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(共20张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形　第2课时　矩形的判定
01
基础分点训练
02
中档提分升训练
03
拓展素养训练
目
录
基础分点训练
　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD. 下列说法能使四边形
ABCD为矩形的是（　C　）
A. AB∥CD B. AD＝BC
C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
C
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2. （2025 北京节选）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC
的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. 求
证：四边形DFCG是矩形.
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC.
∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形.
又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.
∴平行四边形DFCG是矩形.
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　对角线相等的平行四边形是矩形
3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如
一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是
（　B　）
A. AB＝CD B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. AB⊥BD
B
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4. 如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，点E，F，G，H分别是
OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形
EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形.
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　有三个角是直角的四边形是矩形
5. 下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　C　）
A. AC＝BD
B. AC⊥BD
C. ∠A＝∠C＝∠D＝90°
D. ∠ABC＝90°
C
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6. （2024 兰州节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的
中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. 求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形.
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中档提分升训练
7. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条
件是（　D　）
A. OA＝OC，OB＝OD
B. AB＝BC，AO＝CO
C. OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D. OA＝OB＝OC＝OD
D
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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动
点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值
为 .
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9. 开放性试题如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，
请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一
个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 ；（填序号）
①或②　
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（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
解：（2）选择①∠1＝∠2.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌DCM（SAS）.∴∠A＝∠D.
又∵∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.
选择②AM＝DM. 证明如下：
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SSS）.
∴∠A＝∠D＝90°.∴ ABCD为矩形.
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拓展素养训练
10. 推理能力如图，在△ABC中，AB＝AC. 将△ABC沿着
BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴∠B＝∠DEC. ∴∠ACB＝∠DEC.
∴OE＝OC. ∴△OEC为等腰三角形.
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（2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩
形，并说明理由.
题图　　
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解：（2）当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形.理由如下：
如解图，∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC.
∴∠AEC＝90°.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD＝CF.
∴AD∥EC，AD＝EC.
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形.
解图
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本课结束(共20张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱形　第1课时　菱形的性质
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 菱形的定义：有一组 相等的平行四边形叫作菱形.
2. 菱形的性质：菱形的四条边都 ；菱形的两条对角线互
相 ，且每一条对角线 ；菱形是轴对称图
形，它的 就是它的对称轴.
3. 菱形的面积等于底乘 .
4. 菱形的面积等于两条对角线 .
邻边　
相等　
垂直平分　
平分一组对角　
对角线所在的直线　
高　
乘积的一半　
基础分点训练
　菱形的定义与性质
1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　D　）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直且相等
D. 对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
D
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2. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（　A　）
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
A
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3. （2024 临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在
x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为
（　C　）
A. （－4，2） B. （－ ，4）
C. （－2，4） D. （－4， ）
C
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4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝
10，则菱形ABCD的周长为 .
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5. 推理能力如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD
上，且CE＝CF. 求证：∠BAE＝∠DAF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC＝CD.
∵CE＝CF，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
∴∠BAE＝∠DAF.
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　菱形的面积
6. （2025 云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相
交于点O. 若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 .
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中档提分升训练
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC
＝8，直线OE⊥AB于点E，且交CD于点F，则EF的长为（　A　）
A. 4.8 B. 2 C. 5 D. 6
A
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8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是
（　A　）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
A
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9. （2025 青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为
AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 .
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10. 运算能力如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边
AD，AB的中点.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE＝ AD，AF＝ AB. ∴AE＝AF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
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（2）若BE＝ ，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积.
解：（2）如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.
∴△ABD是等边三角形.
∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD.
∴∠ABE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴AB＝2AE.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋（ ）2＝（2AE）2，
解得AE＝1.
∴AB＝2AE＝2×1＝2.∴AD＝AB＝2.
∴S菱形ABCD＝AD BE＝2× ＝2 .
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拓展素养训练
11. 数形结合思想如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积
为8 ，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最
小值为 .
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本课结束(共18张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定　
第1课时　平行四边形的判定（一）
01
基础分点训练
02
中档提分升训练
03
拓展素养训练
目
录
基础分点训练
　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1. 如图，点P是 ABCD内的一点，过点P作直线EF，GH分别平行于
AB，BC，与 ABCD的边分别交于点G，F，H，E，则图中平行四
边形的个数为（　D　）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
D
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2. 如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝
∠CBE. 求证：四边形BCDE是平行四边形.
证明：∵EF∥AC，∴∠EDC＋∠C＝180°.
∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°.∴EB∥DC.
∵EF∥AC，即ED∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形.
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　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3. 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C
的度数为（　A　）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
A
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4. 如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以
点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接
CD，BC，则四边形ABCD是 ，理由是
.
平行四边形　
两组对边分别
相等的四边形是平行四边形　
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　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5. 下面给出了四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，
其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　D　）
A. 3∶2∶2∶4 B. 3∶1∶1∶1
C. 1∶2∶3∶4 D. 3∶1∶3∶1
6. 在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝ 时，
四边形ABCD是平行四边形.
D
132°　
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　对角线互相平分的四边形是平行四边形
7. 推理能力如图，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝
BD，连接AE，CE. 求证：四边形ABCE是平行四边形.
证明：∵BD是△ABC的边AC上的中线，
∴AD＝CD.
又∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形.
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中档提分升训练
8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝
90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积
为 .
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9. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延
长CD到点E，使DE＝DA，连接AE.
（1）求证：AE＝BC；
解：（1）证明：∵AB∥CD，∠B＝45°，
∴∠C＝180°－∠B＝180°－45°＝135°.
∵AD⊥CD，DE＝DA，∴∠E＝45°.
∴∠C＋∠E＝135°＋45°＝180°.∴AE∥BC.
又∵AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE＝BC.
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（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
解： （2）根据（1），得四边形ABCE是平行四边形.
∴CE＝AB＝3.
∴DA＝DE＝CE－CD＝3－1＝2.
∴S ABCE＝CE DA＝3×2＝6.
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拓展素养训练
10. 推理能力如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点
O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE.
（1）试判断四边形AECF和四边形ABCD的形状，并说明理由；
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解：（1）四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形.理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴OA＝OC，OE＝OF.
∵BE＝DF，
∴BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
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（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC的长.
解：（2）根据（1），得四边形AECF是平行四边形.
∴AE＝CF.
在Rt△AEF中，根据勾股定理，得
AE＝ ＝ ＝6.
∴CF＝AE＝6.
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE＋EF＝7＋8＝15.
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得
BC＝ ＝ ＝3 .
即BC的长为3 .
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本课结束(共17张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质　
第2课时　平行四边形性质的综合运用
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
目
录
学霸笔记
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫作这
两条平行线之间的距离.
距离　
基础分点训练
　平行四边形性质的综合运用
1. （2025 武威期末）如图，已知 ABCD的对角线AC和BD交于点O.
若AC＝12，BD＝8，则边AB的长度可能是（　B　）
A. 2 B. 8 C. 10 D. 14
B
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2. 应用意识如图，公园有一块绿地，它的形状是平行四边
形，在绿地上要修几条笔直的小路.已知AB＝15 m，AD＝12 m，
AC⊥BC. 求：
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（1）小路BC，CD，OC的长；
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝15 m，BC＝AD＝12 m，
OC＝OA＝ AC.
∵AC⊥BC，
∴AC＝ ＝ ＝9（m）.
∴OC＝ AC＝ ×9＝4.5（m）.
答：小路BC，CD，OC的长分别为12 m，15 m，4.5 m.
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（2）绿地的面积；（含小路）
解： （2）S绿地＝BC AC＝12×9＝108（m2）.
答：绿地的面积为108 m2.
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（3）AB，CD之间的距离.
解： （3）设AB，CD之间的距离为x m.
根据（2），得绿地的面积为108 m2.
∴CD x＝108.
根据（1），得CD＝15 m.
∴15x＝108.
解得x＝7.2.
答：AB，CD之间的距离为7.2 m.
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　平行线间的距离
3. 如图，已知直线l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错
误的是（　C　）
A. l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B. CE＝FG
C. 线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D. AC＝BD
C
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中档提分升训练
4. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为
E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 　 　.
　
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5. 如图，直线l1∥l2，l1和线段AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50
cm，则两平行线之间的距离是 cm.
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6. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EO⊥AC交BC
于点E，连接AE.
（1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵EO⊥AC，
∴AE＝CE.
∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝10 cm.
∴ ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2×10＝20（cm）.
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（2）若∠DAB＝108°，AE平分∠BAC，试求∠ACB的度数.
解：（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE.
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠ACB＝∠CAD.
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAD.
∵∠DAB＝∠BAE＋∠CAE＋∠CAD＝108°，
∴3∠CAD＝108°.
∴∠CAD＝36°.
∴∠ACB＝∠CAD＝36°.
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本课结束(共8张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
教材回归（五)　
平行四边形及特殊的平行四边形中的折叠问题
如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作30°的角，可以采用下面的（如图所示）：
（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片
展平.
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折
痕BM. 同时得到了线段BN，把纸片展平.
由此得到∠ABM，∠MBN和∠NBC都是30°，
请你写出证明过程.
证明：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，∠BEF＝∠AEF＝90°.
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕
BM，同时得到了线段BN，
∴AB＝BN.
∴BE＝ BN.
∵∠BEN＝90°，
∴∠BNE＝30°.
∴∠ABN＝90°－∠BNE＝90°－30°＝60°.
∴∠NBC＝∠ABC－∠ABN＝90°－60°＝30°.
根据折叠的性质，得∠ABM＝∠MBN＝30°.
∴∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.
【针对训练】
　平行四边形的折叠
1. 如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的
延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为
（　C　）
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
C
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　矩形的折叠
2. 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′
处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于（　C　）
A. 66° B. 60° C. 57° D. 48°
C
1
2
3
4
　菱形的折叠
3. 如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝
隙无重叠的四边形EFGH. 若EF＝4，EH＝3，则AB＝ .
5　
1
2
3
4
　正方形的折叠
4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边BC
上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是
（　B　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
B
1
2
3
4
本课结束(共22张PPT)
第二十一章　四边形
21.1　四边形及多边形
21.1.2　多边形及其内角和
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 多边形中的数量关系：
（1）顶点、边数、内角：一个n边形有 个顶点， 条
边， 个内角；
（2）对角线条数：n边形从一个顶点出发，能画出 条
对角线，将n边形分成 个三角形，共有 条对
角线.
注意：对于公式 的说明：①已知n可求对角线的条数；②已知对
角线条数，求n的值时，可用特殊值法.
n　
n　
n　
（n－3）　
（n－2）　
　
2. 正多边形需要同时满足各边都相等，且各角都相等.
3. n边形的内角和是 .
4. 多边形内角和公式与其边数的关系：
（1）已知多边形的边数，求多边形的内角的和，可以直接利用公式，
简单快捷；
（2）已知多边形的内角和，求多边形的边数，可以设边数为n，利用
多边形内角和公式建立方程，解方程就能求出边数.
×180°　
5. 多边形的外角和是 .
注意：多边形的外角和为定值，它与边数无关.
6. 正n边形的每个外角都相等，且每个外角都等于 .
7. 已知正多边形的一个外角为ɑ°，则正多边形的边数为 .
360°　
　
　
基础分点训练
　多边形及其概念
1. 从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，他们将五边形分成n
个三角形，则m＝ ，n＝ .
2. 过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为 ，这些对角线将
多边形分成了 个三角形，这个多边形共有 条对角线.
2　
3　
4　
5　
14　
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14
　正多边形
3. 下列说法：①正多边形的各边都相等；②各边都相等的多边形是正
多边形；③各角都相等的多边形一定是正多边形.其中结论正确的个数
有（　B　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
B
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　多边形的内角和
4. （2025 酒泉期末）若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形
的边数为（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
C
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5. 跨学科融合“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图1窗棂
的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 .
120°　
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　多边形的外角和
6. 正n边形的一个外角为30°，则n＝（　C　）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 14
C
7. 传统文如图，空窗是我国传统建筑装饰的一种形式，以下
空窗的轮廓是一个正八边形，这个正八边形的一个外角∠1＝ .
45°
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中档提分升训练
8. 一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角
线的总条数是（　C　）
A. 88 B. 80 C. 44 D. 40
9. 分类讨论思想一个多边形截去一个角后，形成另一个多
边形的内角和是2 520°，则原来多边形的边数是（　D　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17
C
D
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10. 如图，∠1是在五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝40°，则∠A＋
∠B＋∠C＋∠D的度数是（　B　）
A. 300° B. 400°
C. 500° D. 540°
B
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11. 如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为I. 若
∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
50°　
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12. 将正五边形与正方形按如图所示摆放，且正五边形的边AB与正方形
的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 .
18°　
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13. 注重学习过程探究归纳题：
【试验分析】
（1）如图1，经过点A可以作 条对角线；同样，经过点B可以
作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以
作 条对角线.通过以上分析和总结，图1共有 条对角线；
1　
1　
1　
1　
2　
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14
【拓展延伸】
（2）运用（1）的分析，可得：图2共有 条对角线；图3共
有 条对角线；
【探索归纳】
（3）对于n边形（n＞3），共有 条对角线；（用含n的代数
式表示）
5　
9　
　
【特例验证】
（4）十边形共有 条对角线.
35　
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拓展素养训练
14. 变式题已知一个多边形的边数为n.
（1）若该多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值；
解：（1）由题意，得 × ×180°－360°＝90°.
解得n＝5.
（2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为144°，求n的值.
解：（2）由题意，得144°×n＝ ×180°.
解得n＝10.
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本课结束(共17张PPT)
第二十一章　四边形
章末复行四边形的性质与判定
1. （2025 兰州校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是
（　B　）
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB∥DC，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO
D. AB＝DC，AD＝BC
B
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2. 如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，
CD于点E，F. 若AE＝10，则CF的长为 .
10　
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　平行线间的距离
3. 如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果
AB＝5 cm，BC＝4 cm，那么平行线l1，l2之间的距离为 cm.
3　
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　三角形的中位线
4. （2025 无锡）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.若
DE＝4，则BC的长为（　D　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
D
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　直角三角形斜边上的中线
5. 生活应用一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形
部件的尺寸.如图，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对
应的刻度为1，7，则CD＝（　B　）
A. 3.5 cm B. 3 cm
C. 4.5 cm D. 6 cm
B
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　矩形的性质与判定
6. 下列图形一定为矩形的是（　C　）
A B C D
C
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7. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，
BC于点M，N. 若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　A　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
A
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　菱形的性质与判定
8. （2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相
垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
第8题图
C
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9. （2025 巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相
交于点O，AO＝4，BO＝3，DH⊥AB于点H，DH的长为 .
第9题图
　
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10. 运算能力如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D
作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE.
（1）求证：四边形AECD是菱形；
解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED.
∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE.
∴∠AED＝∠ADE. ∴AE＝AD.
∴四边形AECD是菱形.
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（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积.
解：（2）根据（1），得四边形AECD是菱形.
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，
AC⊥DE.
∵△ACD的周长为36，
∴AC＝36－AD－CD＝36－10－10＝16.
∴OA＝OC＝ AC＝ ×16＝8.
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得
OD＝ ＝ ＝6.
∴DE＝2OD＝2×6＝12.
∴菱形AECD的面积＝ AC DE＝ ×16×12＝96.
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　正方形的性质与判定
11. （2024 兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边
三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝ .
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12. 推理能力如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点
P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
解：（1）四边形BPCO为平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝ BD.
根据题意，得BP＝ AC，CP＝ BD.
∴BP＝OC，CP＝OB.
∴四边形BPCO为平行四边形.
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（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是
正方形？
解：（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形
BPCO为正方形.
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°.
∵AC＝BD，OB＝ BD，OC＝ AC，
∴OB＝OC.
根据（1），得四边形BPCO为平行四边形.
∴四边形BPCO为正方形.
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　特殊四边形的分类讨论思想
13. 在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝9，P是菱形ABCD内一点，
PB＝PD＝3 ，则AP的长为 　3 或6 　.
3 或6 　
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本课结束(共21张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱形　第2课时　菱形的判定
01
基础分点训练
02
中档提分升训练
03
拓展素养训练
目
录
基础分点训练
　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1. 下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（　B　）
A. AB＝CD B. AB＝BC
C. ∠BAD＝90° D. AC＝BD
B
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2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
AE∥BC，CE∥AD. 求证：四边形ADCE是菱形.
证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝ BC＝CD. ∴平行四边形ADCE是菱形.
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　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使
得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　B　）
A. ∠ABC＝90° B. AC⊥BD
C. AB＝CD D. AB∥CD
B
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4. （2025 长春）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形.
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝OA2＋OB2.
∴∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
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　四条边相等的四边形是菱形
5. 开放性试题如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F
分别是AB，AC的中点，当△ABC满足
时，四边形AEDF是菱形.（只填一个）
AB＝AC或∠B＝∠C或BD
＝CD（答案不唯一）　
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6. 如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条
弧分别相交于点B和点D. 依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于
点O.
判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
解：四边形ABCD为菱形.理由如下：
根据题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5.
∴四边形ABCD为菱形.
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中档提分升训练
7. 开放性试题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四
边形ABCD为菱形.
AC⊥BD（答案不唯一）　
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8. 运算能力如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作
DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F.
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（1）求证：四边形BEDF是菱形；
解：（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝ ∠ABC.
∴∠ABD＝∠EDB.
∴BE＝DE.
∴四边形BEDF是菱形.
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（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边
长.
解：（2）如图，过点D作DH⊥BC于点H.
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC＝60°.
∵DH⊥BC，
∴∠DHF＝90°.
∴∠FDH＝90°－∠DFC＝90°－60°＝30°.
∴FH＝ DF.
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∴DH＝ ＝ ＝ DF.
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠C＝45°.∴DH＝HC.
∴DC＝ DH＝ × DF＝6，解得DF＝2 .
∴菱形BEDF的边长为2 .
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拓展素养训练
9. 推理能力如图，∠ACB＝60°，点P为∠ACB平分线上
的一点，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E. 点M是线段CP上的一个
动点（不与点C，P重合），连接DM，EM.
（1）求证：DM＝EM；
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解：（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，
PD⊥AC，PE⊥BC，
∴PD＝PE，∠DCM＝∠ECM.
在Rt△DCP和Rt△ECP中，

∴Rt△DCP≌Rt△ECP（HL）.∴CD＝CE.
在△DCM和△ECM中，

∴△DCM≌△ECM（SAS）.∴DM＝EM.
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（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说
明理由.
解：（2）当点M运动到线段CP的中点时，四边形
PDME为菱形.理由如下：
∵点P为∠ACB平分线上一点，
∴∠DCP＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
∴PC＝2PD，∠CPD＝90°－∠DCP＝90°－30°
＝60°.
∵PD＝PE，DM＝EM，
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∴当DM＝PD时，PD＝PE＝DM＝EM，则四边形PDME为菱形.
此时，△PDM为等边三角形.∴PD＝PM.
又∵PC＝2PD，∴CM＝PM.
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.
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本课结束(共15张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
专题训练（五)　平行四边形的证明思路
　利用边的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【针对训练】
1. 如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且AE＝CG，BF＝DH. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD.
∵BF＝DH，
∴AB－BF＝CD－DH，即AF＝CH.
又∵AE＝CG，
∴△AEF≌△CGH（SAS）.
∴EF＝GH.
同理，得△BGF≌△DEH.
∴FG＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形.
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2. 如图，点B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝
CD.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
证明：（1）∵点B是AC的中点，∴AB＝BC.
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD（SSS）.
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（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形.
证明：（2）如图，连接DE.
根据（1），得△ABE≌△BCD.
∴∠ABE＝∠BCD. ∴BE∥CD.
∵BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
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3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点
F，使得EF＝DE，连接CF. 求证：
（1）△CEF≌△AED；
证明：（1）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△CEF和△AED中，
∴△CEF≌△AED（SAS）.
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（2）四边形DBCF是平行四边形.
证明：（2）根据（1），得△CEF≌△AED.
∴∠FCE＝∠A.
∴BA∥CF.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
∴四边形DBCF是平行四边形.
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　利用角的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角
分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
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4. 如图，在 ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交边CD，AB
于点F，E. 求证：
（1）∠1＝∠2；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC.
又∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC.
∴∠1＝∠2.
【针对训练】
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（2）四边形DEBF是平行四边形.
证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，∠A＝∠C.
根据（1），得∠1＝∠2.
∴∠CDE＝∠ABF.
∵∠DEB＝∠A＋∠1，∠BFD＝∠C＋∠2，
∴∠DEB＝∠BFD.
又∵∠CDE＝∠ABF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
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　利用对角线的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的对角线上，则应考虑利用“对角
线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分
别是OA，OC的中点.求证：BE＝DF.
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证明：如图，连接BF，DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OC.
∴OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴BE＝DF.
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6. 如图，在 ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与
AD，BC 分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD 分别相交于点
G，H，连接EG，FG，FH，EH. 求证：四边形EGFH 是平行四边
形.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，

∴△OAE≌△OCF（ASA）.
∴OE＝OF.
同理，得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
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本课结束(共17张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.3　三角形的中位线
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
目
录
学霸笔记
1. 三角形的中位线的定义：连接三角形两边 的线段叫作三角
形的中位线.
2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线 于三角形的第三
边，并且等于第三边的 .
中点　
平行　
一半　
基础分点训练
　三角形的中位线
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝
45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　D　）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°
D
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2. （2025 河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为
1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，
CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　）
A. B. 1 C. D.
B
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3. 如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，BE＝
3，DF＝1，则BC的长度为 .
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　三角形中位线定理的应用
4. （2024 兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观
之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，
E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为
（　C　）
A. 18 m B. 24 m C. 36 m D. 54 m
C
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5. 生活应用如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点
O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地
时，另一端B离地面的高度为 cm.
80　
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中档提分升训练
6. （2025 资阳）三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成
的三角形的周长是（　B　）
A. 12 cm B. 24 cm
C. 28 cm D. 30 cm
B
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7. （2025 广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中
点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
C
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8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，
连接AD，E，F分别为AC，AD的中点，连接EF，若∠ACD＝
120°，则线段EF的长度为 .
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9. 推理能力如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB
的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
解：（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，BC＝2DE.
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF.
∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形DEFB是平行四边形.
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（2）若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，求四边形DEFB的
周长.
解：（2）根据（1），得BC＝2DE＝2×4＝8（cm），BF＝DE
＝4 cm，四边形DEFB是平行四边形.
∴BD＝EF.
∵D是AC的中点，AC＝12 cm，
∴CD＝ AC＝ ×12＝6（cm）.
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝ ＝ ＝10（cm）.
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE＋BD）＝2×
（4＋10）＝28（cm）.
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本课结束(共20张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质
　第1课时　平行四边形的边、角、对角线的性质
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 两组对边分别 的四边形叫作平行四边形.平行四边形用符号
“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ”.
2. 平行四边形的对边 且 ，对角相等.
平行　
　
ABCD　
平行　
相等　
基础分点训练
　平行四边形的定义
1. 如图，剪两张两边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的
一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 .
平行四边形　
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　平行四边形的边、角的性质
2. 如图，在 ABCD中，已知AB＝4 cm，若 ABCD的周长为32 cm，
则BC的长为（　B　）
A. 4 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 28 cm
B
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3. （2025 定西模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝
130°，则∠D的度数为（　B　）
A. 65° B. 115° C. 110° D. 150°
B
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4. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E；CF平分
∠BCD，交AD于点F. 求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD.
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.∴AE＝CF.
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　平行四边形的对角线互相平分
5. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的
是（　C　）
A. OA＝OB B. OA⊥OB
C. OA＝OC D. ∠OBA＝∠OBC
C
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　平行四边形的面积
6. （2025 天水期末）如图，在 ABCD中，过点A分别作BC，CD的
垂线段，垂足为E，F，若BC＝4，AE＝4，CD＝5，则线段AF的长
为（　B　）
A. 3 B. 3.2 C. 3.6 D. 4
B
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中档提分升训练
7. 几何直观如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是
（0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是（　D　）
A. （－4，1） B. （8，－2）
C. （4，1） D. （8，2）
D
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8. 如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交
BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD
的周长为（　C　）
A. 28 B. 26 C. 24 D. 20
C
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9. 如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于
点E，连接AE. 求证：CD＝CE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC. ∴∠ADE＝∠CED.
∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠CED＝∠CDE. ∴CD＝CE.
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拓展素养训练
10. 推理能力如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，延
长CE交BA的延长线于点F.
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（1）求证：AB＝AF；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠DCE＝∠F.
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE.
在△DEC和△AEF中，
∴△DEC≌△AEF（AAS）.
∴DC＝AF.
又∵AB＝DC，
∴AB＝AF.
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（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数.
解： （2）解：根据（1），得△DEC≌△AEF.
∴EC＝EF.
∵AB∥DC，∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°－∠BCD＝180°－100°＝80°.
根据（1），得AB＝AF.
∴BF＝2AB.
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC.
又∵EF＝EC，
∴BE平分∠FBC.
∴∠ABE＝ ∠FBC＝ ×80°＝40°.
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本课结束(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.1　四边形及多边形
21.1.1　四边形及其内角和
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 在 内，由不在同一直线上的四条线段 相接组
成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的 ，每
相邻两条线段的公共端点叫作四边形的 .
2. 连接四边形不相邻的两个顶点的 ，叫作四边形的 .
3. 四边形相邻两边组成的角叫作四边形的 ，简称四边形的
角；四边形的角与另一边的延长线组成的角叫作四边形的 .
4. 四边形的内角和等于 .
5. 四边形的外角和等于 .
6. 四边形具有 .
平面　
首尾顺次　
边　
顶点　
线段　
对角线
内角　
外角　
360°　
360°　
不稳定性　
基础分点训练
　四边形的相关概念
1. 如图，该四边形的顶点分别是 ，边分别
是 ，对角线是 .
A，B，C，D　
AB，BC，CD，AD　
AC，BD　
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　四边形内角和及外角和
2. 若四边形的内角中有一个角为60°，则其余三个内角之和
为 .
3. 变式题求下列图形中x的值.
解：∵四边形的内角和等于360°，
∴（180－x）＋120＋75＋80＝360.
解得x＝95.
300°　
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　四边形的性质
4. 航空航天2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用
与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩
自如，灵活性强，其原理主要是运用了（　B　）
A. 三角形的稳定性
B. 四边形的不稳定性
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 两点之间线段最短
B
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5. 下列图形中，具有稳定性的是（　D　）
A B
C D
D
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中档提分升训练
6. 如果一个四边形的一组对角互补，那么它的另一组对角的关系是
（　B　）
A. 互余 B. 互补
C. 相等 D. 大小关系不能确定
B
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7. 变式题下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是 .
①和②
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8. 直接写出下列图形中x的值.
（1）图1：x＝ ；
（2）图2：x＝ .
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9. 新定义试题我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不
相等的凸四边形叫作“等对角四边形”.已知：如图，四边形ABCD是
“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠B＝80°.求∠C，
∠D的度数.
解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，
∴∠D＝∠B＝80°.
∵∠A＝75°，
∴∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－75°－80°－80°＝
125°.
∴∠C，∠D的度数分别为125°，80°.
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拓展素养训练
10. 新定义试题规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧
四边形.例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D
＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形.
（1）如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，
∠B，∠C的比是4∶3∶2，则∠D的度数为 ；
90°　
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（2）如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋ ∠A，△ABC的
两个外角∠MBC，∠BCN的角平分线交于点E，判断四边形DBEC是
否为智慧四边形，并说明理由.
解：（2）四边形DBEC为智慧四边形.理由如下：
∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的角平分线交于点E，
∴∠CBE＝ ∠MBC，∠BCE＝ ∠NCB.
∴∠CBE＋∠BCE＝ ∠MBC＋ ∠NCB
＝ （∠MBC＋∠NCB）
＝ （180°－∠ABC＋180°－∠ACB）
＝ （180°＋∠A）
＝90°＋ ∠A.
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∴90°＋ ∠A＋∠E＝180°.
又∵∠BDC＝90°＋ ∠A，
∴∠BDC＋∠E＝180°.
∴四边形DBEC为智慧四边形.
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本课结束(共21张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形第　1课时　矩形的性质
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 矩形的定义：有一个角是直角的 叫作矩形，矩形也
就是长方形.
2. 矩形的性质：矩形的对边 ；矩形的四个角都是
；矩形的对角线 .
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
平行四边形　
平行且相等　
直
角　
互相平分且相等　
一半　
基础分点训练
　矩形的定义与性质
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论
一定正确的是（　C　）
A. AB＝AD B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠ACB＝∠ACD
C
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2. （2024 甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　C　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
C
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3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于
点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为
（　D　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
D
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　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4. 应用意识某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径.
如图，小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径
相交处.若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间
的距离为（　A　）
A. 0.5 km B. 0.6 km
C. 0.8 km D. 1 km
A
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5. 已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D地位于
A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 km.
　
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6. （2025 福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是
斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 m.
4　
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中档提分升训练
7. （2025 绥）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一
个交角为60°，则这个矩形的面积是（　B　）
A. 25 B. 25 C. 25 D. 50
B
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8. （2025 兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相
交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点
P. 若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　C　）
A. 95° B. 100° C. 110° D. 145°
C
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9. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝
8，AD＝DE＝10，则BF的长为 .
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10. 如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF.
求证：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.
∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）.∴AF＝DE.
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拓展素养训练
11. 推理能力如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
（1）求证：DB＝DE；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝DB.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形.
∴AC＝DE.
∵AC＝DB，∴DB＝DE.
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（2）若∠DOC＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积.
解： （2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝ AC，OD＝ BD，
AC＝BD.
∴OA＝OD. ∴∠ODA＝∠OAD.
∵∠DOC是△AOD的一个外角，
∴∠DOC＝∠ODA＋∠OAD＝120°.
∴∠ODA＝60°.∴∠DBA＝90°－60°＝30°.
∵DB＝DE＝2，
∴AD＝ DB＝ ×2＝1.
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在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
AB＝ ＝ ＝ .
∴S矩形ABCD＝AD AB＝1× ＝ .
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本课结束(共20张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.3　正方形
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 定义：一组 ，并且有一个角是 的
叫作正方形.
2. 性质：正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对角线
互相 且 ，并且每一条对角线平分一组 .
邻边相等　
直角　
平行四边
形　
直角　
相等　
垂直平分　
相等　
对角　
3. 正方形的判定：
（1）一组 ，并且有一个角是 的平行四边形是正
方形.
（2）一组 的矩形是正方形.
（3）对角线 的矩形是正方形.
（4）有一个角是 的菱形是正方形.
（5）对角线 的菱形是正方形.
邻边相等　
直角　
邻边相等　
互相垂直　
直角　
相等　
基础分点训练
　正方形的定义与性质
1. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此
正方形的面积为（　C　）
A. 3 B. 12 C. 18 D. 36
C
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2. 变式题如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连
接BE，则∠CBE的度数为（　B　）
A. 15° B. 75° C. 20° D. 12.5°
B
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　正方形的判定
3. （2025 乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O. 小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条
件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组
合是 .（只需填一种组合即可）
①②或①③（答案不唯一）　
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4. 如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足
分别是E，F，且BF＝CE. 求证：四边形AEDF是正方形.
证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠A＝∠DFA＝∠DFB＝∠DEC＝∠DEA＝90°.∴四边形AEDF是
矩形.
∵点D是Rt△ABC斜边BC的中点，
∴BD＝CD.
又∵BF＝CE，∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.
∴DF＝DE. ∴四边形AEDF是正方形.
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中档提分升训练
5. 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，AB＝5，
CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是（　D　）
A. B. 4 C. D.
D
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6. 几何直观如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD
的对角线AC，BD相交于原点O. 若点A的坐标是（2，1），则点C的
坐标是 .
（－2，－1）　
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7. 运算能力如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的
两点，且BE＝DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
解： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.
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（2）若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积.
解：（2）如图，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝3 .
∴AC＝BD＝ ＝ ＝6.
∵BE＝DF＝2，
∴EF＝BD－BE－DF＝6－2－2＝2.
∴S四边形AECF＝ AC EF＝ ×6×2＝6.
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拓展素养训练
8. 推理能力如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝
CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
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证明：（1）在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SSS）.∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADE.
∴∠CDE＝∠CBD. ∴CD＝BC.
∵AD＝CD，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形.
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（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是
正方形.
证明：（2）∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°× ＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°.
∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝45°＋45°＝90°.
∴四边形ABCD是正方形.
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本课结束(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定　
第2课时　平行四边形的判定（二）
01
基础分点训练
02
中档提分升训练
03
拓展素养训练
目
录
基础分点训练
　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1. 几何直观依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的
是（　C　）
A B C D
2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，当CD＝ 时，这个四
边形是平行四边形.
C
4　
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3. 如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且
AM＝CN. 求证：DM＝BN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AM＝CN，
∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形.
∴DM＝BN.
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　平行四边形判定的灵活选用
4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列条件中不能判断四边
形ABCD是平行四边形的是（　B　）
A. OA＝OC，OB＝OD
B. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BC
D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
B
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5. 开放性试题如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，OA＝OC，请补充一个条件：
，使四边形ABCD是平行四边形.
OB＝OD或AD∥BC或
AB∥CD（答案不唯一）　
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6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO
的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF. 求证：四
边形AODF是平行四边形.
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证明：∵AF∥BD，
∴∠EAF＝∠EOB，∠AFE＝∠OBE.
∵点E为AO的中点，
∴AE＝OE.
在△AEF和△OEB中， ∴△AEF≌△OEB（AAS）.
∴AF＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∴AF＝OD.
又∵AF∥OD，
∴四边形AODF是平行四边形.
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中档提分升训练
7. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有
平行四边形（　D　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
D
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8. 分类讨论思想如图，点A，B，C的坐标分别是（0，
2），（2，2），（0，－1），那么以点A，B，C，D为顶点的平行四
边形的第四个顶点D的坐标是 .
（－2，－1）或（2，－1）或（2，5）
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9. 变式题如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF
过点O分别交BC，AD于点E，F，点G，H分别为OB，OD的中点，
求证：四边形GEHF是平行四边形.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO，AD＝BC，AD∥BC.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△FOD和△EOB中，

∴△FOD≌△EOB（ASA）.
∴FO＝EO.
∵点G，H分别为OB，OD的中点，且BO＝DO，
∴GO＝HO.
∴四边形GEHF是平行四边形.
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拓展素养训练
10. 分类讨论思想如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运
动，到点D即停止.点Q从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，到点B
即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP
和四边形PQCD，当P，Q两点同时出发，几秒时所截得的两个四边形
中，其中一个四边形为平行四边形？
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解：设当P，Q两点同时出发，t s（0≤t≤15）时四边形ABQP或四边
形PQCD为平行四边形.
根据题意，得AP＝t cm，PD＝（24－t）cm，
CQ＝2t cm，BQ＝（30－2t）cm.
分情况讨论：
①若四边形ABQP是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴还需满足AP＝BQ，
即t＝30－2t，解得t＝10.
∴出发10 s时四边形ABQP是平行四边形.
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②若四边形PQCD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴还需满足PD＝CQ，
即24－t＝2t，解得t＝8.
∴出发8 s时四边形PQCD是平行四边形.
综上所述，当P，Q两点同时出发，8 s或10 s时所截得的两个四边形
中，其中一个四边形为平行四边形.
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本课结束(共9张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
专题训练（六)中点四边形
1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，
DA的中点.则下列说法：
①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.
其中正确的个数是（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
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2. 如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD
和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE. 若EH＝3EF，则下列结论
正确的是（　D　）
A. AB＝ EF B. AB＝2 EF
C. AB＝3EF D. AB＝ EF
D
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3. 如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2的值为（　A　）
A. 64 B. 18
C. 36 D. 48
A
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4. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的面
积是 .
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5. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四
边形.
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下：
如解图1，已知任意四边形ABCD，E，F，G，H分别是各边中点，连
接BD.
在△ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝ BD.
在△BCD中，G，F分别是DC，BC的中点，
∴GF∥BD，GF＝ BD.
∴EH∥GF，EH＝GF.
∴四边形EFGH为平行四边形.
解图1　　　　　　
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（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
解：（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下：
如解图2，已知任意平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，
AB，BC，DC的中点，连接AC，DB.
根据三角形中位线定理，得EF∥AC，EF＝ AC，MN∥AC，MN＝
AC.
∴EF∥MN，EF＝MN.
∴四边形EFMN为平行四边形.
　　　　　　解图2
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（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什
么？
解：（3）任意矩形的中点四边形为菱形.
任意菱形的中点四边形为矩形.
任意正方形的中点四边形为正方形.理由略
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本课结束

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