资源简介 (共15张PPT)第二十章 勾股定理专题训练（四) 利用勾股定理求最短路径问题20.2 勾股定理的逆定理及其应用 平面上的最短路径问题1. 节约资源如图，两个村庄A，B在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村输送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20 000元.请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的总费用最少，并求出铺设水管的总费用.1234567解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点O，则点O即为所求水厂位置.此时铺设水管的总费用最少.过点A′作BD的垂线，交BD的延长线于点F.根据题意，得DF＝CA′＝AC＝1 km，A′F＝CD＝3 km，则BF＝BD＋DF＝3＋1＝4（km）.在Rt△BA′F中，根据勾股定理，得BA′＝ ＝ ＝5（km）.即水管长度为OA＋OB＝BA′＝5 km.∴铺设水管的总费用＝20 000×5＝100 000（元）.即铺设水管的总费用为100 000元.1234567 立体图形中的最短路径问题立体图形中最短路径基本模型如下：图例圆柱长方体、正方体阶梯问题基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解1234567题型1 圆柱中的最短路径问题2. 如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） 米.4 12345673. 如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行.从点A爬到点B的最短路程约是多少厘米？（结果保留小数点后一位）题图 1234567解：如解图，画出圆柱的侧面展开图.∵圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，∴AD＝6π cm，BD＝10 cm.∴AB＝ ＝＝ ≈21.3（cm）.答：从点A爬到点B的最短路程约是21.3 cm.解图12345674. 如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处.1234567（1）求蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离；解：（1）将圆柱形玻璃杯的示意图沿侧面展开，如解图1，过点C作CD⊥AD，垂足为D.根据题意，得CD＝ ×18＝9（cm），AD＝12－4－4＝4（cm）.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC＝ ＝ ＝ （cm）.答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm.1234567（2）若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其他条件不变，请你求出此时蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离. 解图1 解图2解：（2）将圆柱形玻璃杯的示意图沿侧面展开，如解图2，作点A关于EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离.则DQ＝A′E＝AE＝4 cm，A′D＝ ×18＝9（cm），CQ＝12－4＝8（cm）.∴CD＝CQ＋DQ＝8＋4＝12（cm）.在Rt△A′DC中，根据勾股定理，得A′C＝ ＝ ＝15（cm）.答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.1234567题型2 长方体、正方体中的最短路径问题5. 如图是一个长方体，AB＝3，BC＝5，AF＝6，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，则所用绳子的长度最短为（ A ）A. 10 B. C. 8 D.A1234567【解析】如图是将长方体的右侧面展开的示意图，与上表面在同一平面内，连接AG，交DE于点P，此时所用绳子的长度最短.根据题意，得AD＝BC＝5，DC＝AB＝3，CG＝AF＝6，∴AC＝AD＋DC＝5＋3＝8.在Rt△ACG中，AG＝ ＝ ＝10.12345676. 如图，一个3×3的魔方放在桌子上，该魔方每一个小方格的边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B，最少要用 秒.2.5 1234567题型3 阶梯中的最短路径问题7. 如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点.A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程为 dm.25 1234567本课结束(共10张PPT)第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用教材回归(四) 勾股定理与网格中的三角形如图，每个小正方形的边长都为1.（1）求四边形ABCD的面积和周长；解：（1）根据勾股定理，得AB2＝52＋12＝26，则AB＝ ；BC2＝42＋22＝20，则BC＝2 ；CD2＝22＋12＝5，则CD＝ ；AD2＝12＋42＝17，则AD＝ .∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝ ＋2 ＋ ＋＝ ＋3 ＋ ；四边形ABCD的面积＝5×5－ ×（1×5＋4×2＋2×1＋4×1）－1×1＝14.5.解：（1）根据勾股定理，得AB2＝52＋12＝26，则AB＝ ；BC2＝42＋22＝20，则BC＝2 ；CD2＝22＋12＝5，则CD＝ ；AD2＝12＋42＝17，则AD＝ .∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝ ＋2 ＋ ＋＝ ＋3 ＋ ；四边形ABCD的面积＝5×5－ ×（1×5＋4×2＋2×1＋4×1）－1×1＝14.5.（2）∠BCD是直角吗？请说明理由.解：（2）∠BCD是直角.理由如下：如图，连接BD.根据（1），得BC2＝20，CD2＝5.∵BD2＝32＋42＝25，BC2＋CD2＝20＋5＝25，∴CD2＋BC2＝BD2.∴∠BCD＝90°.∴∠BCD是直角.【针对训练】1. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：（1）判断△ABC的形状，并说明理由；解：（1）△ABC是直角三角形.理由如下：根据勾股定理，得AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋42＝25，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形.123（2）求△ABC的面积.解：（2）根据（1），得AB＝ ，AC＝ ＝2 .∴S△ABC＝ AB AC＝ × ×2 ＝5.1232. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成：（1）从点A出发画线段AB，AC，并连接BC，使AB＝ ，AC＝2 ，BC＝ ，且使B，C两点也在格点上；解：（1）如图所示，线段AB，AC，BC即为所求.（答案不唯一）AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝ .123（2）请求出图中△ABC的面积.解：（2）S△ABC＝2×4－ ×2×1－ ×2×2－ ×4×1＝3.1233. 如图，在5×5的正方形网格中，设每个小正方形的边长都为1.已知点A在格点上（即小正方形的顶点）.请你按下列要求回答问题：（1）画一个直角三角形△ABC，使得斜边AB＝ ，点A，B，C在格点上，且另外两边长都是无理数；解：（1）如图所示，△ABC即为所求.（答案不唯一）（2）AB边上的高的长度为 . 123本课结束(共20张PPT)第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用01学霸笔记02基础分点训练03中档提分升训练04拓展素养训练目录学霸笔记1. 如果三角形的三边长ɑ，b，c满足 ，那么这个三角形是 三角形.2. 能够成为直角三角形三条边长的三个 ，称为勾股数.例如，在ɑ2＋b2＝c2中，当ɑ，b，c为 时，称ɑ，b，c为一组勾股数.ɑ2＋b2＝c2 直角 正整数 正整数 基础分点训练 勾股定理的逆定理1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ B ）A. 3，4，5 B. 7，12，13C. 1，1， D. 9，12，152. 将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形是（ C ）A. 钝角三角形 B. 锐角三角形C. 直角三角形 D. 等腰三角形BC13456789101112131423. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为ɑ，b，c，且（ɑ＋b）（ɑ－b）＝c2，则（ A ）A. ∠A为直角 B. ∠C为直角C. ∠B为直角 D. 不是直角三角形A12345678910111213144. 推理能力已知ɑ，b，c是△ABC的三边长，且满足＋｜ɑ－b｜＝0，则△ABC的形状为 .5. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB＋∠PBA＝ °.等腰直角三角形45 34567891011121314126. 若ɑ，b，c满足（6－ɑ）2＋ ＋ ＝0.（1）求ɑ，b，c的值；解：（1）∵（6－ɑ）2＋ ＋ ＝0，∴6－ɑ＝0，b－8＝0，10－c＝0.∴ɑ＝6，b＝8，c＝10.（2）以ɑ，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由.解：（2）以ɑ，b，c为边长能构成直角三角形.理由如下：∵ɑ2＋b2＝62＋82＝100，c2＝102＝100，∴ɑ2＋b2＝c2.即以ɑ，b，c为边长能构成直角三角形.3456789101112131412 勾股数7. 数学文我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ D ）A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5C. 5，10，13 D. 3，4，58. 下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（ B ）A. 7 B. 17 C. 19 D.DB3456789101112131412中档提分升训练9. 推理能力如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为（ B ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10B345678910111213141210. 变式题“扬帆”号、“远征”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“扬帆”号每小时航行16海里，“远征”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.若“扬帆”号沿东北方向航行，则“远征”号的航行方向是（ D ）A. 西南方向B. 西北方向C. 东南方向D. 西北方向或东南方向D345678910111213141211. （2025 扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 .11，60，61 345678910111213141212. 分类讨论思想如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2 cm/s和1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形.或 345678910111213141213. 应用意识如图是一块形状为四边形的试验田，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝13，BC＝8，CD＝4 ，AD＝5，请你帮助农民伯伯计算这块试验田的面积.3456789101112131412解：在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，根据勾股定理，得BD＝ ＝ ＝ ＝12.在△ABD中，AD2＋BD2＝52＋122＝25＋144＝169，AB2＝132＝169，∴AD2＋BD2＝AB2.∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝ ＋ ＝ ＋ ＝16＋30.答：这块试验田的面积为16 ＋30.3456789101112131412拓展素养训练14. 如图，在△ABC中，AB＝6 ，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为（ B ）A. 4 B.C. 5 D. 3B3456789101112131412本课结束(共20张PPT)第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用第1课时 勾股定理的认识01学霸笔记02基础分点训练03中档提分升训练04拓展素养训练目录学霸笔记勾股定理：如图，如果直角三角形的两条直角边长分别为ɑ，b，斜边长为c，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.ɑ2＋b2＝c2 基础分点训练 勾股定理的认识与证明1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应边的边长分别是ɑ，b，c，∠C＝90°，则下列说法中，正确的是（ D ）A. ɑ＋b＝c B. ɑ2＋c2＝b2C. c2＋b2＝ɑ2 D. ɑ2＋b2＝c2D12345678910112. 如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：∵S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ，∴S1＋S2＝S3，即 2＋ 2＝ 2.4 9 13 AC BC AB 1234567891011 利用勾股定理进行计算3. 生活应用1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形.如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ A ）A. 2，3，5 B. 3，4，5C. 6，8，13 D. 5，12，14A12345678910114. 在直角三角形中，若勾为6，弦为10，则股为 .5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若ɑ＝7，b＝24，则c＝ ；（2）若ɑ＝4，c＝7，则b＝ ；（3）若c＝ ，b＝2 ，则ɑ＝ .8 25 12345678910116. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝BC＝5，AE为BC边上的高，AE＝3.求CE的长.解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.∴△AEB为直角三角形.在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝3，根据勾股定理，得BE＝ ＝ ＝4.∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.1234567891011中档提分升训练7. 几何直观如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为ɑ，b，c，d.若ɑ＝2，b＋c＝12，则d为（ B ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 14B12345678910118. 分类讨论思想在Rt△ABC中，已知两边长为5，12，则第三边的长为 .9. 生活应用一个零件的形状如图所示，已知∠A＝∠CBD＝90°，AC＝6 cm，AB＝8 cm，BD＝20 cm，则CD＝ cm.13或 10 123456789101110. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC.（1）求∠A的度数；解：（1）∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB.∴∠EBA＝∠A.∵BE平分∠ABC，∴∠EBA＝∠CBE，且∠C＝90°.∵∠CBE＋∠EBA＋∠A＋90°＝180°，∴3∠A＋90°＝180°.∴∠A＝30°.1234567891011（2）若CE＝1，求AB的长.解：（2）∵∠CBE＝∠EBA＝∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝1，∴BE＝2CE＝2×1＝2，AB＝2BC.∴BC＝ ＝ ＝ .∴AB＝2BC＝2× ＝2 .1234567891011拓展素养训练11. 注重学习过程问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边长c＝13，求△ABC的面积.解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为ɑ，b，则ɑ＋b＋c＝ .∵c＝13，∴ɑ＋b＝ .∴（ɑ＋b）2＝ .∴ɑ2＋ ＝289.30 17 289 b2＋2ɑb 1234567891011∴△ABC的面积＝ ɑb＝ × ＝ .（第2步）60 30 ∵ɑ2＋b2＝c2，∴c2＋2ɑb＝289.∴ ＋2ɑb＝289.∴ɑb＝ .（第1步）132 60 合作探究：（1）补全上面的填空；（2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 ；（填序号）①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想.① 1234567891011迁移：（3）已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个直角三角形的周长.解：（3）设这个直角三角形的两直角边长分别是ɑ，b（ɑ，b均为正数），则②×4，得2ɑb＝96.∵（ɑ＋b）2＝ɑ2＋2ɑb＋b2＝100＋96＝196，∴ɑ＋b＝14.∴两条直角边的和为14.∴这个直角三角形的周长＝14＋10＝24.1234567891011本课结束(共23张PPT)第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用第3课时 利用勾股定理作图与计算01学霸笔记02基础分点训练03中档提分升训练04拓展素养训练目录学霸笔记与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较容易找到它的对应点.若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难.我们可借助 作出长为 （n为大于1的整数）的线段.实数 勾股定理 基础分点训练 在数轴上表示无理数1. 如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为2，AB⊥BC，垂足为B，且BC＝3，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 . 1234567891011122. 动手实践在数轴上作出表示 的点.解：如图所示，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在直线l上取点B，使AB＝1，以原点O为圆心，以OB的长为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.123456789101112 勾股定理与网格作图3. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（ D ）A. B.C. D.D1234567891011124. 如图，网格中小正方形的边长为1，则△ABC的周长为（ B ）A. 16 B. 12＋4C. 7＋7 D. 5＋11B1234567891011125. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 . 123456789101112 等腰三角形中的勾股定理6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，若AB＝AC＝4，则AD的长是（ C ）A. 4 B. 2 C. 2 D. 4C1234567891011127. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）A. （1，1） B. （1， ）C. （ ，1） D. （ ， ）B123456789101112中档提分升训练8. 如图，数轴上点A表示的数为－1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则点B′所表示的数为（ A ）A. －1 B. － ＋1C. ＋1 D.A1234567891011129. 变式题如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，OA0＝A0A1＝A1A2＝…＝1，则第n个直角三角形的面积为 . 12345678910111210. 为了比较 ＋1与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得 ＋1 .（填“＞”“＜”或“＝”）＞ 12345678910111211. 动手实践如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求.图1123456789101112 图3（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；解：（2）如图2所示，Rt△DEF即为所求.（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是5.解：（3）如图3所示，正方形PQRS即为所求.（答案不唯一） 图2123456789101112拓展素养训练12. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.123456789101112（1）直接写出线段AE和BD之间的关系；解：（1）AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∴∠ECA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°.∴∠ECA＝∠DCB.∵CE＝CD，CA＝CB，∴△ECA≌△DCB.∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB.∴∠ADB＝∠CDB＋∠EDC＝∠CEA＋∠EDC＝90°.∴AE⊥BD.即AE＝BD，AE⊥BD.123456789101112（2）猜想线段AE，AD，AC之间的数量关系，并证明你的猜想；解：（2）AE2＋AD2＝2AC2.证明如下：∵△ADB是直角三角形，∴AD2＋BD2＝AB2.∵AE＝BD，AB2＝AC2＋BC2，AC＝BC，∴AE2＋AD2＝2AC2.（3）若AE＝ ，AD＝ ，则AC的长为 . 123456789101112本课结束(共15张PPT)第二十章 勾股定理章末复习 两个定理定理1 勾股定理1. 运算能力如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为 的是（ B ）A. 线段ABB. 线段BCC. 线段ACD. 线段BDB1234567891011定理2 勾股定理的逆定理2. 如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10.若AC边上的高为BH，则BH的长为 . 1234567891011 一个概念概念1 勾股数3. 下列各组数中，是勾股数的是（ A ）A. 5，12，13 B. 7，9，11C. 6，9，12 D. 0.3，0.4，0.5A1234567891011 两种应用应用1 勾股定理的应用（1）边长计算4. 应用意识如图，一支17 cm的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅笔的粗细不计），笔筒内部底面直径为9 cm，内壁高为12 cm，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度x（cm）的范围为 .2≤x≤5 1234567891011（2）折叠问题5. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F. 若AF＝ cm，则AD的长为（ C ）A. 4 cm B. 5 cmC. 6 cm D. 7 cmC1234567891011（3）最值问题6. 如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点，一只蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为 . 1234567891011（4）网格作图7. 动手实践如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，请在下图中画出一个三角形，使其周长为 ＋ ＋ ，所画图形各顶点与网格中的小正方形顶点重合.解：如图所示，△ABC即为所求.（答案不唯一）1234567891011应用2 勾股定理的逆定理的应用8. 科学技术森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响.1234567891011（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵AB＝1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m，∴AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.∴S△ABC＝ AC BC＝ AB CD，即600×800＝1 000CD，解得CD＝480.∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响，480＜500，∴着火点C受洒水影响.1234567891011（2）若该飞机的速度为14 m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？解：（2）如图，当EC＝FC＝500 m时，飞机正好喷到着火点C.在Rt△CDE中，ED＝ ＝ ＝140（m）.∴EF＝2ED＝2×140＝280（m）.∵飞机的速度为14 m/s，∴280÷14＝20（s）.∵20＞15，∴着火点C能被扑灭.1234567891011 两种思想思想1 分类讨论思想9. 若直角三角形两边的长分别为ɑ，b且满足 ＋｜b－4｜＝0，则第三边的长是 .3或 1234567891011思想2 方程思想10. 运算能力如图，在Rt△ABC中，P为BC边上一点，已知△ABC的周长为30，PC＝5，AC＝10，则斜边AB的长为（ D ）A. 13.5 B. 12C. 13 D. 12.5D123456789101111. 生活应用如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1 m，将它往前推送4 m（水平距离BC＝4 m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度.解：在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2.根据题意，得CD＝CE－DE＝BF－DE＝2－1＝1（m）.设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x－1）m.故x2＝42＋（x－1）2，解得x＝8.5.答：绳索AD的长度是8.5 m.1234567891011本课结束(共9张PPT)第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用教材回归（二）勾股定理与图形面积如图，分别以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆.求证：所得两个月形图案AGCE和BHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ABC的面积.证明：∵△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2.∵以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆，∴S半圆ACB＝ π AB2，S半圆AEC＝ π AC2，S半圆CFB＝ π CB2.∴S半圆ACB＝S半圆AEC＋S半圆CFB.又∵S阴影＝S半圆AEC＋S半圆CFB＋SRt△ABC－S半圆ACB，∴S阴影＝SRt△ABC.∴所得两个月形图案AGCE和BHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ABC的面积.【针对训练】1. 古代文如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ A ）A. 4 B. 4π C. 8π D. 8A123452. 数学文如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为ɑ，较短直角边长为b.若ɑb＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（ C ）A. B. 2 C. D. 3C123453. 如图，直线l上有三个正方形ɑ，b，c，若ɑ，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ C ）A. 4 B. 6 C. 16 D. 55C123454. 如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图1所示的“勾股树”.在如图2所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为ɑ，b，c，d，则ɑ2＋b2＋c2＋d2＝ .图1 图2m2 123455. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积记为S1，以AD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边长向外作正方形，其面积记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 025的值为 .2－2 022 12345本课结束(共17张PPT)第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用第2课时 勾股定理的应用01基础分点训练02中档提分升训练03拓展素养训练目录基础分点训练 勾股定理的应用1. 生活应用如图是从草原上的蒙古包前面看到的图形，蒙古包底面直径是12米，中间最高点D距地面4.5米，则AD的长度为（ D ）A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 米D1234567892. 生活应用如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面6 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝8 m，则树高为（ C ）A. 8 m B. 10 mC. 16 m D. 18 mC1234567893. 生活应用如图，小巷左右两侧是竖直的墙面，一架梯子斜靠在左墙面时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在右墙面时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为（ C ）A. 0.7 m B. 1.5 mC. 2.2 m D. 2.4 mC1234567894. 如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两棵树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行 m.10 1234567895. 应用意识如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB－BE＝2.5－1.6＝0.9（米）.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD＝ ＝ ＝1.5 .答：AD为1.5米.123456789 利用勾股定理求两点间的距离6. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），B（1，0），C（0，1），则B，C两点之间的距离是 ，A，C两点之间的距离是 ，A，B两点之间的距离是 . 5 5 123456789中档提分升训练7. 变式题《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”题意是有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图），则水深为 尺.12 1234567898. 生活应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB＝ ＝ ＝12（米）.∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13－0.5×10＝8（米）.∴AD＝ ＝ ＝ （米）.∴BD＝AB－AD＝（12－ ）米.答：船向岸边移动了（12－ ）米.123456789拓展素养训练9. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以200 km/h的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域.123456789（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？解：（1）A城会受到这次台风的影响.理由如下：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M.在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600 km，∴AM＝ AB＝ ×600＝300（km）.∵300＜500，∴A城会受到这次台风的影响.123456789（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？解： （2）如图，在BC上分别取两点D，G，连接DA，GA，使DA＝GA＝500 km.∵DA＝GA，∴△ADG是等腰三角形.∵AM⊥BC，∴AM是DG的垂直平分线.∴MD＝MG.在Rt△ADM中，DA＝500 km，AM＝300 km，根据勾股定理，得MD＝ ＝ ＝400（km）.则DG＝2MD＝2×400＝800（km）.∴A城遭受这次台风影响的时间＝800÷200＝4（h）.答：A城遭受这次台风影响的时间为4 h.123456789本课结束(共14张PPT)第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用教材回归(三) 方程思想在勾股定理中的应用一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺.）解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10－x）尺.根据勾股定理，得x2＋32＝（10－x）2，解得x＝4.55.答：折断处离地面的高度是4.55尺.【针对训练】 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系1. 求下列直角三角形中未知的边长.图1 图212345678解：如图1，设AC＝x（x＞0）.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴（2x）2＝x2＋32.∴x＝ 或x＝－ （负值舍去）.∴AC＝ ，AB＝2 .如图2，设AC＝x.∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴x2＋x2＝（3 ）2.∴x＝3或x＝－3（负值舍去）.∴AC＝BC＝3.12345678图1 图2 共高的双直角三角形中边的数量关系 AB2－BD2＝AC2－CD2 AC2－CD2＝AB2－BD2123456782. 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积.解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D.设BD＝x，则CD＝14－x.根据勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－（14－x）2.∴152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9.∴AD＝ ＝12.∴S△ABC＝ BC AD＝ ×14×12＝84.123456783. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高.求线段AD的长.解：设AD＝x，则BD＝5＋x.∵CD⊥AB，∴∠D＝90°.∴CD2＝BC2－BD2＝AC2－AD2.∴82－（5＋x）2＝52－x2，解得x＝ .∴线段AD的长为 .12345678 利用图形的折叠找两边的数量关系4. 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.已知AB＝6，△ABF的面积是24，则CF的长为（ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B123456785. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ D ）A. B. 2 C. D.D123456786. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ A ）A. B.C. D.A123456787. 如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 .4 12345678 利用勾股定理和方程思想求点的坐标8. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求B，D，E三点的坐标.12345678解：∵四边形OABC是长方形，∴BC＝AO＝10，AB＝OC＝8，∠B＝∠OCB＝90°.∴点B的坐标为（10，8）.根据题意，得折痕AD是四边形OAED的对称轴.在Rt△ABE中，AE＝AO＝10.∴BE＝ ＝ ＝6.∴CE＝BC－BE＝4.∴点E的坐标为（4，8）.在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.∵DE＝OD，∴（8－OD）2＋42＝OD2.∴OD＝5.∴点D的坐标为（0，5）.12345678本课结束 展开更多...... 收起↑ 资源列表 章末复习.pptx 教材回归(三) 方程思想在勾股定理中的应用.pptx 教材回归(四) 勾股定理与网格中的三角形.pptx 教材回归（二）勾股定理与图形面积.pptx 第1课时 勾股定理的认识.pptx 第2课时 勾股定理的应用.pptx 第3课时 利用勾股定理作图与计算.pptx 20.2 勾股定理的逆定理及其应用.pptx 专题训练（四) 利用勾股定理求最短路径问题.pptx
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