资源简介

(共22张PPT)
第十九章 二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，可将被开方数相乘后再
开方.
＝ 　 　（ɑ≥0，b≥0）.
2. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平
方根的积.
＝ 　 　（ɑ≥0，b≥0）.
　
　
基础分点训练
　二次根式的乘法
1. （2025 兰州）计算： × ＝（　B　）
A. 6 B. C. D. 1
2. 下列各式中，与 的乘积为有理数的是（　C　）
A. B. C. 2 D.
B
C
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3. 计算：
（1） × ；
解：原式＝ .
（2） × .
解：原式＝ .
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　积的算术平方根
4. 将 简后的结果是（　C　）
A. 2 B. C. 2 D. 4
5. 简二次根式 的结果是（　B　）
A. －2 B. 2 C. ±2 D.
6. 使等式 ＝ 成立的条件
是 .
C
B
x≥1　
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7. 简：
（1） ；
解：原式＝ ×
＝5×3＝15.
（2） （x≥0，y≥0，z≥0）.
解：原式＝
＝2 y
＝2y
＝2yz .
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　二次根式乘法的综合计算
8. 变式题如果一个三角形的一边长是2 ，这条边上的高是
，那么这个三角形的面积是（　A　）
A. 5 B. 10 C. 5 D. 10
A
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9. 计算：
（1）6 ×3 ；
解：原式＝6×3
＝18
＝18×5
＝90 .
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（2）5 .
解：原式＝5
＝5
＝10x .
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中档提分升训练
10. 对于任意实数ɑ，下列各式中一定成立的是（　D　）
A. ＝
B. ＝ɑ＋6
C. ＝－4
D. ＝5ɑ2
D
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11. 将－2 根号外面的数移到根号里面，其结果为 　－ 　.
12. 若点（x，y）在第四象限，则简 的结果是 .
－ 　
－xy
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13. 计算：
（1） × × ；
解：原式＝
＝
＝4 .
（2）5 2 .
解：原式＝10
＝10x .
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14. 跨学科融合交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计
车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16 ，其中v表示车速（单
位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因
数.在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝0.6，该路段限速60
km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由.（参考数据： ≈1.4，
≈1.7）
解：该汽车没有超速.理由如下：
根据题意，得v＝16 ＝16×2 ＝32 ≈32×1.7
＝54.4（km/h）.
∵54.4＜60，
∴该汽车没有超速.
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拓展素养训练
15. 阅读理解问题观察下列各式及其验证过程：
2 ＝ ，
验证：2 ＝ ＝ ＝ ＝ ；
3 ＝ ，
验证：3 ＝ ＝ ＝ ＝ .
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（1）按照上述两个等式验证过程的基本思路，请你猜想4 的变形结
果并进行验证；
解：（1）4 ＝ .
验证： 4 ＝ ＝ ＝ ＝ 　.
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（2）针对上述各式反映的规律，将这个规律用含n（n为自然数，且
n≥2）的等式表示出来，并验证.
解：（2）n ＝ .（n为自然数，且n≥2）
验证：n ＝ ＝ ＝
＝ .
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本课结束
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15(共10张PPT)
第十九章 二次根式
专题训练（一）二次根式运算得常见题型
　二次根式的计算
题型1　利用运算法则进行计算
1. 计算：
（1） ÷ ＋ × － ；
解：原式＝ ＋ －
＝4＋ －2
＝4－ .
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（2）（2 －2）× －（2 ＋3 ）÷ .
解：原式＝4 －2 －2 －3
＝ －4 .
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题型2　利用乘法公式进行计算
2. 计算：
（1）（ ＋1）2＋（ －2）2－2（ ＋1）（ －2）；
解：原式＝［（ ＋1）－（ －2）］2
＝（ ＋1－ ＋2）2
＝32
＝9.
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（2）（ ＋ － ）2－（ － ＋ ）2；
解：原式＝［（ ＋ － ）＋（ － ＋ ）］ ［（ ＋
－ ）－（ － ＋ ）］
＝2 （2 －2 ）
＝4 －4 .
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（3） ＋ 　　.
解：原式＝ ＋
＝ ＋（ － ）
＝ ＋ －
＝2 － .
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　二次根式的简求值
题型1　简后求值
3. 先简，再求值： ＋ ÷ ，其中x＝ ＋1，y
＝ .
解：原式＝
＝
＝ .
当x＝ ＋1，y＝ 时，
原式＝ ＝ .
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题型2　利用整体思想求值
4. 已知x＝1＋ ，y＝1－ ，求（x＋y）2－xy－2x－2y的值.
解：∵x＝1＋ ，y＝1－ ，
∴x＋y＝2，xy＝－2.
∴原式＝（x＋y）2－xy－2（x＋y）
＝22－（－2）－2×2
＝2.
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　利用二次根式加减运算的特征求字母的取值（范围）或式子
的值
5. 已知ɑ，b是正整数，且 ＋ ＝ ，求ɑ＋b的值.
解：由 ＋ ＝ ，知 ， ， 是可以合并的二次
根式.
∵ ＝ ＝3 ，
∴可设 ＝m ， ＝n ，且m，n均是正整数，则m
＋n ＝3 ，
即（m＋n） ＝3 .∴m＋n＝3.
∴ 或 ∴ 或 ∴ɑ＋b＝1 110.
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本课结束(共10张PPT)
第十九章 二次根式
专题训练（二）二次根式运算中的易错点
　混淆运算律与法则
1. 计算：
（1）3÷ × ；
解：原式＝3× ×
＝1.
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（2） ÷ ；
解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ .
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（3） ×2 － × ＋ ÷2 .
解：原式＝4 ×2 － ＋
＝8 .
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　计算结果未简
2. 计算：
（1） －4 ＋ ÷ ；
解：原式＝3 －2 ＋
＝3 －2 ＋2
＝3 .
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（2） ＋ －（ ＋ ）；
解：原式＝2 ＋ － －
＝2 ＋ － .
（3） － － ＋（ －2）0＋ .
解：原式＝3 － －1－ ＋1＋ －1
＝ －1.
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　未先简而直接代入求值
3. 已知x＝ ，y＝ ，则代数式x2－3xy＋y2的值为 .
95　
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解：原式＝ x－x2＋x2－5
＝ x－5.
当x＝ － 时，
原式＝ （ － ）－5
＝6－2 －5
＝1－2 .
4. 先简，再求值：x（ －x）＋（x＋ ）（x－ ），其中x
＝ － .
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　未注意隐含条件
5. 如果y＝ ＋1 013成立，则xy＝ .
6. 简： －（ ）2.
解：观察原式，得 ＝ ＝｜2x－1｜，
（ ）2＝2x－3.∵2x－3≥0，
∴x≥ .∴2x－1＞0.
∴原式＝｜2x－1｜－（2x－3）
＝2x－1－2x＋3
＝2.
2 026　
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本课结束
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6(共19张PPT)
第十九章 二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第2课时　二次根式的混合运算
01
基础分点训练
03
拓展素养训练
目
录
02
中档提分升训练
基础分点训练
　二次根式的混合运算
1. 简 （ ＋2）的结果是（　A　）
A. 2＋2 B. 2＋
C. 4 D. 3
2. 计算 × － 的结果是（　B　）
A. 7 B. 6
C. 7 D. 2
3. 计算：（ －3 ）÷ ＝ .
A
B
3　
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4. 变式题计算：
（1） （2025 甘肃） － × ；
解：原式＝2 －
＝ .
（2） － ÷ ；
解：原式＝3 －2 ÷2
＝3 －
＝2 .
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（3）（ ＋2）（ ＋3）.
解：原式＝3＋3 ＋2 ＋6
＝5 ＋9.
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　乘法公式在二次根式混合运算中的应用
5. （2025 河北）计算：（ ＋ ） （ － ）＝
（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 已知ɑ＝ ＋2，b＝ －2，则ɑ＋b＝ 　2 　，ɑb＝ .
7. 若ɑ－b＝2 －1，ɑb＝ ，则（ɑ＋1）（b－1）的值是 .
8. 计算：（2 － ）2＝ 　14－4 　.
B
2 　
1　
－
14－4 　
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9. 应用意识已知一个长方形的长为（2 ＋3 ） cm，宽
为（2 －3 ） cm，则该长方形的面积为 cm2.
10. 变式题已知x＝ ＋1，y＝ －1.求下列各式的值：
（1）x2－2xy＋y2；
解：x2－2xy＋y2＝（x－y）2.
∵x＝ ＋1，y＝ －1，
∴x－y＝（ ＋1）－（ －1）＝2.
原式＝22＝4.
2　
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（2）x2－y2.
解：x2－y2＝（x＋y）（x－y）.
∵x＝ ＋1，y＝ －1，
∴x＋y＝（ ＋1）＋（ －1）＝2 ，
x－y＝（ ＋1）－（ －1）＝2.
原式＝2 ×2＝4 .
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中档提分升训练
11. 已知m＝1＋ ，n＝1－ ，则代数式 的值为
（　B　）
A. 10 B. C. ±10 D. 4
12. 程序计算题按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为
，则最后输出结果是（　C　）
A. 14 B. 16
C. 8＋5 D. 14＋
B
C
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13. 计算：（ －3）2 026 （ ＋3）2 025＝ 　 －3　.
－3　
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14. 计算：
（1） （2024 甘肃） － × ；
解：原式＝3 －3
＝0.
（2）（2 ＋7 ）（7 －2 ）；
解：原式＝（7 ）2－（2 ）2
＝98－24
＝74.
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（3） ÷ ＋（1－ ）2＋ ；
解：原式＝ ＋1－2 ＋2＋2
＝4＋1－2 ＋2＋2
＝7.
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解法二：用平方差公式计算
原式＝［（ɑ ＋b ）＋（ɑ －b ）］［（ɑ ＋b ）－
（ɑ －b ）］
＝2ɑ 2b
＝4ɑb .
（4）（ɑ ＋b ）2－（ɑ －b ）2.
解：解法一：用完全平方公式计算
原式＝（ɑ2b＋2ɑb ＋b2ɑ）－（ɑ2b－2ɑb ＋b2ɑ）
＝4ɑb .
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拓展素养训练
15. 阅读理解问题先阅读，后解答：
＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝3＋ .
像上述解题过程中， 与 相乘、（ － ）与（ ＋ ）相
乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理因
式，上述解题过程也称为分母有理.
（1） 的有理因式是 　 　， ＋4的有理因式是 ；
　
－4
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（2）计算： ＋ ＋ ＋…＋ .
解：（2）原式＝ ＋ ＋
＋…＋

＝ －1＋ － ＋ － ＋…＋ －
＝ －1
＝45－1
＝44.
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本课结束(共23张PPT)
第十九章 二次根式
19.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. （ɑ≥0）表示ɑ的 ，也就是说， （ɑ≥0）是一
个非负数，即 0（ɑ≥0）.
2. 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
＝｜ɑ｜＝
算术平方根　
≥　
基础分点训练
　 ≥0（ɑ≥0）
1. 若 ＋｜y－2｜＝0，则xy＝ .
2. 当x＝ 时，式子2 025－ 有最大值，且最大值
为 .
　（ ）2＝ɑ（ɑ≥0）的计算
3. 计算（ ）2的结果是（　B　）
A. 225 B. 15
C. ±15 D. －15
1　
2 024　
2 025　
B
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4. 计算：（1）（ ）2＝ ；
（2）（－2 ）2＝ ；
（3）2＝ 　 　；（4）2＝ .
0.15　
12　
　
2　
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5. 把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
（1）6＝ ；
（2）3.4＝ ；
（3） ＝ 　2　；
（4）x＝ （x≥0）.
（ ）2　
（ ）2　
2　
（ ）2　
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　 ＝ɑ（ɑ≥0）的计算
6. 计算 等于（　B　）
A. ±2 B. 2 C. 4 D.
7. （2025 张掖期中）若 ＝－ɑ，则实数ɑ在数轴上的对应点一定在
（　C　）
A. 原点左侧 B. 原点右侧
C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧
B
C
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8. 数形结合思想若实数ɑ，b在数轴上的位置如图所示，则
简 ＋ － 的结果是 .
0　
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9. 变式题计算：
（1） ；
解：原式＝0.2.　　
（2） ；
解：原式＝ .
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（4） .
解：原式＝ .
（3）－ ；
解：原式＝－ .
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中档提分升训练
10. 下列计算正确的是（　D　）
A. ＝±3
B. ＝x－3
C. ＝－3
D. ＝3－2
D
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11. 已知m为正整数，若 是整数，则根据 ＝
＝3 可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，
若 是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
12. 若某三角形的三边长分别为2，5，n，则简 ＋
的结果为 .
13. 已知y＝ －x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 025时，
所对应y值的总和是 .
3　
75　
5　
2 037　
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（1）2＋ － ；
解：原式＝ ＋0.3－
＝0.3.
（2） － ＋0.
解：原式＝2－ － ＋1
＝ － .
14. 计算：
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15. 注重学习过程若x＜2，简 ＋ ，小明
的解答过程如下：
解：原式＝ ＋（4－x）第一步
＝x－2＋4－x 第二步
＝2.第三步
（1）小明的解答从第 步出现错误，错误的原因是用错了性
质： ；
二　
＝ ＝－ɑ（ɑ＜0）　
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（2）写出正确的解答过程.
解：（2）∵x＜2，
∴x－2＜0，4－x＞0.
∴原式＝ ＋（4－x）
＝2－x＋4－x
＝6－2x.
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拓展素养训练
16. 阅读理解问题阅读下列解题过程：
例：若代数式 ＋ ＝2，
求ɑ的取值范围.
解：原式＝｜2－ɑ｜＋｜ɑ－4｜，
当ɑ＜2时，原式＝（2－ɑ）＋（4－ɑ）＝6－2ɑ＝2，解得ɑ＝2（舍
去）；
当2≤ɑ＜4时，原式＝（ɑ－2）＋（4－ɑ）＝2，等式恒成立；
当ɑ≥4时，原式＝（ɑ－2）＋（ɑ－4）＝2ɑ－6＝2，解得ɑ＝4；
所以ɑ的取值范围是2≤ɑ≤4.
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上述解题过程主要运用了分类讨论的，请你根据上述理解，解答下
列问题：
（1）当3≤ɑ≤7时，简： ＋
；
解：（1）∵3≤ɑ≤7，
∴3－ɑ≤0，ɑ－7≤0.
∴ ＋ ＝｜3－ɑ｜＋｜ɑ－7｜＝（ɑ－3）＋（7
－ɑ）＝ɑ－3＋7－ɑ＝4.
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（2）若 ＋ ＝6，求ɑ的取值；
解：（2）原式＝｜ɑ＋1｜＋｜ɑ－3｜.
当ɑ＜－1时，原式＝－（ɑ＋1）＋（3－ɑ）＝－2ɑ＋2＝6，解得ɑ
＝－2；
当－1≤ɑ≤3时，原式＝（ɑ＋1）＋（3－ɑ）＝4，等式不成立；
当ɑ＞3时，原式＝（ɑ＋1）＋（ɑ－3）＝2ɑ－2＝6，解得ɑ＝4.
∴ɑ的值为－2或4.
（3）请直接写出满足 ＋ ＝5的ɑ的取值范
围： .
1≤ɑ≤6　
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本课结束(共8张PPT)
第十九章 二次根式
专题训练（三） 二次根式运算中的类比归纳思想
　规律探究型
1. 观察下列各式：
S1＝ ＝1＋ ；
S2＝ ＝1＋ ；
S3＝ ＝1＋ ；
…
请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝ .
50 　
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3
2. 观察下列等式：
第1个等式： ＝ ；
第2个等式： ＝ ；
第3个等式： ＝ ；
　　　　　　　　　…
根据上述规律，解答下面的问题：
1
2
3
（1）请写出第4个等式；
解：（1）∵第1个等式： ＝ ＝ ＝ ，
第2个等式： ＝ ＝ ＝ ，
第3个等式： ＝ ＝ ＝ ，
∴第4个等式＝ ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ .
1
2
3
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明.
解：（2）根据（1），得第n个等式＝ ＝ （n为正
整数）.证明如下：
∵左边＝ ＝
＝ ＝ ，
∴左边＝右边.
∴等式成立.
1
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　阅读理解型
3. 阅读材料：
　　小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如3＋2 ＝（1＋ ）2.善于思考的小明进行了以下探索：
设ɑ＋b ＝（m＋n ）2（其中ɑ，b，m，n均为整数），则有ɑ＋
b ＝m2＋2n2＋2mn .所以ɑ＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到
了一种把形如ɑ＋b 的式子为完全平方式的.
请你仿照小明的探索并解决下列问题：
（1）当ɑ，b，m，n均为正整数时，若ɑ＋b ＝（m＋n ）2，用
含m，n的式子分别表示ɑ，b，得ɑ＝ ，b＝ ；
m2＋3n2　
2mn　
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（2）利用所探索的结论，请找一组正整数ɑ，b，m，n填空：
＋ ＝（ ＋ ）2；
（3）若ɑ－6 ＝（m－n ）2且ɑ，m，n均为正整数，求ɑ的值.
解：（3）∵ɑ－6 ＝（m－n ）2，
∴ɑ－6 ＝m2－2mn ＋5n2.
∴mn＝3，m2＋5n2＝ɑ.
∵ɑ，m，n均为正整数，
∴m＝3，n＝1，ɑ＝14或m＝1，n＝3，ɑ＝46.
故满足条件的ɑ的值为14或46.
13　
4　
1　
2　
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3
本课结束
1
2
3(共25张PPT)
第十九章 二次根式
章末复习
　两个概念
概念1　二次根式
1. 在式子：① ；② ；③ （x＞－1）；④
；⑤ ；⑥ 中，是二次根式的有 .
（填序号）
③④⑥　
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（1） ；
解：由2x＋1≥0，得x≥－ .
当x≥－ 时， 在实数范围内有意义.
（2） － ；
解：由 得2≤x≤3.
当2≤x≤3时， － 在实数范围内有意义.
2. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
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（3） .
解：由x＋1≥0，且x－3≠0，得x≥－1，且x≠3.
当x≥－1，且x≠3时， 在实数范围内有意义.
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概念2　最简二次根式
3. 二次根式 ， ， ， ， 中，其中是最简二
次根式的有（　B　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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　五个性质的应用
性质1　（ ）2＝ɑ（ɑ≥0）的应用
4. 计算：（1）2＝ 　 　；
（2）（－ ）2＝ ；
（3）（－3 ）2＝ .
　
4　
18　
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性质2　 ＝｜ɑ｜的应用
5. 计算：（1） ＝ 　 　；
（2） ＝ 　 　；
（3） ＝ .
　
　
π－3.14　
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性质3　“双重”非负性［ ≥0（ɑ≥0）］的应用
6. （1）已知 ＋4的值最小，则x＝ 　 　，最小值是 ；
（2）已知 － ＝（x＋y）2，求x，y的值；
解：（2）根据题意，得x－2≥0，2－x≥0.∴x＝2.
∴（x＋y）2＝0，即（2＋y）2＝0，
∴y＝－2.
　
4　
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（3）已知 ＋ ＋｜z－1｜＝0，求xyz的值.
解：（3）根据题意，得 ≥0， ≥0，｜z－1｜≥0.
∵ ＋ ＋｜z－1｜＝0，
∴x－3＝0，y－4＝0，z－1＝0.
解得x＝3，y＝4，z＝1.
∴xyz＝3×4×1＝12.
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性质4　积的算术平方根性质的应用
7. 能使得 ＝ 成立的所有整数ɑ的和
是 .
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性质5　商的算术平方根性质的应用
8. 简下列二次根式：
（1） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（2） （ɑ＜0）.
解：原式＝ ＝－ .
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　二次根式的简及计算
9. 简：
（1） ；
解：原式＝ .
（2） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（3） ；
解：原式＝2ɑb2 .
（4） （ɑ＞0，b＞0，c＞0）.
解：原式＝ ＝ .
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10. 计算：
（1） ÷ ×2 －6 ；
解：原式＝3 × ×2 －6
＝12 －6
＝6 .
（2）（ －1）2－（5＋2 ）÷ ；
解：原式＝5－2 ＋1－（ ＋2）
＝4－3 .
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（3）｜ －2｜－ ＋（ ＋1）（ －1）.
解：原式＝（2－ ）－3＋（3－1）
＝1－ .
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11. 已知x＋y＝－4，xy＝2，求 ＋ 的值.
解：∵x＋y＝－4＜0，xy＝2＞0，
∴x＜0，y＜0.
∴原式＝ ＋
＝－ －
＝－
＝－ ×
＝2 .
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　四种应用
应用1　因式分解
12. 在实数范围内分解因式：
（1）x3－6x；
解：原式＝x（x2－6）
＝x（x＋ ）（x－ ）.
（2）2x2－10；
解：原式＝2（x2－5）
＝2（x＋ ）（x－ ）.
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（3）x4－6x2＋9.
解：原式＝（x2－3）2
＝（x＋ ）2（x－ ）2.
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应用2　比较大小
13. 比较下列各组数的大小：
（1）2 与 ；
解：（2 ）2＝12，（ ）2＝11.
∵12＞11，∴2 ＞ .
（2）－5 与－4 .
解：（5 ）2＝75，（4 ）2＝80.
∵75＜80，∴5 ＜4 .
∴－5 ＞－4 .
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应用3　实际应用
14. 生活应用裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形
银片的面积为 cm2，长为2 cm，则该长方形银片的宽为 　 　cm.
　
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15. 应用意识如图，李明家有一块长方形空地ABCD，长
BC为 m，宽AB为 m，现要在空地中挖一个长方形的水池（即
图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中长方形水池的长为（ ＋
1）m，宽为（ －1）m.
（1）求长方形空地ABCD的周长；（结果为最简二次根式）
解：（1）长方形空地ABCD的周长：
2×（ ＋ ）＝2×（6 ＋4 ）＝20 （m）.
答：长方形空地ABCD的周长为20 m.
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（2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千
克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
解：（2）种草莓的面积＝ × －（ ＋1）×（ －1）
＝48－（10－1）
＝39（m2）.
销售收入＝39×15×8＝4 680（元）.
答：销售收入为4 680元.
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应用4　规律探究
16. 观察下列各式：① ＝2 ；② ＝3 ；③ ＝
4 ；…请用含n（n≥1）的式子写出以上算式的规律： 　
.
＝（n＋1） 　
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　两种数学思想
思想1　整体思想
17. 运算能力已知x＝ ，y＝ ，求 ＋ 的值.
解：∵x＝ ，y＝ ，
∴x＋y＝ ＋ ＝ ，xy＝ × ＝ .
∴ ＋ ＝
＝
＝
＝12.
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思想2　数形结合思想
18. 实数ɑ，b在数轴上的位置如图所示，且｜ɑ｜＞｜b｜，简：
－ － .
解：根据数轴上ɑ，b的位置，得ɑ＜0，b＞0，ɑ＋b＜0.
∴原式＝｜ɑ｜－｜b｜－｜ɑ＋b｜
＝－ɑ－b＋ɑ＋b
＝0.
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本课结束(共14张PPT)
第十九章 二次根式
教材回归（一)
二次根式的双重非负性及的简
一、 （ɑ≥0）的双重非负性
当ɑ满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
解：（1）由ɑ＋2≥0，得ɑ≥－2.
当ɑ≥－2时， 在实数范围内有意义.
（2） ；
解：（2）由3－ɑ≥0，得ɑ≤3.
当ɑ≤3时， 在实数范围内有意义.
≥0，得ɑ≥－ .
当ɑ≥－ 时， 在实数范围内有意义.
解：（1）由ɑ＋2≥0，得ɑ≥－2.
当ɑ≥－2时， 在实数范围内有意义.
解：（2）由3－ɑ≥0，得ɑ≤3.
当ɑ≤3时， 在实数范围内有意义.
（3） ；
解：（3）∵ɑ2≥0恒成立，∴5ɑ2≥0.
当ɑ取任意实数时， 在实数范围内有意义.
（4） .
解：（4）由2ɑ＋1≥0，得ɑ≥－ .
当ɑ≥－ 时， 在实数范围内有意义.
解：（3）∵ɑ2≥0恒成立，∴5ɑ2≥0.
当ɑ取任意实数时， 在实数范围内有意义.
解：（4）由2ɑ＋1≥0，得ɑ≥－ .
当ɑ≥－ 时， 在实数范围内有意义.
【针对训练】
1. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是（　B　）
A. x≥0 B. x≥2
C. x≥－2 D. x≤2
2. 若 ＋ ＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是
（　C　）
A. x≥ B. x≤
C. x＝ D. x≠
B
C
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3. （1）若代数式 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范围
是 ；
（2）已知y＝ ＋ －24，则 ＝ .
4. 已知实数ɑ满足 ＋ ＝ɑ，求ɑ－2 0232的值.
解： 根据题意，得ɑ－2 024≥0，
解得ɑ≥2 024.
则原等式变形为（ɑ－2 023）＋ ＝ɑ，
∴ ＝2 023.
∴ɑ－2 024＝2 0232.
∴ɑ－2 0232＝2 024.
x≥－1且x≠0　
6　
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5. 运算能力先简，再求值： ÷ ，其中
实数x，y满足y＝ － ＋1.
解：原式＝
＝
＝ .
∵y＝ － ＋1，
∴x－2≥0，2－x≥0.∴x＝2.
∴y＝ － ＋1＝1.
∴当x＝2，y＝1时，原式＝ ＝2.
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二、 的简
简：　
（1） ；
解：（1）原式＝0.3.
（2） ；
（2）原式＝ .
（4）原式＝ ＝ .
解：（1）原式＝0.3.
解：（2）原式＝ .
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（3）－ ；
（3）原式＝－π.
（4） .
（4）原式＝ ＝ .
解：（3）原式＝－π.
解：（4）原式＝ ＝ .
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【针对训练】
6. 简 －（ ）2得（　C　）
A. 2 B. －4x＋4
C. x D. 5x－2
7. 已知实数ɑ在数轴上的对应点位置如图所示，则简 －
的结果是（　A　）
A. 2ɑ－3 B. －1
C. 1 D. 3－2ɑ
C
A
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8. 实数ɑ，b在数轴上对应点的位置如图所示，简 ＋
－（ ）2的结果为（　C　）
A. 2b－ɑ B. ɑ
C. －2b－ɑ D. －3ɑ
9. 计算： ＋ .
解：原式＝｜π－3.14｜＋｜3.14－π｜
＝π－3.14＋π－3.14
＝2π－6.28.
C
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10. 推理能力有如下一组二次根式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
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…
（1）求①，②，③，④的值；
解：（1）①原式＝ ＝3.
②原式＝ ＝15.
③原式＝ ＝35.
④原式＝ ＝63.
（2）仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式，并求值；
解： （2）第⑤个二次根式为 ， ＝99.
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（3）仿照①，②，③，④，⑤，写出第n（n为自然数，且n≥1）个
二次根式，并简.
解：（3）第n个二次根式为 （n为自然数，且
n≥1）.
简：
　　　＝
　　　＝
　　　＝（2n－1）（2n＋1）
　　　＝4n2－1.
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本课结束(共20张PPT)
第十九章 二次根式
19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 一般地，我们把形如 （ɑ≥0）的式子叫作二次根式，
“ ”称为二次根号.二次根式也是代数式.
2. 二次根式 有意义的条件是 .
　

ɑ≥0　
基础分点训练
　二次根式的概念
1. 若式子 是二次根式，则ɑ的值不可以是（　B　）
A. 0 B. －2 C. 2 D. 4
2. （2025 张掖期末）下列式子一定是二次根式的是（　D　）
A. B. C. D.
B
D
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3. 下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数.
， ， ， （x≥3）， （x≠－3）， ，
， （x＜0）.
解： ， （x≥3）， ， （x＜0）是二次根
式，其中被开方数依次为 ，x－3，（2x＋1）2，－2x.
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　二次根式有意义的条件
4. （2025 连云港）若 在实数范围内有意义，则x的取值范
围是（　D　）
A. x≤1 B. x≥1
C. x≤－1 D. x≥－1
5. 开放性试题若x为正整数，要使 有意义，则x＝
.（写出1个即可）
6. （2025 广州）要使代数式 有意义，则x的取值范围
是 .
D
3
（答案不唯一）　
x≥－1且x≠3　
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7. 变式题当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
解：由2x＋2≥0，得x≥－1.
当x≥－1时， 在实数范围内有意义.
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（2） ；
解：由5－2x≥0，得x≤ .
当x≤ 时， 在实数范围内有意义.
（3） .
解：由x2≥0，得x2＋4恒大于零.
当x取任意实数时， 在实数范围内都有意义.
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　二次根式的实际应用
8. 已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为
（　B　）
A. 1 dm B. dm
C. dm D. 3 dm
9. 若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长
为 　5 　cm，宽为 　 　cm.
B
5 　
　
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中档提分升训练
10. （2025 兰州校级期末）如果二次根式 有意义，那么x的取值
范围是（　A　）
A. x＞－3 B. x≥－3
C. x＜－3 D. x≤－3
11. 使式子 ＋ 在实数范围内有意义的整数x有（　C　）
A. 5个 B. 4个
C. 3个 D. 2个
A
C
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12. 跨学科融合电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：
A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量
Q（单位：J）满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生
50 J的热量，电流I的值是（　B　）
A. 2 A B. 5 A
C. 8 A D. 10 A
B
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13. 使 ＝ 在实数范围内成立的x的取值范围是 .
14. 若y＝ ＋ ＋4，则x－y＝ .
－1≤x＜ 2
1　
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15. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
解：由4－x＞0，得x＜4.
当x＜4时， 在实数范围内有意义.
（2） ；
解：由x＋2≥0且x－3≠0，得x≥－2且x≠3.
当x≥－2且x≠3时， 在实数范围内有意义.
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（3） ；
解：由1－｜x｜≥0，得－1≤x≤1.
当－1≤x≤1时， 在实数范围内有意义.
（4） ＋ .
解：由 得－1≤x≤1.
当－1≤x≤1时， ＋ 在实数范围内有意义.
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拓展素养训练
16. 分类讨论思想已知ɑ，b为某个等腰三角形的两条边长，
且满足等式2 ＋3 ＝b－4.求该等腰三角形的周长.
解：由 得
∴ɑ＝2.
∴2 ＋3 ＝2 ＋3 ＝0.
∴b－4＝0，解得b＝4.
分情况讨论：
①当腰长为2，底边长为4时，不能构成三角形；
②当腰长为4，底边长为2时，可以构成三角形，其周长为4＋4＋2＝10.
∴该等腰三角形的周长为10.
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本课结束(共20张PPT)
第十九章 二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第2课时　二次根式的除法
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
04
拓展素养训练
目
录
学霸笔记
1. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的
商的算术平方根.
＝ 　 　（ɑ≥0，b＞0）.
2. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根
除以除式的算术平方根.
＝ 　 　（ɑ≥0，b＞0）.
　
　
3. 最简二次根式必须满足的两个条件：
（1）被开方数不含 ；
（2）被开方数中不含 的因数或因式.
分母　
能开得尽方　
基础分点训练
　二次根式的除法法则
1. 计算 ÷ 的结果正确的是（　C　）
A. B. C. D. 5
2. 下列各式中，计算正确的是（　B　）
A. ＝9 B. ＝
C. ÷ ＝4 D. ÷ ＝3
C
B
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3. 变式题计算：
（1） ÷ ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝2 .
（2） ÷ ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
（3） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ ＝ .
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　商的算术平方根的性质
4. 下列各式中，正确的是（　D　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
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5. 计算： ＝ 　 　.
6. 简：
（1） ；
解：原式＝ ＝ .
（2） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
　
（3） （b＞0）.
解：原式＝ ＝ .
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　最简二次根式
7. （2025 湖南）简 ＝ 　2 　.
8. 把下列二次根式成最简二次根式：
（1） ；
解：原式＝ ＝ .
（2） ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
2 　
（3） （x＞0）.
解：原式＝ ＝ ＝ .
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中档提分升训练
9. 若 ＝ 成立，则x的取值范围为（　D　）
A. x≥0 B. x≥0或x＜1
C. x＜1 D. 0≤x＜1
10. 计算 ÷3 × 的结果正确的是（　A　）
A. 1 B. C. 5 D. 9
D
A
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11. 变式题已知 ≈1.732，则2 ≈ ，
≈ .（结果保留小数点后三位）
12. 若计算 ×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 　 （答
.（写出一个符合条件的即可）
1.155　
5.196　
（答案不唯一）　
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（1） × ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（2） ÷ ÷ ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
13. 计算：
（3） ÷ × .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
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14. 应用意识一个长方形的长为3 ，面积为30 ，要在
这个长方形中分割出一个面积最大的正方形.求该正方形的面积.
解：∵长方形的长为3 ，面积为30 ，
∴长方形的宽＝30 ÷3 ＝2 .
∴在这个长方形中分割出的面积最大的正方形的边长为2 .
∴该正方形的面积＝（2 ）2＝60.
即该正方形的面积是60.
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拓展素养训练
15. 已知 ＝ ，且x为奇数.
求（x－6） 的值.
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解：∵ ＝ ，
∴x－6≥0，9－x＞0，解得6≤x＜9.
∵x为奇数，∴x＝7.
∴原式＝（x－6）
＝（x－6）
＝（7－6）
＝2 .
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本课结束(共21张PPT)
第十九章 二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
01
学霸笔记
02
基础分点训练
03
中档提分升训练
目
录
04
拓展素养训练
学霸笔记
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式成 ，
再将 相同的二次根式进行合并.
最简二次根式　
被开方数　
基础分点训练
　可以合并的二次根式
1. （2025 兰州校级期中）下列二次根式中，与 不是同类二次根式的
是（　B　）
A. B. C. D.
2. 下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是（　D　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. － 与
B
D
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3. 若最简二次根式 和 能合并，则x的值可能为
（　C　）
A. － B. C. 2 D. 5
C
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　二次根式的加减
4. 计算： － ＝（　A　）
A. B. 2 C. 3 D. 4
5. 下列运算正确的是（　D　）
A. ＋ ＝ B. 2＋ ＝2
C. 3 － ＝3 D. 3 － ＝2
6. 计算： － ＝ .
A
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7. 变式题计算：
（1） － ＋ ；
解：原式＝2 －3 ＋5
＝4 .
（2） ＋ － ；
解：原式＝ ＋4 －3
＝ .
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（3） ＋ － ；
解：原式＝2 ＋ －
＝ .
（4）｜－ ｜－ ＋（2＋3 ）.
解：原式＝ －2＋2＋3
＝4 .
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中档提分升训练
8. 下列各式中，运算正确的是（　A　）
A. － ＝2 B. － ＝
C. 2＋ ＝2 D. － ＝3
9. 若 的整数部分为x，小数部分为y，则 x－y的值是（　C　）
A. 3 －3 B.
C. 1 D. 3
10. 计算 － 的结果是 　 　.
A
C
　
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11. 分类讨论思想若等腰三角形的两边长分别为2 和
3 ，则此等腰三角形的周长为 　6 ＋2 或4 ＋3 　.
12. 数形结合思想如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线
爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为－ ，设点B所表示的数
为m，则｜m－1｜＋（m＋ ）2＝ 　 ＋3　.
6 ＋2 或4 ＋3 　
＋3　
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13. 计算：
（1）－ ＋2 ＋｜ －2｜；
解：原式＝－5＋2 ＋（2－ ）
＝－3＋ .
（2） －3 ＋10 － ；
解：原式＝4 －3× ＋10× － ×4
＝4 － ＋2 －2
＝6 －3 .
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（3） － ；
解：原式＝
＝2 ＋ － ＋
＝3 ＋ .
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（4） － .
解：原式＝ －
＝ －2 － －4
＝ －6 .
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14. 先简，再求值： －6 ＋2x ，其中x＝4.
解：原式＝5 － ＋2
＝6 .
当x＝4时，原式＝6× ＝12 .
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15. 已知 ≈1.732，求 － ＋2 的近似值.（结果保留小数
点后两位）
解：原式＝ －3 ＋4
＝
≈ ×1.732
≈2.31.
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拓展素养训练
16. 运算能力已知ɑ＋b＝－8，ɑb＝12.求 ＋ 的值.
解：∵ɑ＋b＝－8＜0，ɑb＝12＞0，
∴ɑ＜0，b＜0.
∴原式＝－ －
＝－
＝－
＝－
＝
＝ .
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