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8.1 数学广角——找次品（同步练习）
一、选择题
1．一箱纯牛奶有24盒，其中有一盒是次品，比正品轻一些 ，用天平称，至少称（ ）次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶。
A．3 B．4 C．5 D．6
2．从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（ ）。
A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4）
3．有13瓶水，其中一瓶是糖水，外观和其他12瓶相同，但是质量略重一些，用天平至少称（ ）次就一定能找出这瓶糖水。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在27个金币中，有一枚假金币，假金币除了质量轻一些外，其他无任何差别，如果用天平秤，至少称（ ）次就能保证找出这枚假金币。
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
5．24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成（ ）份，然后再称。
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
6．用天平找次品时，把下列数量的物品（每组只有1个次品，次品比正品轻一些）分成3份，怎样分称的次数最少？（在圆圈里填数）
7．某公司生产某批次的9瓶免洗凝胶消毒剂中，只有1瓶质量轻。如果用没有砝码的天平去称，至少( )次能保证找出这瓶轻的消毒剂。
8．人民小学举行六一表彰，订购了28枚一星章，拿到后发现其中一枚是次品（略轻），则用天平至少称( )次才能保证找到次品。
9．社区负责人李叔叔为了表彰八个抗疫小勇士，他买了八个“冰墩墩”分别编上了字母序号A～H送给他们。其中有6个“冰墩墩”都是重200克，另外两个“冰墩墩”都是重198克。李叔叔用天平称了三次，结果第一次A＋B比C＋D重；第二次E＋F比G＋H轻；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，那么重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为( )和( )。
10．孝感市市场监督管理局在抽查某工厂的产品时发现：8个零件里有1个是次品（次品重一些）。如果用无砝码的天平称，至少称( )次能保证找出次品。
三、解答题
11．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程）
12．有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？
13．（1）如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。
（2）用你的方法称几次可以保证找出来？
（3）你能称2次就保证把它找出来吗？
（4）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？
14．用天平找次品时；所测物品数目与测试的次数有以下关系．（只含一个次品，已知次品比正品重或轻．）
参考答案：
1．A
【分析】第一次：先把24盒牛奶分成（8，8，8），取8盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份分成（3，3，2），取两个3盒一组的分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取含有次品的（2盒或3盒），取2盒分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品，据此即可找到次品。
【详解】由分析可知：
至少称3次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶；
故答案为：A
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
2．A
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（3，3，2）。
故答案为：A
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
3．B
【分析】由于要找的瓶子质量略重，所以相同数量情况下，这瓶糖水肯定会在天平低的一端。
【详解】第1次：
任意拿出12瓶，剩下1瓶。天平左右各放6瓶，如果天平平衡，则剩下的这个就是要找的这瓶。如果天平不平衡，要找的这瓶就在天平较低的这一端的6瓶之中。
第2次：
把这6瓶任意各拿3个分别放在天平左右两边。天平肯定不会平衡，要找的这瓶就在天平较低的这一端的3瓶之中。
第3次：
把这3瓶任意拿2个分别放在天平左右两边。如果天平平衡，则剩下的这1个就是要找的这瓶。如果天平不平衡，要找的这瓶就在天平较低的这一端。
故答案为：B。
【点睛】本题主要考查找到解决问题的最优策略。
4．C
【分析】先把27个零件分成（9，9，9），在天平两边各放9个，若天平平衡，则假金币在剩下的9个中，再把9分成（3，3，3），在天平两边各放3个，若天平平衡，则假金币在剩下的3个中，再把3分成（1，1，1），在天平两边各放1个，若平衡，则剩下的那个就是假金币，若不平衡，则上升的那个就是假金币；若不平衡，则假金币在上升的那9个中，同理，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
如果用天平秤，至少称3次就能保证找出这枚假金币。
故答案为：C
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
5．B
【分析】如果分成两份，每份的数量多，相对来就需要称的次数多；如果分成四份，最少要称4次，才能找出次品。所以最好是分成3份，这样能用最少的次数找出次品所在的位置。具体做法是先把24个零件分成（8，8，8），把两个8个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组。再把8分成（3，3，2），可找出有次品的一组。再把3分成（1，1，1），可找出次品。据此解答。
【详解】根据分析得，24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成3份，然后再称。
故答案为：B
【点睛】本题运用了找次品中最基本的方法，应让学生掌握平均分成3份再称是最快的方法。
6．见详解
【分析】
找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。
【详解】
如图：
7．2
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】某公司生产某批次的9瓶免洗凝胶消毒剂中，只有1瓶质量轻；第一次称：先将9瓶免洗凝胶消毒剂平均分成3份，每一份3瓶，编号ABC；取AB放在天平上称量，如果达到平衡，那么轻的消毒剂在C组；如果不平衡，那么轻的消毒剂在轻的一组；第二次称：取较轻的一组继续称量，这一份的3瓶取两瓶称量，如果有一瓶轻，那么这一瓶就是轻的消毒剂；如果达到平衡，那么未称量的消毒剂就是轻的那瓶。则至少2次能保证找出这瓶轻的消毒剂。
8．4
【分析】把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少，再利用天平平衡的特点，两份两份地称，直到找出次品。
【详解】第一次称量：把28个零件分成3份（9、9、10），先给天平两边分别放9个，会有两种情况出现；
情况一：左右平衡，则次品在剩下的10个中，即可进行第二次称量，把剩下的10个平均分成3份（3、3、4），将3个一组的分别放在天平的两边，若天平平衡，则次品在4个的一组中；若天平不平衡，则次品在托盘上升一边中，即3个一组中。若次品在4个的一组中，将次品所在的组平均分成3份（2，1，1）。将1个一组的分别放在天平两边，若天平不平衡，次品在托盘上升的一边中，若天平平衡，次品在2个一组中，再将这2个平均放在天平两端，较轻的一端即为次品。若次品在3个的一组中，将次品所在的一组平均分成3份，取其种任意两组进行称量后便可确定出次品。
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边9个中，将上升一边的9个分成3份（3、3、3），将3个一组的分别放在天平的两边，若天平平衡，则次品在另外3个的一组中；若天平不平衡，则次品在托盘上升一边中，接下来将次品所在的一组平均分成3份，取其种任意两组进行称量后便可确定出次品。
所以，用天平至少需要称4次，才能找到次品。
9． D E
【分析】根据题意，第一次A＋B比C＋D重，说明C、D中有一个重198克的“冰墩墩”；第二次E＋F比G＋H轻，说明E、F中有一个重198克的“冰墩墩”；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，说明A、C、E和B、D、H两组中各有一个重198克的“冰墩墩”。结合前两次的推论，B、D、H三者中，D重198克，那么C重200克，则A、C、E中E重198克。
【详解】通过分析可知，重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为D和E。
【点睛】本题考查找次品问题。根据每次称重结果，确定重198克的“冰墩墩”编号所在的范围是解题的关键。
10．2
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放.上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把8个零件尽可能平均分成三份，每份的零件个数分别是3、3、2；
再把零件个数相同的两份放在天平上称一称，若天平平衡，就能推断出次品在剩下的一份中，即次品在2个零件中；
若天平不平衡，也能推断出次品在轻的一份中，即次品在3个零件中。
最后不管次品在哪一份中，只要再称1次就能找出次品。
因此，8个零件里有一个次品（次品轻一些），至少称2次保证找出次品。
【点睛】本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。
11．4次
【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。
【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面；
第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；
第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒；
第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。
答：至少称量4次能找出轻的一盒。
【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。
12．4次
【分析】注意盐水的质量比水的质量重。找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。
【详解】把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶；
第一次：两端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中；
第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；称1次找出次品所在的3瓶，再称1次找出次品；共称3次；
②把次品所在的10瓶分成3、3、4，称1次找出次品所在的4瓶；再称1次找出次品所在的2瓶，再称1次找出次品，共称4次。
答：至少称4次能保证找出加盐的纯净水。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
13．（1）见详解；
（2）我的方法称3次可以保证找出来；
（3）不能称2次就保证把它找出来；
（4）一次有可能称出来
【分析】（1）由图示可知，一共有11筐桃，第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡， 则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份：1筐、1筐、1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃；
（2）用（1）的方法至少3次可以保证找到这筐桃；
（3）不能保证2次一定把它找出来；
（4）如果天平两侧各放5筐， 当天平平衡时，较轻的就是剩余的那一筐，所以称一次，有可能称出这筐桃。
【详解】（1）由图示可知，一共有11筐桃；第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份： 1筐、1筐、 1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃；
用 代表11筐桃；
（答案不唯一）
（2）3次是从11筐中保证找出较轻的1筐的最少称量次数；
（3）为了保证找出较轻的1筐，就必须考虑各种可能的情况，而不能靠偶然机遇，所以不能称2次就保证把它找出来；
（4）只有轻的1筐正好没称，才能保证一次称出来。
【点睛】本题主要考查了找次品的知识点，一定用考虑各种可能的情况，一一分析。
14．（1）数量是在244～729之间．（2）需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间
【分析】（1）观察表格中的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3需要4次，…据此可得需要6次测出的次品，数量在3×3×3×3×3＋1＝244和3×3×3×3×3×3＝729之间，据此即可解答；
（2）由上述分析可得，需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间。
【详解】（1）根据题干分析可得：
3×3×3×3×3＋1＝244
3×3×3×3×3×3＝729，
所以需要称量6次的待测物品的数量是在244～729之间；
（2）由上述分析可得，需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间。
所以答案是（1）数量是在244～729之间．（2）需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间。
15．第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；
第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为150克。
【分析】由题可知，小芳和小丽合买了一袋500克的果糖，小芳只要150克，但天平只有一个100克的砝码，又限制分糖次数为两次。先将500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；然后在天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，最后在100克砝码那边加糖，使天平平衡。据此即可解答。
【详解】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；
第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。
【点睛】此题考查的是对解决实际问题的能力，理解分两次，利用天平两边平衡，100克的砝码是解题的关键。

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