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探索图形
一、用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色．图①②③④中，三面、两面、一面涂色及没有涂色的小正方体各有多少块？
（1）完成下表．
三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
①
②
③
④
（2）先观察上边，再填空。
如果一个大的正方体每条棱上有n块（n≥3）小正方体，则：
①三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有一块，共有（ ）块．
②两面涂色的小正方体位于棱长上，每条棱长上有（ ）块，共有（ ）块．
③一面涂色的小正方体位于面上，每个面中间有（ ）块，共有（ ）块．
④没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，共有（ ）块．
（3）你能写出第⑨个大正方体中4类小正方体的块数吗？
二、下面这个图形是由8个小正方体拼成的，如果把这个图形的表面涂上红色，那么只有1个面涂红色的有( )个小正方体；只有2个面涂红色的有( )个小正方体；只有3个面涂红色的有( )个小正方体；只有4个面涂红色的有( )个小正方体；只有5个面涂红色的有( )个小正方体。
三、一个长方体的长、宽、高分别为6分米、5分米、4分米，把它的表面涂满红漆，然后切成棱长为1分米的小正方体若干块。这些小正方体中，三面有红色的有（ ）块，两面有红色的有（ ）块，一面有红色的有（ ）块，没有红色的有（ ）块。
四、一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
五、一个大立方体，在几个面上涂了颜色之后，然后切成小立方体，结果发现有45个立方体没有被涂颜色，请问原来的立方体有多大？—共涂了几个面？
六、如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
2探索图形
一、用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色．图①②③④中，三面、两面、一面涂色及没有涂色的小正方体各有多少块？
（1）完成下表．
三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
①
②
③
④
（2）先观察上边，再填空．
如果一个大的正方体每条棱上有n块（n≥3）小正方体，则：
①三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有一块，共有（ ）块．
②两面涂色的小正方体位于棱长上，每条棱长上有（ ）块，共有（ ）块．
③一面涂色的小正方体位于面上，每个面中间有（ ）块，共有（ ）块．
④没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，共有（ ）块．
（3）你能写出第⑨个大正方体中4类小正方体的块数吗？
【答案】（1）①8 0 0 0 ②8 12 6 1 ③8 24 24 8 ④8 36 54 27
（2）①8 ②n－2 12(n-2) ③(n-2)2 6(n-2)2 ④(n-2)3
（3）8 96 384 512
【详解】略
二、下面这个图形是由8个小正方体拼成的，如果把这个图形的表面涂上红色，那么只有1个面涂红色的有( )个小正方体；只有2个面涂红色的有( )个小正方体；只有3个面涂红色的有( )个小正方体；只有4个面涂红色的有( )个小正方体；只有5个面涂红色的有( )个小正方体。
【答案】 1 0 1 4 2
【分析】首先我们需要明确“把这个图形的表面涂上红色”，即底面也需要计算在其中。由于正方体有6个面，因此首先可以确定的是只有5个面涂红色的小正方体，即只有一面没有涂色的正方体，很显然两个独立凸出的小正方体即为所求，所以第（5）问：只有5个面涂红色的有2个小正方体；接下来考虑只有4个面涂红色的，即只有2个面被遮挡的，很显然几何体四个角上的小正方体即为所求，所以第（4）问：只有4个面涂红色的有4个小正方体；由于几何体是由8个小正方体拼成，现在已经确定了6个小正方体，剩下的2个我们可以通过排除法发现，即第2行第2列和第3行第2列这2个小正方体，其中第2行第2列的小正方体5个面均被遮挡，只有底面被涂色，因此这是只有1面涂色的小正方体；第3行第2列的小正方体3个面被遮挡（正面、左面、右面），因此这是只有3面涂色的小正方体；所以第（1）问：只有1个面涂红色的有1个小正方体，第（3）问：只有3个面涂红色的有1个小正方体；自此8个小正方体都已被找到，所以第（2）问：只有2个面涂红色的有0个小正方体。
【详解】根据分析可知，
下面这个图形是由8个小正方体拼成的，如果把这个图形的表面涂上红色，那么只有1个面涂红色的有1个小正方体；只有2个面涂红色的有0个小正方体；只有3个面涂红色的有1个小正方体；只有4个面涂红色的有4个小正方体；只有5个面涂红色的有2个小正方体。
【点睛】本题考查表面涂色的正方体，需要学生有较强的空间想象和推理能力。
三、一个长方体的长、宽、高分别为6分米、5分米、4分米，把它的表面涂满红漆，然后切成棱长为1分米的小正方体若干块。这些小正方体中，三面有红色的有（ ）块，两面有红色的有（ ）块，一面有红色的有（ ）块，没有红色的有（ ）块。
【答案】这些小正方体中，三面有红色的有8块，两面有红色的有36块，一面有红色的有52块，没有红色的有24块
【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（4×5×6）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；
在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成6个小正方体，所以一条长有（6－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成5个小正方体，所以一条宽有（5－2）个两面油漆的小正方体，高被切成4个小正方体，所以一条高有（4－2）个两面油漆的小正方体，所以用（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体；
在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体；
最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。
【详解】小正方体的总个数：（4×5×6）÷（1×1×1）
＝120÷1
＝120（块）
有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个，
两面涂色的有：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4
＝4×4＋3×4＋2×4
＝16＋12＋8
＝36（块）
一面涂色的有：[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2
＝[4×3＋4×2＋3×2]×2
＝[12＋8＋6]×2
＝26×2
＝52（块）
没有涂色的有：120－8－36－52＝24（块）
答：这些小正方体中，三面有红色的有8块，两面有红色的有36块，一面有红色的有52块，没有红色的有24块。
【点睛】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。
四、一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
【答案】125立方厘米
【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12＋2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。
【详解】大正方体每条棱上有小正方体：
36÷12＋2
＝3＋2
＝5（个）
大正方体的棱长：
1×5＝5（厘米）
大正方体的体积：
5×5×5＝125（立方厘米）
答：原来大正方体的体积是125立方厘米。
【点睛】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。
五、一个大立方体，在几个面上涂了颜色之后，然后切成小立方体，结果发现有45个立方体没有被涂颜色，请问原来的立方体有多大？—共涂了几个面？
【答案】125个小立方体大；4个
【分析】去掉涂了颜色的小正方体，没有被涂颜色的小立方体构成一个长方体，根据长方体体积＝长×宽×高，将45分解质因数，确定长方体的长、宽、高，最长的棱长即原大立方体的棱长。最长的棱长－较短棱长＝没有涂色的面，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出原立方体的大小。
【详解】45＝3×3×5
没有被涂颜色的部分是个3×3为底，高5的长方体。
大立方体的棱长是5
因为5－3＝2，所以大立方体的4个侧面都被涂色了，只有上下面没有。
5×5×5＝125
答：原来的立方体有125个小立方体大，一共涂了4个面。
【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。
六、如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
【答案】56平方米
【分析】求这些红色面积的总和，就是求这个立体图形露在外面的面积之和；从上面看，红色部分是（4×4）的正方形的面积；从侧面看，每个面是（1×4）的长方形、（1×3）的长方形、（1×2）的长方形、（1×1）的长方形，求出它们的和再乘4个面，就是侧面涂红色的面积，再与上面涂红色的面积相加，就是立体图形涂红色面积的总和。
【详解】上面红色部分的面积：4×4＝16（平方米）
四周的面积：
（1×4＋1×3＋1×2＋1×1）×4
＝（4＋3＋2＋1）×4
＝10×4
＝40（平方米）
一共：16＋40＝56（平方米）
答：这些红色面积的总和是56平方米。
【点睛】结合立体图形的结构特点，分别从上面、侧面看求出其表面积。
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