赛获胜的概率为，则甲每局比赛失败的概率为，
依题意可得，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时；
19. （1），
令得或，
①当，即时，列表得：
2
0 0
极大值 极小值
所以是的极大值点，不符合题意.
②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意.
③当，即时，列表得：
2
0 0
极大值 极小值
所以是的极小值点，符合题意.
综上可知，的取值范围是.
（2）由得或，
设，则，所以有两不等实根.
所以，，，
又因为，所以，，
则，且，故，
且，而，
所以，，
则，解之得或8（舍去）.
（3）因为当且仅当，所以，则
因为，当时，，不符合题意；
当时，
①当时，，
记，，
若，，则单调递增，所以.
若，令，，
令，，易得单调递增，
所以，即，
则使，列表得：
0
极小值
因为，，所以使，列表得
0
极小值
又因，，使，列表得
0
极大值
又，，所以，则当时，.
②当时，
，
设，则，
当时，，
故在上单调递增，故即，
设，则，
设，则，
在上为减函数，故，，
故在上存在一个零点，使得，
且当时，，时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故存在，使得，
且当时，，时，，
故在上为减函数，在为增函数，
而，故存在，使得，
且当时，，时，，
故在上为减函数，在为增函数，
而，故在上恒成立.
综上，当时，即，陕西省西安中学高2026届高三第三次模拟考试
数学试题
（时长：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影为
4. 已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　）
A. B. C. 2 D.
6. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ）
A B. C. D.
7. 的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为（ ）
A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，＋∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法正确有（ ）
A 对任意实数都有
B. 若，则
C. 当时，的最小值是2
D. 若，则
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，图象的对称轴方程为
B. 当时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数
C. 若函数的图象在上恰有三条对称轴，则
D. 若函数在上单调递增，则或
11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ）
A. 若“黄金椭圆”，则
B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为
C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则
D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，为虚数单位，若为实数，则值为__________．
13. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是________．
14. 宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红 黄 白 黑4个形状 大小相同的小球，规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且.
（1）求；
（2）求.
16. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.
17. 已知在三棱锥中，为等边三角形，平面平面，，分别为的中点．
（1）求证：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求点到平面的距离．
18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡 1 2 3 4 5 6
平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352
计算得到一些统计量的值为：，，其中，．
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程；
（2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19. 已知函数，.
（1）若是的极小值点，求的取值范围；
（2）若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值；

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